2022-2023学年江苏省连云港市灌南高级中学高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年江苏省连云港市灌南高级中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各1张，可以组成不同的币值一共有（    ）

A．4种 B．7种 C．15种 D．18种

【答案】C

【分析】依据题意可将人民币分成选取1张，选取2张，选取3张，选取4张进行分类计算．

【详解】解：选取1张人民币共有种不同的情况，

选取2张人民币共有种不同的情况，

选取3张人民币共有种不同的情况，

选取4张人民币共有种不同的情况，

故共有种不同的币值．

故选：．

2．已知空间中三点，，，则（    ）

A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量是

C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是

【答案】D

【分析】根据共线向量定理，单位向量，法向量，向量夹角的定义，依次计算，即可得到答案；

【详解】对A，，又不存在实数，使得，与不是共线向量，故A错误；

对B，，与向量方向相同的单位向量是，故B错误；

对C，，，故C错误；

对D，设为面的一个法向量，，，取，平面的一个法向量是，故D正确；

故选：D

3．已知的二项展开式中，第项与第项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先根据第项与第项的二项式系数相等列出等式，解出，再用赋值法即可得出结果.

【详解】解：因为，且第项与第项的二项式系数相等，

所以，解得，取，所以所有项的系数之和为：.

故选：C

4．某班有名学生，一次数学考试的成绩近似地服从正态分布，平均分为，标准差为，理论上说在分到分的人数约为（    ）

附：若随机变量，则，，.

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】计算出，乘以即可得解.

【详解】因为数学成绩服从正态分布，所以，，

所以，，

因此，理论上说在分到分的人数约为.

故选：B.

5．已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有位患有该病的患者服用了这种药物，位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有位患者被治愈的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用二项分布概率计算公式即可解得

【详解】由已知位患者被治愈是相互独立的，每位患者被治愈的概率为，则不被治愈的概率为

所以位患者中恰有1为患者被治愈的概率为

故选：B

【点睛】结论点睛：二项分布概率公式，n是试验次数，k是指定事件发生的次数，p是指定事件在一次试验中发生的概率，考查学生的逻辑能力与运算能力，属于基础题.

6．新高考数学中的不定项选择题有4个不同选项，其错误选项可能有0个、1个或2个，这种题型很好地凸显了“强调在深刻理解基础之上的融会贯通、灵活运用，促进学生掌握原理、内化方法、举一反三”的教考衔接要求．若某道数学不定项选择题存在错误选项，且错误选项不能相邻，则符合要求的4个不同选项的排列方式共有（    ）

A．24种 B．36种 C．48种 D．60种

【答案】B

【分析】当错误选项恰有1个时，直接全排列即可；当错误选项恰有2个时，利用插空法求解.最后将两种情况相加即可.

【详解】当错误选项恰有1个时，4个选项进行排列有种；

当错误选项恰有2个时，先排2个正确选项，再将2个错误选项插入到3个空位中，有种．

故共有种．

故选：B．

7．设两个相关变量和分别满足下表：

若相关变量和可拟合为非线性回归方程，则当时，的估计值为（    ）

（参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先将非线性回归方程化为线性，令，则可得，根据数据及公式分别求出，代入非线性回归方程可得变量和之间的关系，将代入化简计算即可.

【详解】解：因为非线性回归方程为：，则有，

令，即，列出相关变量关系如下：

所以，，

，，

所以，

所以，所以，

即，即，因为，所以，

当时，.

故选：B

8．如图所示空间直角坐标系中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线和底面所成角为，则P点坐标满足（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据空间直角坐标系求得，以及平面的一个法向量，根据线面夹角的坐标运算即可得P点坐标满足的等式关系.

【详解】解：由正三棱柱，且，根据坐标系可得：

，又是正三棱柱的底面内一动点，则，所以，

又平面，所以是平面的一个法向量，

因为直线和底面所成角为，

所以，

整理得，又，所以.

故选：A.

二、多选题

9．下列说法正确的有（    ）

A．在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法

B．离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和

C．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点

D．在回归分析中，决定系数越大，模拟的效果越好

【答案】ABD

【分析】利用独立性检验的概念可判断A选项；利用离散型随机变量的概念可判断B选项；利用回归直线的概念可判断C选项；利用决定系数与模拟效果的关系可判断D选项.

【详解】对于A选项，在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，A对；

对于B选项，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和，B对；

对于C选项，线性回归方程对应的直线必过样本中心点，不一定过样本数据点中的一个点，C错；

对于D选项，在回归分析中，决定系数越大，模拟的效果越好，D对.

故选：ABD.

10．某工程队有6辆不同的工程车，按下列方式分给工地进行作业，每个工地至少分1辆工程车，则下列结论正确的有（    ）

A．分给甲､乙､丙三地每地各2辆，有120种分配方式

B．分给甲､乙两地每地各2辆，分给丙､丁两地每地各1辆，有180种分配方式

C．分给甲､乙､丙三地，其中一地分4辆，另两地各分1辆，有60种分配方式

D．分给甲､乙､丙､丁四地，其中两地各分2辆，另两地各分1辆，有1080种分配方式

【答案】BD

【分析】对A，工地不同，工程车不同，可分步，甲先选2辆，然后乙选2辆，剩下2辆给丙；

对B，同A相同方法可得；

对C，由于不知哪个工地是4辆车，因此可把6辆车按分组，再全排列可得；

对D，与C相同方法，先分组再分配．

计算后判断各选项．

【详解】对A，先从6辆工程车中分给甲地2辆，有种方法，再从剩余的4辆工程车中分给乙地2辆，有种方法，最后的2辆分给丙地，有种方法，所以不同的分配方式有（种），故A错误；

对B，6辆工程车先分给甲､乙两地每地各2辆，有种方法，剩余2辆分给丙､丁两地每地各1辆，有种方法，所以不同的分配方式有（种），故B正确；

对C，先把6辆工程车分成3组：4辆､1辆､1辆，有种方法，再分给甲､乙､丙三地，所以不同的分配方式有（种），故C错误；

对D，先把6辆工程车分成4组：2辆､2辆､1辆､1辆，有种方法，再分给甲､乙､丙､丁四地，所以不同的分配方式有（种），故D正确.

故选：BD.

11．如图所示，平行六面体，其中，，，，下列说法中正确的是（    ）

A．

B．

C．直线AC与直线是相交直线

D．与AC所成角的余弦值为

【答案】AB

【分析】A选项，利用空间向量运算法则得到，平方后，由向量数量积公式求出，求出，A正确；

B选项，求出，，得到B正确；

C选项，作出辅助线，得到四边形为平行四边形，点平面，而点平面，从而得到C错误；

D选项，先得到，，从而求出，，利用空间向量余弦夹角公式求出答案.

【详解】由空间向量运算法则得到：，

所以

，

故，A正确；

因为，

所以

，

故，，B正确；

连接，

因为，且，所以四边形为平行四边形，

点平面，而点平面，

故直线AC与直线是异面直线，C错误；

，，

，

又

，

，

故，

设与AC所成角为，

所以

故与AC所成角的余弦值为，D错误.

故选：AB

12．下列说法正确的是    （    ）

A．设随机变量X服从二项分布，则

B．已知随机变量X服从正态分布，且，则

C．；

D．已知随机变量满足，若，则随着的增大而减小

【答案】AB

【分析】结合正态分布的对称性和数学期望与方差计算公式和运算性质，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，由随机变量X服从二项分布，

则，所以A正确；

对于B中，由随机变量X服从正态分布，且，可得，

根据正态分布曲线的对称性，可得，所以B正确；

对于C中，根据期望和方差的性质，可得，，所以C不正确；

对于D中，由随机变量满足，

可得，

根据一次函数与二次函数的性质可知：当时，随的增大而增大，

所以D不正确.

故选：AB.

三、填空题

13．在A、B、C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有，，的人患了流感假设这三个地区的人口比例为5：7：8，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为______

【答案】

【分析】根据概率的意义计算．假设三个地区总人口为200人，然后求出患流感的总人数后可得．

【详解】假设三个地区总人口为2000人，

因为A、B、C三个地区人口比例为5：7：8，因此可得A、B、C三个地区人口数分别为500、700、800，

又这三个地区分别有，，的人患了流感，所以这三个地区患了流感的人数分别为，，，

所以所求概率为．

故答案为：0.0485．

14．若，且，则实数的值为_________．

【答案】

【分析】令，则原式化为，再令、，结合已知条件，即可得到方程，解得即可.

【详解】因为，

令，则，

令则，

令则，

因为，

即，

即，

所以，即，解得.

故答案为：

15．已知两随机变量X，Y满足，若，则__________．

【答案】

【分析】先由，得均值，方差，然后由得，再根据公式求解即可．

【详解】解：由题意，知随机变量服从二项分布，，，

则均值，方差，

又，

，

，

．

故答案为：．

16．如图，两条异面直线a，b所成角为，在直线上a，b分别取点，E和点A，F，使且.已知，，.则线段______.

【答案】或

【分析】根据空间向量的加法，利用向量数量积的性质计算模长，建立方程，可得答案.

【详解】因为，所以，

由于，，则，，

又因为两条异面直线a，b所成角为，所以或，

故，可得或.

故答案为：或

四、解答题

17．已知向量，，.

(1)当时，若向量与垂直，求实数x和k的值；

(2)当时，求证：向量与向量，共面.

【答案】(1)；；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据可求得，再根据垂直的数量积为0求解即可.

（2）设，根据条件可得，根据共面向量定理即得.

【详解】（1）因为,

所以，

解得，

因为，向量与垂直，

所以，

∴，

∴；

所以实数和的值分别为和；

（2）当时，，

设（），

则，

，解得，

即，

所以向量与向量，共面.

18．（1）解不等式；

（2）若，求正整数．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据排列数计算公式化简后代入检验求解即可；

（2）由组合数的运算及组合数的性质化简得出方程，验证满足，由单调性确定唯一解即可.

【详解】（1）因为，

所以且，，

即且，，

经验算，可解得；

（2）因为

，

所以，则满足题意，且在且时递增，

因此是唯一解.

19．某省2021年开始将全面实施新高考方案.在6门选择性考试科目中，物理､历史这两门科目采用原始分计分；思想政治､地理､化学､生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为，，，，共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分.该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治､地理､化学､生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分.

（1）某校思想政治学科获得等级的共有10名学生，其原始分及转换分如表：

现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中思想政治转换分不低于94分的人数为，求的分布列和数学期望；

（2）假设该省此次高一学生思想政治学科原始分服从正态分布．若，令，则．请解决下列问题：若以此次高一学生思想政治学科原始分等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留整数）附：若，.

【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）71．

【分析】（1）写出随机变量的所有可能的取值，根据超几何分布求解分布列与数学期望；

（2）根据服从正态分布求出，即可求解参数．

【详解】解：（1）随机变量的所有可能的取值为0，1，2，3，

根据条件得，，

，

则随机变量的分布列为

数学期望；

（2）设该划线分为，由得，，

令，则，

依题意，，即

因为当时，，所以，

所以，故，取.

综上：估计该划线分大约为71分．

20．为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生､大健康观念，手机APP也推出了多款健康运动软件，如“微信运动”，某运动品牌公司140名员工均在微信好友群中参与了“微信运动”，且公司每月进行一次评比，对该月内每日运动都达到10000步及以上的员工授予该月“运动达人”称号，其余员工均称为“参与者”，下表是该运动品牌公司140名员工2021年1月-5月获得“运动达人”称号的统计数据：

(1)由表中看出，可用线性回归模型拟合“运动达人”员工数与月份之间的关系，求关于的回归直线方程，并预测该运动品牌公司6月份获得“运动达人”称号的员工数；

(2)为了进一步了解员工们的运动情况，选取了员工们在3月份的运动数据进行分析，统计结果如下：

请补充上表中的数据（直接写出，的值），并根据上表判断是否有95%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关？

参考公式：，，（其中）.

【答案】(1)，6月份获得“运动达人”称号的有（人）

(2)表格答案见解析，没有95%的把握认为获得“运动达人”与性别有关

【分析】（1）利用公式可求线性回归方程，并据此可得预测该运动品牌公司获得“运动达人”称号的员工数；

（2）根据列联表可求参数的值，根据公式可求，结合临界值表可判断是否有95%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关.

【详解】（1），

，

，，

∴，

由过，故，∴，

∴6月份获得“运动达人”称号的有（人）.

（2），，

，

∴没有95%的把握认为获得“运动达人”与性别有关.

21．如图，在三棱柱中，平面ABC，，D是的中点．

(1)求平面与平面ABC夹角的余弦值；

(2)在直线CD上是否存在一点P，使得BP与平面所成角的正弦值为，若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，或．

【分析】（1）根据题设构建空间直角坐标系，求出面ABC、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求面面角的余弦值；

（2）设，得，结合面法向量，及线面角正弦值，应用空间向量夹角坐标表示列方程求参数，即可判断存在性并求长度.

【详解】（1）因为平面ABC，平面ABC，则，，

以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，

所以平面ABC的一个法向量为，

设平面的法向量为，而，

所以，即，令，则，故，

所以，又平面与平面ABC夹角为锐角，

所以平面与平面ABC夹角的余弦值为；

（2）假设存在点P，

设，，

设BP与平面所成的角为，由（1）知，平面的法向量为，

则，

所以，解得或，

在线段CD上存在一点P，使BP与面所成角的正弦值为，此时或．

22．为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响.

(1)求甲前3次答题得分之和为40分的概率；

(2)记甲第i次答题所得分数的数学期望为.

①写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：

②若，求i的最小值.

【答案】(1)；

(2)①，，且；②5.

【分析】（1）甲甲前3次答题得分之和为40分的事件是甲前3次答题中恰答对一次的事件，再利用相互独立事件概率的乘法公式计算作答.

（2）①求出，再分析、写出与满足的等量关系式作答；②利用构造法求出的通项，列出不等式并结合单调性作答.

【详解】（1）甲前3次答题得分之和为40分的事件是：甲前3次答题中仅只答对一次的事件，

所以甲前3次答题得分之和为40分的概率.

（2）①甲第1次答题得20分、10分的概率分别为，则，

甲第2次答题得40分、20分、10分的概率分别为，

则，显然，

，甲第次答题所得分数的数学期望为，

因此第次答对题所得分数为，答错题所得分数为10分，其概率分别为，

于是甲第i次答题所得分数的数学期望为，

所以与满足的等量关系式是：，，且；

②由①知，，当时，，而，

因此数列以为首项，为公比的等比数列，，

于是，由得：，显然数列是递增数列，

而，则有正整数，

所以i的最小值是5.