2022-2023学年山东省淄博市沂源县沂源县第一中学高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年山东省淄博市沂源县沂源县第一中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知数列满足，对于任意正整数都有，则数列的前项和是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分析可知数列是首项为，公比为的等比数列，利用等比数列的求和公式可求得结果.

【详解】对任意的都有，则，且，

所以，数列是首项为，公比为的等比数列，

因此，列的前项和是.

故选；B.

2．已知，则（    ）

A．在上单调递增 B．在上单调递减

C．有极大值，无极小值 D．有极小值，无极大值

【答案】D

【分析】求导，利用导数判断原函数单调性和极值.

【详解】∵，则，

令，解得；令，解得；

则在上单调递减，在上单调递增，

故A、B错误；

由单调性可得：有极小值，无极大值，

故C错误，D正确.

故选：D.

3．已知数列满足，且，则的值为（    ）

A．2021 B．2022 C．2023 D．2024

【答案】B

【分析】由题意可得，所以构成以1为首项，1为公差的等差数列，由等差数列的通项公式即可得出答案.

【详解】由得，

当时，，

且由，得，

所以构成以1为首项，1为公差的等差数列，所以，

所以.

故选：B.

4．若直线与曲线相切，则k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据导数的几何意义，求导数的取值范围，即可求解.

【详解】，

由导数的几何意义可知，.

故选：A

5．中国古代某数学名著中有这样一个类似问题：“四百四十一里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走的路程是（    ）

A．7里 B．8里 C．9里 D．10里

【答案】A

【分析】由“每天走的路程为前一天的一半”可知这个人每天走的路程是等比数列，再根据等比数列求和公式得出答案.

【详解】设第六天走的路程为，第五天走的路程为……第一天走的路程记为，

根据题意每天走的路程为前一天的一半，所以公比，且，，所以，从而解得，

故选：A.

6．已知函数的导函数为，且满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】在等式求导，再令，可得出关于的等式，解之即可.

【详解】在等式两边求导得，所以，，解得.

故选：C.

7．已知数列的前n项和为，且，则使得成立的n的最大值为（    ）

A．32 B．33 C．44 D．45

【答案】C

【分析】分奇偶项讨论，根据题意利用并项求和求，运算求解即可.

【详解】当为偶数时，

，

令，且n为偶数，

解得，故n的最大值为44；

当为奇数时，

，

令，且为奇数，

解得，故n的最大值为43；

综上所述：n的最大值为44.

故选：C.

【点睛】方法点睛：并项求和适用的条件和注意事项：

1.适用条件：数列中出现等形式时，常用利用并项求和求；

2.注意分类讨论的应用，比如奇偶项，同时还需注意起止项的处理.

8．若则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，利用导数判断函数单调性，再结合对数的性质即可判断大小关系.

【详解】因为，，，

当时，设，

则，

所以在上单调递减且，

所以，

即，所以；

又因为，所以，，即，

所以.

故选：A.

二、多选题

9．已知数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（    ）

A．是递增数列 B．数列是递增数列

C．数列中的最小项为 D．、、成等差数列

【答案】AB

【分析】根据可知数列为等差数列，根据通项公式和求和公式结合选项逐个判断.

【详解】因为，所以数列为等差数列，公差为3，

因为，所以，；

对于A，因为，所以是递增数列，A正确；

对于B，因为，所以数列是递增数列，B正确；

对于C，因为，所以数列中的最小项为，C不正确；

对于D，当时，，显然不是等差数列，D不正确.

故选：AB.

10．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．当时，的图象位于轴下方

B．有且仅有一个极值点

C．有且仅有两个极值点

D．存在，使得

【答案】AB

【分析】利用导数与极值、最值的关系求解即可.

【详解】当时，，，所以，故A正确；

由题意知，，

令，在恒成立，

所以在上单调递减，

又，，

所以，使得，即，

所以当时，，当时，，

故在上单调递增，在上单调递减，

所以有且仅有一个极值点.故B正确，C错误；

所以，故D错误，

故选:AB.

11．设数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（    ）

A． B．为等比数列

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据，结合等比数列的定义与通项公式逐项分析判断.

【详解】∵，则，即，

∴数列是以首项，公比的等比数列，则，

故A、B正确；

又∵，

显然不符合上式，则，

故C错误，D正确；

故选：ABD.

12．已知函数，若与的图象上有且仅有两对关于原点对称的点，则的取值可能是（    ）

A．e B．e C．3 D．4

【答案】BD

【分析】根据与的图象上有且仅有两对关于原点对称的点，可转化为与在上有两个交点，分离参数构造函数，求导讨论单调性求最值即可求解.

【详解】依题意，因为与的图象上有且仅有两对关于原点对称的点，

所以与在上有两个交点，

即有两个零点，整理得，

只需满足与有两个交点即可.

令，则有，

所以在时，，单调递减；

在时，，单调递增；

所以在处取得最小值，

所以只需即可满足题设要求，

故选：BD.

三、填空题

13．设等差数列，的前项和分别为，.若，则______

【答案】/0.4

【分析】根据等差数列的前项和的性质即可求解.

【详解】因为，，

所以,

故答案为：

14．已知，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得______．

【答案】2022

【分析】由，利用倒序相加求解.

【详解】解：由，

令，

则，

两式相加得：，

∴．

故答案为：2022

15．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2023这2023个数中，能被3除余1且被5整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为__________.

【答案】135

【分析】根据题意可知所求数为能被15整除余1，得出数列的通项公式，然后再求解项数即可.

【详解】因为能被3除余1且被5整除余1的数即为能被15整除余1的数，

故，又，解得.

故答案为：135.

16．若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】先设切点坐标，再利用导数的几何意义，表示切线方程，然后根据切线方程过原点建立关于参数的方程（有两个根），利用导数分析符合条件的情况即可.

【详解】函数的定义域为，则．

设切点坐标为，，有，

则切线方程为．

又因为切线过原点，

所以，即，

整理得，即关于的方程有两个不等实根．

解法一：，当时，方程无解．

当时，即．

令，，则，

当时，，函数在上单调递增；

当时，，函数在上单调递增；

当时，，函数在上单调递减，

所以当时，函数取得极大值．

当时，，

当时，，且当时，，

当时，，所以实数的取值范围是．

解法二：令，，则，

当时，恒成立，函数单调递增，则函数至多有一个零点，因此不合题意；

当时，令，即，

当时，，函数在上单调递减，且当时，；

当时，，函数在上单调递增，且当时，，

所以函数的极小值为．

若关于的方程有两个不等实根，即函数有两个零点，则，又因为，所以，即，所以，所以实数的取值范围是．

故答案为：

四、解答题

17．设等差数列的公差为，，为的等比中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）根据等比中项的概念求出公差，结合等差数列的通项公式，可得结果.

（2）根据（1）的结论，结合分组求和的方法，可得结果.

【详解】解：（1），为与的等比中项，

，即，

由，所以，

∴数列的通项公式为.

（2）由（1）得，，

.

【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及分组求和，掌握求和的基本题型，比如：分组求和，裂项相消，错位相减等，属基础题.

18．已知函数在处有极值，且曲线在点处的切线与直线平行.

（1）求；

（2）求函数在区间上的最值.

【答案】（1）；（2）最小值为－2，最大值为1.

【分析】（1）求出函数的导数，根据极值点的概念及导数的几何意义列出方程组求解a、b即可得解；（2）利用导数判断函数在区间上的单调性从而求出最值.

【详解】（1）函数的导函数为，

由题意得，解得，

∴.

（2）由（1）得，

当时，由，得或；

由，得，

函数在，上单调递增，在上单调递减，

∴函数在处取得极大值，在处取极小值，

∴，，，，

∴函数在区间上的最小值为－2，最大值为1.

【点睛】本题考查导数的几何意义、导数在研究函数的性质中的应用，属于中档题.

19．已知数列满足，.

(1)证明：数列为等差数列.

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由结合等差数列的定义证明即可；

（2）由结合错位相减法得出前项和.

【详解】（1）在两边同时除以，得：，，

故数列是以1为首项，1为公差的等差数列；

（2）由（1）得：，，

①

②

①②得：

所以.

20．已知函数在时有极值0.

(1)求函数的解析式；

(2)记，若函数有三个零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出函数的导函数，由在时有极值0,则，两式联立可求常数a，b的值，从而得解析式；

（2）利用导数研究函数的单调性、极值，根据函数图象的大致形状可求出参数的取值范围.

【详解】（1）由可得，

因为在时有极值0，

所以，即，解得或，

当时，，

函数在R上单调递增，不满足在时有极值，故舍去.

所以常数a，b的值分别为.

所以.

（2）由（1）可知，

，

令，解得，

当或时，当时，，

的递增区间是和，单调递减区间为，

当有极大值，

当有极小值，

要使函数有三个零点，则须满足，解得.

21．设数列的前n项和为，已知．

(1)证明：数列是等比数列；

(2)若数列满足，，求数列的前14项的和．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据已知得出，结合前项和与通项的关系将已知与得出的式子两式做减，再化简即可得出，即可证明；

（2）根据（1）得出，结合已知即可得出当为偶数时，即，将数列的前14项从第2项开始两两分组，再结合等比数列求和公式即可得出答案.

【详解】（1），

则，

，得，即，

，即

令中，得，解得，则

是首项为1，公比为2的等比数列．

（2）由（1）知，则，

，且，

当为偶数时，，即，

，

，

．

22．已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若存在两个极值点，证明：．

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．

【分析】（1）首先确定函数的定义域，函数求导，再对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，即可求得函数的单调区间；

（2）方法一：根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.

【详解】（1）的定义域为，.

（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.

（ii）若，令得，或.

当时，；

当时，.所以在单调递减，在单调递增.

（2）［方法一］：【通性通法】消元

由（1）知，存在两个极值点当且仅当.

由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于

，

所以等价于.

设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，，所以，即.

［方法二］：【通性通法】消元

由（1）知且是方程的两根，不妨设，即．此时．

欲证不等式成立，只需证．

因为，所以，只需证．

令，

所以，在区间内单调递减，且，所以，即证．

［方法三］：硬算

因为，

所以有两个相异的正根（不妨设）．

则且即．

所以．

而，，所以．

设，则．

所以在上递减，，问题得证．

［方法四］：【最优解】对数平均不等式的应用

由（1）知，存在两个极值点当且仅当．

由于的两个极值点满足，所以．不妨设，则．由于．

由对数平均不等式可得，即．

故．

【整体点评】（2）方法一：根据消元思想，先找到极值点之间的关系，再消元转化为一个未知元的不等式恒成立问题，属于通性通法；

方法二：同方法一，只是消元字母不一样；

方法三：直接硬算出极值点，然后代入求证，计算稍显复杂；

方法四：根据式子形式利用对数平均不等式放缩，证明简洁，是该题的最优解．