2022-2023学年江苏省淮安市马坝高级中学高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年江苏省淮安市马坝高级中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知离散型随机变量的概率分布如表：则其数学期望等于（    ）

A．1 B．0.6 C． D．2.4

【答案】D

【解析】根据所给的分布列，根据分布列中所有的概率之和是1，求出m的值，求期望即可．

【详解】∵分布列中出现的所有的概率之和等于1，

∴0.5+m+0.2＝1，

∴m＝0.3，

∴随机变量的数学期望E（ξ）＝1×0.5+3×0.3+5×0.2＝2.4．

故选：D．

【点睛】本题考查分布列的性质和方差，本题解题的关键是根据分布列的性质做出分布列中未知的字母，本题是一个基础题．

2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（    ）

A．10种 B．20种 C．25种 D．32种

【答案】D

【分析】由分步乘法原理计算．

【详解】由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为.

故选：D

3．如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（    ）．

A．（1，，4） B．（，1，）

C．（2，，1） D．（1，2，）

【答案】B

【分析】设正方体的棱长为2，依次求出各点坐标，设向量是平面的法向量，根据法向量的定义，逐一验证各选项即可求出答案．

【详解】解：设正方体的棱长为2，则，，

∴，

设向量是平面的法向量，

则取，得，

则是平面的一个法向量，

结合其他选项，只需和共线即可，

检验可知，ACD选项均不与共线.

所以能作为平面的法向量只有选项B

故选：B．

4．已知随机变量，，且，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据随机变量可知，再根据，，可求出，利用，建立方程，即可求出结果.

【详解】因为随机变量，所以，

因为，，所以，即，

又

所以，即.

故选：B.

5．从甲､乙､丙､丁四名同学中选出三名同学，分别参加三个不同科目的竞赛，其中甲同学必须参赛，则不同的参赛方案共有（    ）

A．24种 B．18种 C．21种 D．9种

【答案】B

【分析】参赛方案可分两步完成，第一步从乙，丙，丁三人中选两人，第二步将甲和所选两人安排去参加三个不同科目的竞赛，故这是一个分步完成的排列组合综合问题.

【详解】参赛方案可分两步完成，

第一步从乙，丙，丁三人中选两人，有种方法，

第二步将甲和所选两人安排去参加三个不同科目的竞赛，有种方法，

由分步乘法计数原理可得共有种方法.

故选：B.

6．的展开式的常数项是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】写出的展开式的通项为，分别令，，即可求得常数项.

【详解】因为的展开式的通项为，

所以令，，则，，

所以的展开式为常数项的是

故选：B

7．甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为，比赛采取三局两胜制（当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束），则甲获胜的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】按照相互独立事件的概率乘法法则，分类计算求和即可.

【详解】分三类：

①甲直接获得前两局胜利，不进行第三局，此时甲获胜的概率为：；

②甲输第一局，赢后两局，此时甲获胜的概率为：；

③甲赢第一局和第三局，输第二局，此时甲获胜的概率为：.

故甲获胜的概率为：.

故选：B.

8．已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为3，在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与所成的角的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】连接，由，得到为异面直线与所成的角，结合余弦定理，即可求解.

【详解】连接，由，所以为异面直线与所成的角，

因为三棱锥的底面是边长为的等边三角形，且侧棱长为，

在底面ABC上的射影D为BC的中点，

可得,

由余弦定理，可得，

因为，所以，

所以异面直线AB与所成的角的为.

故选：C.

二、多选题

9．下列有关排列数、组合数的等式中，正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】对于AC,根据组合数的公式即可;对于B，根据排列数的公式即可;对于D，根据二项式定理即可.

【详解】对于A, ,故A错误；

对于B，，故B正确；

对于C，组合数的性质，，故C正确；

对于D，由二项式定理知，=，故D错误；

故选：BC.

10．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有（    ）

A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是

B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为

C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为

D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为

【答案】ABD

【解析】A.由古典概型的概率求解判断；B.根据取到红球次数X～B，再利用方差公式求解判断；C．设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}．由P(B|A)＝求解判断；D．易得每次取到红球的概率P＝，然后再利用对立事件求解判断.

【详解】A.恰有一个白球的概率，故A正确；

B.每次任取一球，取到红球次数X～B，其方差为，故B正确；

C．设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}．则P(A)＝，P(A∩B)＝，所以P(B|A)＝，故C错误；

D．每次取到红球的概率P＝，所以至少有一次取到红球的概率为，故D正确．

故选：ABD.

11．4名男生和3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（    ）

A．若女生必须站在一起，那么一共有种排法

B．若女生互不相邻，那么一共有种排法

C．若甲不站最中间，那么一共有种排法

D．若甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有种排法

【答案】AC

【分析】分别利用捆绑法、插空法、优先安排特殊元素法、间接法依次求解.

【详解】选项,利用捆绑法，将3名女生看成一个整体，其排列方式有种，加上4名男生一共有5个个体，则有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故正确；

选项,利用插空法，4名男生排成一排形成5个空，其排列方式有种，再将3名女生插入空中，有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故不正确；

选项,利用优先安排特殊元素法，甲不站最中间,甲先从除中间之外的6个位置选一个，其选择方式有种，再将剩余的6人全排列，有种排列方式，则由乘法原理可知一共有种排法，故正确；

 选项,利用间接法，3人站成一排共有种排法，若甲站最左边有种排法，乙站最右边有种排法，甲站最左边且乙站最右边有种排法，所以甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有种排法，故不正确；

故选：AC.

12．如图所示，在棱长为2的正方形中，点，分别是，的中点，则（　　）

A．

B．与平面所成角的正弦值为

C．二面角的余弦值为

D．平面截正方体所得的截面周长为

【答案】BD

【分析】利用坐标法，对A，由向量数量积与垂直的关系即可判断；对B，由向量法求线面角；对C，由向量法求面面角；对D，分析得，则平面AEF截正方体所得的截面为四边形，即可根据几何关系求周长，

【详解】以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，则

，

对A， ，，故与不垂直，A错；

对B，，设平面AEF的法向量为，则，令，则有，

设与平面AEF所成角为，则，B对；

对C，平面EFC的一个法向量为，则，∴二面角的余弦值为，C错；

对D，由，，可得，平面AEF截正方体所得的截面为四边形，

则有，故平面AEF截正方体所得的截面周长为，D对.

故选：BD.

三、填空题

13．现从某校2022年高三上学期某次测试成绩中随机抽取部分学生的物理成绩作为样本进行分析，成绩近似服从正态分布，且，则__________．

【答案】/

【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解.

【详解】由题意可得：，则，

故.

故答案为：.

14．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为，…，第行的第3个数字为，则___________.

【答案】220

【分析】先利用二项式定理，得，再进行组合数计算即可.

【详解】由题意，得，

所以

.

故答案为：220.

15．在长方体中，，，若E为的中点，则点E到面的距离是______.

【答案】

【分析】以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点E到面的距离.

【详解】以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：

，，，，

，，，

设平面的法向量，

则，取，得，

∴点E到面的距离为.

故答案为：.

【点睛】本题考查点到平面距离的向量求法，属于基础题.

16．经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则取得最大值时的值为__________.

【答案】

【分析】由已知可得，，根据二项分布的分布列公式求出时的概率，即可得出答案.

【详解】由已知可得，，.

则，，，，，，

所以，当时，取得最大值.

故答案为：.

四、解答题

17．已知的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于56.

(1)求展开式中所有二项式系数的和；

(2)求展开式中的常数项.

【答案】(1)1024

(2)180

【分析】（1）根据前三项的二项式系数之和列出方程，求出，进而求出所有二项式系数的和；

（2）利用展开式的通项公式，令的次数为0，求出，得到答案.

【详解】（1）前三项的二项式系数和为，

解得或-11（舍去），

中，展开式中所有二项式系数的和为；

（2）的展开式通项公式为，

令得，故.

18．已知向量，

(1)求与的夹角；

(2)若与垂直，求实数t的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)结合向量数量积性质夹角公式的坐标表示即可求解；

(2)由向量垂直的坐标表示即可求解.

【详解】（1），，

，，

，

令与的夹角为，

则，

则与的夹角为.

（2），，

又与垂直，，

即，解得.

19．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数.

(1)有女生但人数必须少于男生；

(2)某女生一定担任语文科代表；

(3)某男生必须包括在内，但不担任语文科代表.

【答案】(1)5400（种）

(2)840（种）

(3)3360（种）

【分析】（1）先选后排，分类讨论列式求解；

（2）除去一定担任语文科代表的女生后先选后排，，先选后排计算可得；

（3）先安排不担任语文科代表的该男生，先选后排计算可得.

【详解】（1）先选后排，5人可以是2女3男，也可以是1女4男，

所以先选有种，后排有种，

所以共有不同选法（种）.

（2）除去一定担任语文科代表的女生后，先选后排，

共有不同选法（种）.

（3）先选后排，但先安排不担任语文科代表的该男生，

所以共有不同选法（种）.

20．盒中有大小形状完全相同的8个红球和2个黑球．

(1)现随机从中取出一球，观察颜色后放回，并加上与取出的球同色的球2个，再从盒中第二次取出一球，求第二次取出黑球的概率；

(2)从中抽取3个球进行检测，随机变量表示取出黑球的个数，求的分布列及期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，期望为.

【分析】（1）根据全概率公式即可求解，

（2）根据超几何分布求解概率，进而可求分布列以及期望.

【详解】（1）记第二次取出黑球为事件A,第一次取出红球记为事件,第一次取出黑球记为事件，所以.

（2）可能为0，1，2,

.

的分布列为：

.

21．某市为了更好的了解全体中小学生感染新冠感冒后的情况，以便及时补充医疗资源.从全市中小学生中随机抽取了100名抗原检测为阳性的中小学生监测其健康状况，100名中小学生感染奥密克戎后的疼痛指数为，并以此为样本得到了如下图所示的表格：

其中轻症感染者和重症感染者统称为有症状感染者.

(1)统计学中常用表示在事件A发生的条件下事件发生的似然比.现从样本中随机抽取1名学生，记事件：该名学生为有症状感染者，事件：该名学生为重症感染者，求似然比的值；

(2)若该市所有抗原检测为阳性的中小学生的疼痛指数近似的服从正态分布，且.若从该市众多抗原检测为阳性的中小学生中随机抽取3名，设这3名学生中轻症感染者人数为，求的分布列及数学期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）应用条件概率公式计算求解即可；

（2）应用，由二项分布分别写出求分布列及计算数学期望.

【详解】（1）由题意得：，

，

，

.

（2），

，则，

可能的取值为，

的分布列为：

数学期望.

22．如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A−PB−C的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）.

【详解】（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD．

由于AB//CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD．

又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．

（2）在平面内作，垂足为，

由（1）可知，平面，故，可得平面.

以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.

由（1）及已知可得，，，.

所以，，，.

设是平面的法向量，则

即

可取.

设是平面的法向量，则

即可取.

则，

所以二面角的余弦值为.

【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：

①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；

②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；

③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.