2022-2023学年上海市市北中学高二下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年上海市市北中学高二下学期期中数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市市北中学高二下学期期中数学试题 一、填空题1．点到直线的距离为______．【答案】1【分析】直接利用点到直线的距离公式计算可得.【详解】点到直线的距离.故答案为：2．抛物线的准线方程为________．【答案】【分析】根据抛物线的准线方程直接写出即可.【详解】由题, 开口向左,且,故准线方程为,即.故答案为：【点睛】本题主要考查了抛物线的准线方程,属于基础题.3．双曲线的离心率为__________．【答案】【分析】由双曲线的性质求解.【详解】双曲线的离心率为.故答案为：4．直线的倾斜角的大小为______．【答案】/【分析】首先求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系计算可得.【详解】直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，又，所以.故答案为：5．已知为椭圆上一动点，记原点为，若，则点的轨迹方程为______．【答案】【分析】先设点，再由应用相关点法求轨迹方程即可.【详解】设点，由得点，而点为椭圆上的任意一点，所以，整理得，所以点的轨迹方程是.故答案为：6．已知直线，，若，则实数______．【答案】【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程，解得即可.【详解】因为直线，，且,所以，解得或，当直线，，两直线重合，故舍去.故答案为：7．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定不同两点A、B，动点P满足（其中是正常数，且），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．若且，则该圆的半径为______．【答案】4【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系求出圆的方程作答.【详解】以点B为原点，射线BA为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，  则，设，由，得，化简整理得，因此点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，所以该圆的半径为4.故答案为：48．已知函数的导数为，若，则______．【答案】【分析】求出函数的导函数，令，解得即可.【详解】因为，则，令可得解得.故答案为：9．曲线为到两定点、距离乘积为常数16的动点的轨迹．以下结论正确的编号为______．①曲线一定经过原点；②曲线关于轴对称，但不关于轴对称；③的面积不大于8；④曲线在一个面积为的矩形范围内．【答案】③④【分析】求出动点轨迹方程，由方程确定轨迹的性质，判断各结论．【详解】设，则，对于①，原点代入方程，得，即方程不成立，曲线一定不经过原点，命题①错误；对于②以代替，可得成立，以代替，可得成立，即曲线关于、轴对称，命题②错误；对于③，显然、、三点不共线，设，，，则，由余弦定理得，当且仅当时等号成立，则为锐角，所以，则的面积为，命题③正确；对于④，，可得，得，解得，由③知，得，即曲线在一个面积为的矩形内，命题④正确.综上，正确的命题有③④.故答案为：③④10．已知实数满足，则的取值范围是___________.【答案】【分析】讨论得到其图象是椭圆，双曲线的一部分组成图形，根据图象可得的取值范围，进而可得的取值范围.【详解】因为实数满足，当时，方程为的图象为椭圆在第一象限的部分；当时，方程为的图象为双曲线在第四象限的部分；当时，方程为的图象为双曲线在第二象限的部分；当时，方程为的图象不存在；在同一坐标系中作出函数的图象如图所示，根据双曲线的方程可得，两条双曲线的渐近线均为，令，即，与双曲线渐近线平行，当最大时，直线与椭圆相切，联立方程组，得，，解得，又因为椭圆的图象只有第一象限的部分，所以，当直线与双曲线渐近线重合时，z最小但取不到最小值，即，所以综上所述，，所以，即，故答案为：.【点睛】解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． 二、单选题11．设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为（    ）A． B． C．4 D．【答案】D【分析】首先求出，再根据椭圆的定义得解.【详解】椭圆，则，所以，因为是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为.故选：D12．已知点，曲线的方程为，曲线的方程为，则“点在曲线上”是“点在曲线上”的（    ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若点在曲线上，则，显然，即满足曲线的方程为，即点在曲线上，故充分性成立，若点在曲线上，则，此时，不一定满足，即点不一定在曲线上，故必要性不成立，故“点在曲线上”是“点在曲线上”的充分非必要条件.故选：A13．若圆和圆没有公共点，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出两圆的圆心坐标与半径，再由圆心距与半径间的关系列式求解．【详解】化圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25+k，则k＞﹣25，圆心坐标为（3，4），半径为，圆C1：x2+y2＝1的圆心坐标为（0，0），半径为1．要使圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0没有公共点，则|C1C2|或|C1C2|，即5或5，解得﹣25＜k＜﹣9或k＞11．∴实数k的取值范围是（﹣25，﹣9）∪（11，+∞）．故选：D．【点睛】本题考查圆与圆位置关系的判定及应用，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是基础题．14．将曲线()与曲线()合成的曲线记作．设为实数，斜率为的直线与交于两点，为线段的中点，有下列两个结论：①存在，使得点的轨迹总落在某个椭圆上；②存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，那么（    ）．A．①②均正确 B．①②均错误C．①正确，②错误 D．①错误，②正确【答案】C【分析】对①，分析当时点的轨迹总落在某个椭圆上即可；对②，设，，，则，利用点差法，化简可得，故若存在，使得点的轨迹总落在某条直线上则为常数，再化简分析推出无解即可【详解】设，，，则.对①，当时，，，易得，故两式相减有，易得此时，故，所以，即.代入可得，所以，故存在，使得点的轨迹总落在椭圆上.故①正确；对②，， .由题意，若存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，则，，两式相减有，即，又，故，即，又，故若存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，则为常数.即为定值，因为分子分母次数不同，故若为定值则恒成立，即，无解.即不存在，使得点的轨迹总落在某条直线上故选：C 三、解答题15．已知圆的方程为，过点作直线l交圆于A、B两点．(1)当直线l的斜率为1时，求弦AB的长；(2)当直线l的斜率变化时，求动弦AB的中点Q的轨迹方程．【答案】(1)(2)，其中. 【分析】（1）由点斜式表示此时直线l的方程，利用弦长公式计算即可；（2）根据几何性质判定Q的轨迹即可.【详解】（1）直线l的斜率为1时，此时过P的直线可表示为：，设圆心到的距离为d,圆的半径为r，则.由题意可得r=3，，所以.（2）如图所示，根据垂径定理，易知AB中点Q与O的连线垂直于AB，即可得Q在以OP为直径的圆上，同时Q应在圆内，即圆弧.设圆心为C，则，，则Q在上，与联立可得故Q轨迹方程为，其中.16．已知函数，其中．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当函数有且仅有一个驻点时，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)． 【分析】（1）求出导函数计算，再求得，由点斜式得切线方程；（2）根据题意，由方程有且仅有一个正实根求出实数a的取值范围即可．【详解】（1）时，，则，所以切线的斜率为，又，所以在点处的方程为，即；（2）的定义域是，，因为函数有且仅有一个驻点，所以方程有且仅有一个正实根.显然当时不符合题意．对于方程，若，则或（舍）， 当时，由，得，所以，符合方程有且仅有一个正实根； 若，则或，当时，方程的两根满足，所以方程的一根为正，一根为负，符合只有一正根，满足题意；当时，方程的两根满足，又，所以方程的两根均为正，不满足题意；若，方程无实根，不符合题意.综上，的范围是．17．已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于不同的两点,，记点的坐标为．(1)若点和到抛物线准线的距离分别为和，求；(2)若斜率，求的面积；(3)若是等腰三角形且，求实数．【答案】(1)(2)(3)或 【分析】（1）由抛物线的定义求解即可；（2）由抛物线焦点弦的弦长和点到直线距离求解即可；（3）将抛物线方程与直线方程联立，用表示出中点的坐标，使即可.【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为.由抛物线的定义，若点和到准线的距离分别为和，则，，∴.（2）若斜率，则直线的方程为，由消去，整理得，，∵,，∴，，由抛物线的定义，.到直线即的距离为，∴的面积.（3）直线的方程为，（易知）由消去，整理得，，∵,，∴，，∴中点，其中，，∴，∵是等腰三角形且，∴，∴，解得.∴实数的值为或.18．已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线l交椭圆于A、B两点，记原点为O．(1)当直线l垂直于x轴时，求弦长；(2)当时，求直线l的方程；(3)是否存在位于x轴上的定点使得始终为一个定值．若存在，请求出m；不存在，则请说明理由？【答案】(1)3(2)(3)存在， 【分析】（1）求出点A、点B的坐标，进而求得的值.（2）设出直线l的方程，联立直线l的方程与椭圆方程，运用韦达定理及向量坐标运算即可求得结果.（3）当直线l斜率存在时，运用韦达定理可得关于k的式子，要使得为定值，则只需要式子的分子、分母成倍数关系，列式求解可得m的值，检验斜率不存在时是否成立即可.【详解】（1）由题意知，，将代入椭圆方程得，不妨设，，所以.（2）由（1）知，当直线l斜率不存在时，不妨设，，则，，所以，不符合题意，舍去，所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为：，，设，，则，，所以，解得：，所以，所以直线l的方程为：.（3）假设是一个定值.①当直线l的斜率存在时，由（2）知，，，因为，，所以，要使得是一个定值，则，解得：，此时.②当直线l的斜率不存在时，由（1）知，，，则，，所以，当时，.综上，存在，位于x轴上的定点使得是一个定值为.