2022-2023学年陕西省西安市第三中学高二下学期期中数学（理）试题含解析

2022-2023学年陕西省西安市第三中学高二下学期期中数学（理）试题

一、单选题

1．某校有高三学生1200名，现采用系统抽样法从中抽取200名学生进行核酸检测，用电脑对这1200名学生随机编号1，2，3，…，1200，已知随机抽取的一个学生编号为10，则抽取的学生最大编号为（     ）

A．2004 B．1198 C．1192 D．1086

【答案】B

【分析】首先求出分段间隔，再根据系统抽样规则计算可得.

【详解】根据系统抽样法可知，分段间隔为，编号共分为段，编号属于第段，

所以最大编号在第段，号码为．

故选：B

2．在下列各事件中，发生可能性最大的是（    ）

A．抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚正面朝上

B．抛掷一颗质地均匀的骰子，点数大于2

C．有1000张彩票，其中50张有奖，从中随机买1张中奖

D．一个袋子中有20个红球8个白球，从中摸出1个球是红球

【答案】A

【分析】根据概率的定义，逐个选项进行计算，比较大小即可得解.

【详解】对于A，抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以至少有一枚正面朝上的概率；

对于B，抛掷一颗质地均匀的骰子，点数可以为1，2，3，4，5，6，点数大于2的概率为；

对于C，有1000张彩票，其中50张有奖，从中随机买1张中奖的概率；

对于D，袋子中共有28个球，红球有20个，摸出1个是红球的概率；

又，故发生可能性最大的是A；

故选：A

3．给出以下四个问题，①输入一个数，输出它的相反数；②求面积为的正方形的周长；③求三个数，，中的最大数；④求函数的函数值.其中不需要用条件语句来描述其算法的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】对于①②，求值只需要代入相应的公式不需要用条件语句，对于③④，要分情况讨论，需要用条件语句来描述其算法，即可得正确答案.

【详解】对于①：输入一个数，求它的相反数，只需代入求即可，是顺序结构，故①不需要用条件语句来描述其算法；

对于②：求面积为的正方形的周长，代入即可，是顺序结构，故②不需要用条件语句来描述其算法；

对于③：求三个数，，中的最大数，必须先进行大小比较，需要用条件语句，

对于④：求函数的函数值，必须对进行条件判断，需要用条件语句，

所以①②不需要用条件语句，③④需要用条件语句，要用条件语句来描述其算法的有2个，

故选：B.

4．某校举办了迎新年知识竞赛，将100人的成绩整理后画出的频率分布直方图如下，则根据频率分布直方图，下列结论不正确的是（    ）

A．中位数70 B．众数75 C．平均数68.5 D．平均数70

【答案】D

【分析】根据题意，由频率分布直方图分别计算，即可得到结果.

【详解】的频率为

因为最高小矩形的中点横坐标为，显然众数是75，故B正确；

的频率是0.1，的频率是0.15，的频率是0.25，其频率和为0.5，所以中位数为70，故A正确；

平均数，所以C正确.

故选:D.

5．某市商品房调查机构随机抽取n名市民，针对其居住的户型结构和是否满意进行了调查，如图1，被调查的所有市民中二居室住户共100户，所占比例为，四居室住户占.如图2，这是用分层抽样的方法从所有被调查的市民对户型是否满意的问卷中，抽取20%的调查结果绘制成的统计图，则下列说法错误的是（    ）

A．

B．被调查的所有市民中四居室住户共有150户

C．用分层抽样的方法抽取的二居室住户有20户

D．用分层抽样的方法抽取的市民中对三居室满意的有10户

【答案】D

【分析】根据饼图、直方图分析样本总量及四居室住户数，结合分层抽样的性质分析二居室、三居室住户数及满意度即可.

【详解】因为被调查的所有市民中二居室住户共100户，所占比例为，所以，四居室住户有户，三居室住户有200户，故A，B正确；

用分层抽样的方法抽取的二居室住户有户，故C正确；

用分层抽样的方法抽取的市民中对三居室满意的有户，故D错误.

故选：D

6．设，且，若能被17整除，则等于（    ）

A．0 B．1 C．13 D．16

【答案】D

【分析】将利用二项式定理展开，通过能被整除可得能被整除，进而可得的值.

【详解】，

能被17整除，

且能被17整除，

故能被17整除，

观察选项可得.

故选：D.

7．某高中调查学生对2022年冬奥会的关注是否与性别有关，随机抽样调查150人，进行独立性检验，经计算得，临界值表如下：

则下列说法中正确的是：（    ）

A．有97.5%的把握认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无关”

B．有99%的把握认为“学生对2022 年冬奥会的关注与性别有关”

C．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别有关”

D．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无关”

【答案】C

【分析】根据独立性检验的方法即可求解.

【详解】由题意可知，，

所以在犯错误的概率不超过的前提下可认为“学生对2022 年冬奥会的关注与性别有关”.

故选：C.

8．如图，用随机模拟方法近似估计在边长为e（为自然对数的底数）的正方形中阴影部分的面积，先产生两组区间上的随机数和，，，…，，从而得到1000个点的坐标（），再统计出落在该阴影部分内的点数为260个，则此阴影部分的面积约为（    ）

A．0.70 B．1.04 C．1.26 D．1.92

【答案】D

【分析】求出正方形的面积，利用落在阴影部分内的点数与总点数比值求出阴影部分面积.

【详解】正方形面积为，故此阴影部分的面积约为

故选：D

9．如图，一圆形信号灯分成四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（    ）

A．18 B．24 C．30 D．42

【答案】A

【分析】根据涂色问题，按照使用颜色种数进行分类，再结合分步计数原理，即可得总的方法数.

【详解】若用3种不同的颜色灯带，故有两块区域涂色相同，要么，要么相同，有2种方案，则不同的信号数为；

若只用2种不同的颜色灯带，则颜色相同，颜色相同，只有1种方案，则不同的信号数为；

则不同的信号总数为.

故选：A．

10．已知、的对应值如下表所示:

与具有较好的线性相关关系，可用回归直线方程近似刻画，则在的取值中任取两个数均不大于的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出样本中心点的坐标，将其代入回归直线方程，求出的值，可得出的所有取值，然后利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】由表格中的数据可得，

，

所以这组数据的样本点的中心的坐标为，

又因为点在回归直线上，所以，解得，

所以的取值分别为、、、、，

在这个数中，任取两个，取到的两个数都不大于的概率为.

故选：B.

11．已知的展开式中，奇数项的二项式系数之和是64，则的展开式中，的系数为（    ）

A． B．672 C． D．280

【答案】D

【分析】利用二项式系数的性质求出，再将拆为，利用的展开式的通项可求得结果.

【详解】因为奇数项二项式系数和为，则，

，

的展开式的通项为，

所以展开式中含项系数为，

故选：D.

12．排成一排的8个座位，甲、乙、丙3人随机就座，要求甲乙必须在相邻两座位就座，但都与丙不相邻（即之间有空座位），则不同坐法种数为（    ）

A．30 B．60 C．120 D．336

【答案】B

【分析】将甲、乙（连同座位）看成一个整体，和丙去插5个座位形成6个空隙，即可得出答案.

【详解】将甲、乙连同两个座位捆绑在一起看成一个元素，丙连同一个座位捆绑在一起看成一个元素，

剩余5个座位形成6个空隙，从中选出2个空隙安排这两个元素，然后甲、乙可以交换顺序.

所以种不同坐法.

故选：B

二、填空题

13．若，则______.

【答案】6

【分析】由求得，由此求得.

【详解】，即，

由题意可得，，解得且，

∴，解得．

∴．

故答案为：6．

14．一组样本数据：，，，，，由最小二乘法求得线性回归方程为，若，则实数a的值为______.

【答案】5

【分析】求出中心点，由线性回归方程过中心点列方程求解.

【详解】，，由线性回归方程过中心点得.

故答案为：5

15．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为___________

【答案】

【分析】先由二项式系数最大确定,再由通项公式求含项的系数即可.

【详解】由只有第5项的二项式系数最大可得：.

∴通项公式，

令，解得.

∴展开式中含项的系数为.

故答案为：.

16．“二进制”来源于我国古代的《易经》，二进制数由数字0和1组成，比如：二进制数化为十进制的计算公式如下，若从二进制数、、、中任选一个数字，则二进制数所对应的十进制数大于2的概率为__________．

【答案】/0.25

【分析】将二进制转化为十进制，再计算概率即可.

【详解】；；；，

十进制数大于2的概率为.

故答案为：

三、解答题

17．用、、、、、这六个数字.

(1)可以组成多少个数字不重复的三位数；

(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数；

(3)可以组成多少个数字不重复的小于的自然数.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）分析可知，数字不重复的三位数中，首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，利用分步乘法计数原理可得结果；

（2）分析可知，数字允许重复的三位数中，首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，利用分步乘法计数原理可得结果；

（3）分三种情况讨论：个位数、两位数、三位数，分别计算出这三种情况下满足条件的自然数的个数，利用分类加法计数原理可得结果.

【详解】（1）解：若组成的数字为数字不重复的三位数，则首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，

所以，数字不重复的三位数个数为.

（2）解：若组成的数字为数字允许重复的三位数，则首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，

所以，数字允许重复的三位数的个数为个.

（3）解：若组成的数字为数字不重复的小于的自然数，分以下三种讨论：

①数字为个位数，共个；

②数字为两位数，则首位不能为零，个位无限制，共个；

③数字为三位数，共有个.

综上所述，数字不重复的小于的自然数个数为个.

18．从某中学随机抽样1000名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的样本数据，整理得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：，，，，，，.

(1)求该样本数据的平均数.（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）；

(2)估计该校学生每周课外阅读时间超过8小时的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用频率分布直方图平均数的求法求解即可；

（2）结合（1）中结论，求得，，频率之和即可得解n.

【详解】（1）依题意，结合频率分布直方图，

该周课外阅读时间在的频率为：，

所以该样本数据的平均数为.

（2）阅读时间超过8小时的概率为，

所以估计该校学生每周课外阅读时间超过8小时的概率为.

19．2022年冬奥会在北京举办．现有如图所示“2022•北京冬梦之约”的四枚邮票供小明选择，依次记为A，B，C，D，背面完全相同．将这四枚邮票背面朝上，洗匀放好

(1)小明从中随机抽取一枚，恰好抽到是B（冰墩墩）概率是_________（直接写出结果）

(2)小颖从中随机抽取一枚不放回，再从中随机抽取一枚．请用列表或画树状图的方法，求小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接运用概率的公式求解即可；

（2）用列表法或树状图表示出所有可能的情况，再找出是B和C的情况，用概率公式求解即可

【详解】（1）由题意可知，共有四种等可能的情况，

∴小明从中随机抽取一枚，恰好抽到是（冰墩墩）概率是；

（2）根据题意画树状图，如图所示，

从上图可以看出，共有12种等可能的情况，其中小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的情况有2种．

∴小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的概率为：．

20．基础学科招生改革试点，即强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域.某校在一次强基计划模拟考试后，从全体考生中随机抽取52名，获取他们本次考试的数学成绩（）和物理成绩（），绘制成如图散点图：根据散点图可以看出与之间有线性相关关系，但图中有两个异常点，.经调查得知，考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，考生因故未能参加物理考试，为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：，，，，，其中，分别表示这50名考生的数学成绩、物理成绩，，与的相关系数.

(1)若不剔除，两名考生的数据，用52组数据作回归分析，设此时与的相关系数为.试判断与的大小关系（不必说明理由）；

(2)求关于的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计如果考生加了这次物理考试，物理成绩是多少？（精确到0.1）

【答案】(1)

(2),81.2分

【分析】（1）由题意结合相关系数的概念即可直接判断；

（2）由题意计算出，代入公式计算出，即可得回归方程，再代入即可估考生的物理成绩.

【详解】（1）由题意,

与成正相关关系，异常点会䅂低变量之间的相关程度，

∴；

（2）由题意，（1）及表得，

，，，，，

∴，

∴，

∴，

∴，

将代入，得，所以估计同学的物理成绩为分.

21．已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，求的展开式中：

(1)所有二项式系数之和．

(2)系数绝对值最大的项．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据二项式系数相等关系可求得，根据二项式系数和的结论可直接求得结果；

（2）根据展开式通项公式，设第项的系数的绝对值最大，采用不等式法可求得的取值，代入展开式通项公式即可求得结果.

【详解】（1）因为的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，

所以且，解得，

所以展开式的二项式系数之和为；

（2）展开式的通项为，

设展开式第项的系数的绝对值最大，

则，解得，

又因，所以，

所以展开式中，系数绝对值最大的项为．

22．已知关于的一元二次函数.

（1）设集合和，分别从集合和中随机抽取一个数作为和，求函数在区间上是增函数的概率；

（2）设点是区域内的随机点，求在区间上是增函数的概率.

【答案】（1）（2）

【详解】试题分析：（1）因为，函数在区间上是增函数，所以只需函数对称轴，然后写出所有的基本事件，找出满足的基本事件，分别计算其个数，再利用古典概型的概率公式可得函数在区间上是增函数的概率；（2）（，）是区域内的随机点，由（1）知（，）满足且时，函数在区间上是增函数，所以满足条件的点应在区域内，因此这是几何概型问题，分别求这两个区域的面积，通过面积比可得所求概率．

试题解析：（1）∵函数的图象的对称轴为

要使在区间上为增函数，当且仅当>0且，

若=1则=－1；若=2则=－1，1；若=3则=－1，1；

∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5，

∴所求事件的概率为．

（2）由（1）知当且仅当且>0时，函数在区间上为增函数，

依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，构成所求事件的区域为三角形部分．

由

∴所求事件的概率为．

【解析】1、古典概型；2、几何概型．

【方法点晴】本题主要考查的是古典概型和几何概型，属于中档题．解题时一定要分清问题是古典概型还是几何概型，对于古典概型通过列出所有基本事件数出基本事件个数或通过分析得到基本事件个数，然后确定满足所求条件的基本事件个数，利用求解；几何概型要分清基本事件空间区域的度量是长度、面积、体积，然后分别求出对应的度量利用计算，本题涉及到了线性区域面积的计算是难点．