2022-2023学年四川省成都市嘉祥教育集团高二下学期期中监测数学（文）试题含解析

这是一份2022-2023学年四川省成都市嘉祥教育集团高二下学期期中监测数学（文）试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省成都市嘉祥教育集团高二下学期期中监测数学（文）试题 一、单选题1．命题“，”的否定为（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】含有一个量词的命题的否定步骤为：改量词，否结论.【详解】改量词：改为，否结论：否定为，所以，的否定形式为：，.故选：A.2．已知复数，则的虚部为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数的除法运算化简复数，进而求其共轭复数，即可求解.【详解】，故，故的虚部为，故选：C3．设，“”是“复数为纯虚数”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：当时，为纯虚数，故充分；当复数为纯虚数时，，解得或，故不必要，故选：A4．函数的单调递增区间为（    ）A．() B．(1，+) C．(1，1) D．(0，1)【答案】D【分析】利用导数与函数单调性的关系即得.【详解】∵函数，，∴，由，，解得，即函数的单调递增区间为.故选：D.5．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（　　）①（）是三角函数：②三角函数是周期函数；③（）是周期函数A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②①【答案】B【分析】按照三段论的形式：大前提，小前提，结论的形式排序即可.【详解】解：三段论为：大前提，小前提，结论，所以排序为：②三角函数是周期函数；①（）是三角函数；③（）是周期函数.故选：B.6．若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数中具有性质的是A． B． C． D．【答案】A【分析】若函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y＝f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．【详解】解：函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y＝f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，当y＝sinx时，y′＝cosx，满足条件；当y＝lnx时，y′0恒成立，不满足条件；当y＝ex时，y′＝ex＞0恒成立，不满足条件；当y＝x3时，y′＝3x2＞0恒成立，不满足条件；故选A．【解析】导数及其性质. 7．年初，新型冠状病毒（）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：第周治愈人数（单位：十人）由上表可得关于的线性回归方程为，则此回归模型第周的残差（实际值减去预报值）为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】将样本中心点的坐标代入回归直线方程，求出的值，可得出回归直线方程，再将代入回归直线方程，用减去所得结果即可得解.【详解】由表格中的数据可得，，由于回归直线过样本的中心点，则，解得，回归直线方程为，将代入回归直线方程可得，因此，第周的残差为.故选：A.8．设是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】当时，，当时，，当时，，根据函数的单调性即可判断.【详解】由导函数的图象可得当时，,函数单调递增；当时，,函数单调递减；当时，,函数单调递增.只有C选项的图象符合.故选:C.9．若函数不存在极值点，则实数m的取值范围是（    ）A．（，+∞） B．（－∞，）C．[，+∞） D．（－∞，]【答案】C【分析】根据给定条件，利用导数结合单调性建立不等式，即可求解作答.【详解】函数不存在极值点,s由函数求导得：，因函数是R上的单调函数，而抛物线开口向上，因此有，恒成立，于是得，解得，所以实数m的取值范围是.故选：C.10．设某程序框图如图所示，则输出的s的值为A．102 B．410C．614 D．1638【答案】B【详解】解：因为s=2,i=3;s=6,i=5;s=32-6=26,i=7;s=128-26=102,i=9s=512-102=410,i=11;此时输出．11．设双曲线（）的半焦距为c，直线l过两点，且原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率（    ）A．2 B． C．2和 D．2和【答案】A【分析】根据给定条件，利用直角三角形面积公式列式，结合双曲线离心率定义求解作答.【详解】令，依题意，在中，，且，如图，显然，由，得，整理得，而，解得，所以双曲线的离心率.故选：A12．芯片制作的原料是晶圆， 晶圆是硅元素加以纯化， 晶圆越薄， 生产的成本越低， 但对工艺要求就越高． 某大学为鼓励更多的有志青年投入到芯片事业中， 成立个科研小组， 用、、三种不同的工艺制作芯片原料， 其厚度分别为，，（单位：毫米）， 则三种芯片原料厚度的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数，利用函数在上的单调性可得出、的关系，利用余弦函数的单调性可得出与的大小关系，构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，可得出与的大小关系，综合可得出、、的大小关系.【详解】令，其中，则，令，其中，则，所以，函数在上为减函数，则当时，，即，所以，函数在上为减函数，因为，则，所以，，即，即，因为在上单调递减，且，所以，，令，其中，则，所以，函数在上为增函数，则，即，所以，，则，综上所述 ， 故选：A. 二、填空题13．若方程的图形是双曲线，则实数m的取值范围是__________.【答案】【分析】根据双曲线方程的特点求解.【详解】由于 是双曲线方程， ；故答案为：14．能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为__________.【答案】【详解】试题分析：，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题. 【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．15．甲､乙､丙､丁四位同学各自对A，B两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m，如下表： 甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103则________同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性.【答案】丁【解析】根据数据直接判断即可.【详解】解：越大，越小，线性相关性越强，易知丁同学的试验结果体现A，B两变量的线性相关性较强.故答案为：丁.16．已知实数，满足，，其中是自然对数的底数，则的值为______.【答案】【分析】由已知条件得出，，进而可知与是关于的方程的两根，构造函数，分析该函数的单调性，可得出，化简整理可求得的值.【详解】解：因为实数、满足，，所以，，，即，所以，与是关于的方程的两根，构造函数，该函数的定义域为，且该函数为增函数，由于，所以，，，即，即，解得.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查利用指数与对数的互化求代数式的值，解题的关键在于由已知等式化简得出与是关于的方程的两根，转化利用函数的单调性来得出，同时也要注意将根代入方程，得出关系式进而求解. 三、解答题17．设F为抛物线的焦点，过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，若线段AB的中点D的横坐标为1，.求点D到抛物线C的准线的距离和抛物线C的方程.【答案】【分析】根据抛物线的定义结合几何性质可得点D到抛物线C的准线的距离.解法一：根据抛物线的定义分析求解p = 1；解法二：利用弦长公式结合韦达定理分析运算.【详解】由题意可得抛物线C的焦点，准线，过A、B分别向抛物线C的准线作垂线，垂足为E、H，则根据抛物线的定义，有AF = AE，BF = BH，所以 AE + BH = AF + BF = AB = 3.因此在直角梯形ABHE中，点D到抛物线C的准线的距离. 解法一：设，根据抛物线的定义有，，∴ ，而 x1 + x2 = 2，∴ p = 1，故抛物线C的方程y2 = 2x. 解法二：显然直线l的斜率k存在且不为0，设方程为，，联立方程，消去y整理得，∴，，于是，代入整理得，①注意到，②所以由①②解得，因此抛物线C的方程为y2 = 2x.18．某公司的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有下列对应数据 x24568y3040605070 （1）画出散点图，并判断广告费与销售额是否具有相关关系；（2）根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y与x的回归方程；（3）预测销售额为115万元时，大约需要多少万元广告费．参考公式:回归方程为其中， 【答案】（1）具有相关关系；（2）；（3）15【详解】试题分析：（1）根据表格中所给的数据，写出对应的点的坐标，在直角坐标系中描出这几个点，得到散点图；（2）首先做出这组数据的横标和纵标的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，根据样本中心点在线性回归直线上，求出a的值，写出线性回归方程；（3）根据上一问做出的线性回归方程，当y的值是一个确定的值时，把值代入做出对应的x的值试题解析：（1）散点图如图由图可判断：广告费与销售额具有相关关系．（2） ， ========∴线性回归方程为（3）由题得：， ，得19．如图1，与三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆．设O是△ABC的内切圆圆心，r是△ABC的内切圆半径，设S是△ABC的面积，l是△ABC的周长，由等面积法，可以得到．(1)与三棱锥的四个面都相切的球叫做三棱锥的内切球．设三棱锥的体积是V，表面积是S，请用类比推理思想，写出三棱锥的内切球的半径公式R内（只写结论即可，不必写推理过程）；(2)若多面体的所有顶点都在同一球上，则该球为多面体的外接球，如图2，在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA = PB = PC = 1，求三棱锥P－ABC的内切球半径和外接球的半径．【答案】(1)R内(2)内切球的半径，外接球半径． 【分析】（1）类比等面积法，由等体积法可推出结果；（2）根据（1）中的结果求出；将三棱锥补形成正方体，可求出.【详解】（1）解题方法类比：三角形内切圆半径的求法是利用等面积法，那么三棱锥内切球半径的求法是等体积法.设三棱锥的内切球的球心为，半径为，三棱锥的体积为，表面积为，则，，所以.所以三棱锥的内切球的半径公式R内．（2）因为PA，PB，PC两两垂直，PA = PB = PC = 1，所以△PAB的面积为 ，于是，三棱锥P－ABC的体积为，三棱锥P－ABC的表面积为，所以，由（1）中的公式可得三棱锥的内切球的半径，将三棱锥补形成正方体，如图： 则三棱锥与正方体共外接球，则球的直径是长方体的对角线，所以.20．已知函数 .(1)当时，求在点 处的切线方程；(2) 时，求证：.【答案】(1)y = 2x－2 ln 2(2)证明见解析 【分析】（1）将 代入 的解析式，求出 和 ，再运用点斜式直线方程求解；（2）运用导数求出 的最小值，只要证明最小值 即可.【详解】（1）当a = 1时，，x＞0，则 ， ，而 ，所以在点 处的切线方程为 ，即 ；（2）对求导得 ，x＞0，当a＞0 时，令得 ，当时， f（x）单调递减；当时，f（x）单调递增，所以 ，只需证明 ≥  ，即 ≥0  恒成立；设，，则 ，，当时，， 单调递减；当时，，单调递增；所以 是的最小值，故，表明≥0（a＞0）恒成立，故 .21．设函数，．(1)求的单调区间；(2)若存在极值点，且，其中，求证：．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 【分析】（1）分和讨论，其中时易知函数单调，当时，求出导函数的零点，根据导数和函数单调性的关系即可得到答案.（2）根据题意得，从而得到，再对和化简即可证明.【详解】（1）由求导，可得．下面分两种情况讨论：① 当时，有恒成立，所以的单调递增区间为；② 当时，令，解得．当x变化时，，的变化情况如下表：x00单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为，单调递增区间为，．      综上：当时，的单调递增区间为，当时，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，．（2）因为存在极值点，所以由（1）知，且，由题意，得，即，，进而．又，且．由题意及（1）知，存在唯一实数满足，且，因此，所以．22．如图，A、F是椭圆C：（）的左顶点和右焦点，P是C上在第一象限内的点.(1)若，轴，求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的离心率为，，求直线PA的倾斜角 的正弦.【答案】(1)(2) 【分析】（1）首先得，将点代入椭圆方程，结合关系即可得到答案；（2）设点P的坐标为，写出相关向量，利用其数量积为0得到，结合点在椭圆上以及椭圆第二定义即可求出直线倾斜角的正弦值.【详解】（1）由已知可得，所以.又点在椭圆C：上，所以.联立，解得，，因此椭圆C的方程为.（2）解法一：由题意知，，，.设点P的坐标为，，则，，∵，∴，则△PAF是直角三角形，于是，∴.①∵P是椭圆C上在第一象限内的点，∵，即.②将①代入②得，即，∴，由于，∴只有，得.∵，，∴.③根据椭圆的定义，有，而，∴中，有.④将③代入④得.解法二：由题意知，，，，则直线PA的方程为，.（*）将直线PA的方程与椭圆方程联立，消去y后，得.（**）因为点和的坐标满足方程（*）和（**），所以，有，即，.若，则，表明△PAF是直角三角形，从而有，∴，∴.将、代入上式，得++.去分母，整理，得，将代入，得   ，于是 .解法三：过P作轴于Q，设，则有.∵ ，∴，得，.由，得，∴ a + x0 =（a + c）cos2   x0 =（a + c）cos2 －a.根据椭圆的定义有，，而 ， ∴，即，∴ 由 ，得代入上式，整理得，显然，所以，得.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设点法或是设线法，方法一和方法三采用的设点法，均利用了椭圆的第二定义，而方法二采用的设线法，通过设直线的方程，将其与椭圆联立，解出坐标，再利用向量点乘为0，即垂直关系解出.