2022-2023学年四川省绵阳市江油市太白中学高二下学期期中数学（理）试题含解析

2022-2023学年四川省绵阳市江油市太白中学高二下学期期中数学（理）试题

一、单选题

1．已知命题p：，，则是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】由全称命题否定：任意改存在并否定原结论，即可得答案.

【详解】由全称命题的否定为特称命题知：原命题的否定为，.

故选：B

2．与命题“若，则”等价的命题是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【分析】根据四个命题间的等价关系，写出原命题的等价命题即可.

【详解】由原命题与逆否命题等价知：“若，则”等价的命题是“若，则”.

故选：D

3．某质点沿直线运动的位移与时间的关系是，则质点在时的瞬时速度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据导数的物理意义，求导即可得到瞬时速度.

【详解】解：，当时，.

故选：C.

4．下面命题正确的是（    ）

A．“若，则”的否命题为真命题；

B．命题“若任意的，则”的否定是“存在，则”；

C．设，则“且”是“”的必要不充分条件；

D．设，则“”是“”的必要不充分条件．

【答案】D

【分析】对于A，写出其否命题，判断其真假即可；对于B，写出其否定即可判断；对于C，D，根据充分条件和必要条件的概念判断即可.

【详解】对于A，“若，则”的否命题为“若，则”，否命题显然是假命题，故A不正确；

对于B，命题“若任意的，则”的否定是“存在，则”，故B不正确；

对于C，由且能够推出，由不能够推出且，所以“且”是“”的充分不必要条件，故C不正确；

对于D，由不能够推出，由能够推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确.

故选：D

5．某地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的概率是，连续两天顾客量超过1万人次的概率是，在该地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的条件下，随后一天的接纳顾客量超过1万人次概率是（    ）.

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用条件概率的定义及其概率计算公式求解即可．

【详解】设“某天接纳顾客量超过1万人次”为事件A，“随后一天的接纳顾客量超过1万人次” 为事件B，

则，，

所以，

故选：D．

6．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位为女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是                 

A．60 B．48 C．42 D．36

【答案】B

【详解】当两个男生在女生之间时：先从女生中选人站在一起，有种不同的站法，由于2个女生与1个男生的位置可以交换，有种不同方法，再将两个男生站在女生之间，有种不同方法，∴此时有种不同的站法；当男生站两边时：女生之间的男生必定是男生甲，但另外1个男生可在两端选一，∴此时有种不同的站法；∴满足条件的不同排法的种数是．

7．某地区高二理科学生有28000名，在一次模拟考试中，数学成绩服从正态分布，已知，则本次考试中数学成绩在120分以上的大约有（    ）

A．11200人 B．8400人 C．4200人 D．2800人

【答案】C

【分析】由正态分布的对称性求得，进而估算数学成绩在120分以上的人数.

【详解】由题设，

所以本次考试中数学成绩在120分以上的大约有人.

故选：C

8．函数的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】确定函数的奇偶性后排除一个选项，特殊函数值排除一个，利用它与函数的关系可排除一个，从而得正确选项．

【详解】，函数为偶函数，排除B，

，排除A，

又，因此排除D．

故选：C．

9．若，则（    ）

A． B．1 C．15 D．16

【答案】C

【分析】利用赋值法结合条件即得.

【详解】因为，

令得，，

令得，，

所以，．

故选：C.

10．设p：，q：，则p是q的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】假设、为真，利用一元二次、分式不等式的解法求对应的范围，根据充分、必要性定义判断它们的关系.

【详解】若为真，则，即；

若为真，则，即，故；

综上，p是q的必要不充分条件.

故选：B

11．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ）

A．2 B．3 C．1 D．1.5

【答案】A

【分析】设切点分别为、，根据导数几何意义及公切线列方程求参数值即可.

【详解】若，则，且，

若，则，且，

又是、的公切线，

设切点分别为、，则，

，则，即.

故选：A

12．已知函数，其导函数记为，则（    ）

A．-3 B．3 C．-2 D．2

【答案】D

【分析】利用求导法则求出，即可知道，再利用，即可求解.

【详解】由已知得，

则，

，

则，

即，

则

，

故选：.

二、填空题

13．若随机变量，，则______.

【答案】

【分析】由二项分布的期望公式列方程求得，再由对应方差公式求方差即可.

【详解】由题设，则，而.

故答案为：

14．的展开式的第6项系数是______.

【答案】

【分析】应用二项式定理写出第6项系数.

【详解】由，

所以，第6项为，则，

故第6项系数是.

故答案为：

15．已知函数的导函数是.若，则______.

【答案】

【分析】求导后，代入可求得，将代入即可求得结果.

【详解】，，解得：，

，.

故答案为：.

16．若函数，，若都，使得成立，则实数的取值范围是________.

【答案】

【分析】先分别求得函数与的值域，利用转化为集合间关系求解即可

【详解】由题，故的值域为

又单调递增，故其值域为

，所以，解得

故答案为

【点睛】本题考查二次函数值域，指数函数的值域，考查集合的包含关系，考查转化能力，是中档题

三、解答题

17．已知函数，.

(1)求函数的图象在点处的切线方程；

(2)令，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用导数几何意义求切线方程；

（2）应用基本函数的导数公式及加减法法则求导即可.

【详解】（1）由题设，且，则，

所以在点处的切线方程为，即.

（2）由，

所以.

18．设a∈R，命题p：，，命题q：，

(1)若p为真命题，求实数a的取值范围；

(2)若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据命题p为真，利用判别式法求解；

（2）由p或q为真命题，p且q为假命题，则p，q中一真一假求解.

【详解】（1）解：若命题p为真，

则当时，，满足题意；

当时，，解得，

综上：；

（2）若命题q为真，则，

由p或q为真命题，p且q为假命题，则p，q中一真一假.

当p真q假时，且或，无解；

当p假q真时，或且得或，

综上，实数a的取值范围为.

19．火龙果的甜度一般在11-20度之间，现对某火龙果种植基地在新、旧施肥方法下种植的火龙果的甜度作对比，从新、旧施肥方法下种植的火龙果中各随机抽取了200个火龙果，根据水果甜度（单位：度）进行分组，若按，，，，，，，，分组，旧施肥方法下的火龙果的甜度的频率分布直方图与新施肥方法下的火龙果的甜度的频数分布表如下所示．若规定甜度不低于15度为“超甜果”，其他为“非超甜果”．

新施肥方法下的火龙果的甜度的频数分布表

(1)设两施肥方法下的火龙果的甜度相互独立，记A表示事件：“旧施肥方法下的火龙果的甜度不低于15度，新施肥方法下的火龙果的甜度低于15度”，以样本估计总体，求事件A的概率；

(2)以样本估计总体，若从旧施肥方法下的200个火龙果中按“超甜果”与“非超甜果”的标准划分，采用分层抽样的方法抽取5个，再从这5个火龙果中随机抽取3个，设“非超甜果”的个数为，求随机变量的分布列及数学期望．

【答案】(1)0.14

(2)

【分析】（1）首先根据频率分布表，计算新方法下的火龙果的甜度低于15度的频率、旧方法下的火龙果的甜度不低于15度的频率，再利用独立事件概率求；

（2）由题意可得随机变量的所有可能取值为1，2，3，再利用超几何概率分布，求分布列和数学期望.

【详解】（1）记表示事件：“旧施肥方法下的火龙果的甜度不低于15度”，表示事件：“新施肥方法下的火龙果的甜度低于15度”，

则有．

由频率分布直方图可知旧施肥方法下的火龙果的甜度不低于15度的频率为．

由频数分布表可知新施肥方法下的火龙果的甜度低于15度的频率为．

故事件的概率为．

（2）旧施肥方法下的200个火龙果中，“非超甜果”为120个，“超甜果”为80个，按分层抽样的方法随机抽取5个，则抽取的“非超甜果”为3个，“超甜果”为2个，所以随机变量的所有可能取值为1，2，3.

，

，

，

随机变量的分布列为

数学期望．

20．如图，在空间四边形中，已知E是线段的中点，G在上，且．

(1)试用表示向量；

(2)若，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；

（2）由（1）可得，根据空间向量数量积的运算律及定义计算可得．

【详解】（1）∵，

∴，

∴又

∴

（2）由（1）可得知

．

21．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，M，N分别为棱PD，BC的中点，.

(1)求证：平面PAB；

(2)求直线MN与平面PBD所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）若是中点，连接，易证为平行四边形，进而有，利用线面平行的判定证结论；

（2）转化为求直线与平面PBD所成角正弦值，利用等体积法求到面的距离，即可求夹角正弦值.

【详解】（1）若是中点，连接，又为中点，

所以且，又ABCD为正方形，即且，

而为中点，故且，即为平行四边形，

所以，面，面，则面.

（2）由（1）知：直线MN与平面PBD所成角，即为直线与平面PBD所成角，

若到面的距离为，则到面的距离为，

由平面ABCD，平面ABCD，则，

由ABCD为正方形，则，又，

所以△为边长为的等边三角形，即，

由，即，则，而，

综上，直线MN与平面PBD所成角正弦值为.

22．如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，，．

(1)证明：平面平面；

(2)，分别是，的中点，是线段上的动点，若二面角的平面角的大小为，试确定点的位置．

【答案】(1)证明见解析

(2)点为线段上靠近点的四等分点

【分析】（1）通过面面垂直的判定公理，先证明线面垂直再通过线面垂直证明面面垂直

（2）通过建立空间直角坐标系利用空间向量先设出点P坐标，再根据二面角的大小求得未知量得到点P位置

【详解】（1）证明：因为，，，

所以，即．

又因为，，所以，

，所以平面．

因为平面，所以平面平面．

（2）解：连接，因为，是的中点，所以．

由（1）知，平面平面，所以平面．

以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，.

则平面的一个法向量是，，，．

设，，，，

代入上式得，，，所以．

设平面的一个法向量为，，，

由，得．

令，得．.

因为二面角的平面角的大小为，

所以，即，解得． .

即点的坐标为

所以点为线段上靠近点的四等分点 .