2022-2023学年江苏省扬州市广陵区红桥高级中学高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年江苏省扬州市广陵区红桥高级中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．的值为（    ）

A．12 B．30 C．26 D．24

【答案】B

【分析】根据排列数的计算公式求解即可.

【详解】.

故选：B

2．二项式的展开式中第3项的二项式系数为（    ）

A． B．56 C． D．28

【答案】D

【分析】二项式展开式的第k+1项的二项式系数为，进而得到答案.

【详解】二项式展开式第三项的二项式系数为.

故选：D.

3．已知，，且，则向量与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出向量与的夹角的余弦值，即可求出与的夹角.

【详解】，

所以，

∴，∴，

∴，

又∵，

∴与的夹角为.

故选：B.

4．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（    ）

A．120种 B．90种

C．60种 D．30种

【答案】C

【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.

【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；

然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；

最后剩下的名同学去丙场馆.

故不同的安排方法共有种.

故选：C

【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.

5．从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求得和的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率.

【详解】依题意,,故.故选B.

【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题.

6．被7除的余数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】根据，按照二项式定理展开，可得它除以7的余数．

【详解】因为，

显然，除了最后一项外，其余的各项都能被7整除，故它除以7的余数为.

故选：B

7．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，则直线与平面BDE所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】以点D为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求平面BDE的一个法向量，进而可求直线与平面BDE所成角.

【详解】以点D为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，，

所以，，，

设平面BDE的一个法向量，则，即，令，则，，所以平面BDE的一个法向量，

设直线与平面BDE所成角为，所以．

故选：D.

8．的展开式中含的项的系数为（    ）

A． B．60 C． D．30

【答案】A

【分析】将转化为，根据二项式定理求出含的项，即可得出答案，

【详解】的展开式中含的项为，

的展开式中含的项为，

的展开式中含的项的系数为.

故选：A.

二、多选题

9．二项式的展开式中，二项式系数最大的项为（    ）

A．第六项 B．第七项 C．第八项 D．第九项

【答案】BC

【分析】根据二项式系数的性质即可得到答案.

【详解】由题得二项式的展开式共有14项，

中间两项的二项式系数最大，

该两项为第七项和第八项，

故选：BC.

10．将高二（1）班的四个同学分到语文、数学、英语三个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名同学的分配方法有多少种？下列结论正确的有（    ）

A． B．

C． D．18

【答案】BC

【分析】根据题意，有2种解法，

解法1，先将4人分三组，再将分好的三组全排列，由分布计数原理计算可得B正确；

解法2，在3个小组中选出1个，安排2个同学，再将剩下的2人全排列，对应剩下的2个兴趣小组，由分布计数原理计算可得C正确；即可得答案；

【详解】解：根据题意，

解法1，先将4人三组，有C42种分组方法，再将分好的三组全排列，对应三个兴趣小组，有A33种情况，则有C42A33种分配方法，B正确；

解法2，在3个小组中选出1个，安排2个同学，有C31C42种情况，再将剩下的2人全排列，对应剩下的2个兴趣小组，有A22种情况，则有C31C42A22种分配方法，C正确；

故选：BC.

【点睛】本题考查排列组合的应用，分组分配问题，可以先分组后分配，也可以直接分配，解题的关键是分析思路，做到不重不漏，属于基础题.

11．设，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．展开式中二项式系数最大的项是第5项 D．

【答案】BD

【分析】对于A，令，从而即可判断；对于B，令，结合A的结论，即可判断；对于C，由二次项的展开式中系数的特征即可判断；对于D，利用二次项的展开式公式求出即可判断.

【详解】解：对于A，令得，故A不正确；

对于B，令得，

而由A知：，因此，故B正确；

对于C，因为的展开式中二项式系数最大的项是第6项，故C不正确；

对于D，因为的展开式中，，

所以，，

因此，，所以，故D正确．

故选：BD.

12．如图，正方体的棱长为2，分别为的中点．则下列结论正确的是（   ）

A．直线与平面垂直

B．直线与平面平行

C．三棱锥的体积为

D．点到平面的距离为

【答案】BCD

【分析】建立空间直角坐标系，求出相关各点坐标，求出平面的法向量，利用向量的数量积的计算，可判断A,B；根据等体积法可求得三棱锥的体积，可判断C；利用空间距离的向量计算公式，可判断D.

【详解】如图，以D点为坐标原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，

则 ,

对于A, ,

设平面AEF的法向量为 ，则 ，

可取 ，

而，与不平行，故直线与平面不垂直，故A错；

对于B， , 平面AEF的法向量为,

,不在平面内,

故直线与平面平行，故B正确；

对于C， ,故C正确；

对于D， , 平面AEF的法向量为,,

故点到平面的距离为 ，故D正确，

故选：BCD

三、填空题

13．已知，，若与共线，则_________.

【答案】/

【分析】由向量共线的坐标表示得出的值.

【详解】因为与共线，所以，所以，，则.

故答案为：

14．从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）

【答案】

【分析】方法一：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从人中任选人的选法种数减去没有女生的选法种数，即可解出.

【详解】［方法一］：反面考虑

没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，

故至少有位女生入选，则不同的选法共有种．

故答案为：.

［方法二］：正面考虑

若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有种；

若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有种，则不同的选法共有种．

故答案为：.

【整体点评】方法一：根据“正难则反”，先考虑“至少有位女生入选”的反面种数，再利用没有限制的选法种数减去反面种数即可求出，对于正面分类较多的问题是不错的方法；

方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出．

15．已知的展开式中的系数为5，则______．

【答案】

【分析】根据产生的两种可能分别得到其系数的等式解出．

【详解】因为的展开式中的系数为5，则，即，解得；

故答案为：．

四、双空题

16．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则___________，___________.

【答案】         

【分析】根据题意求出，根据条件概率计算方法可计算；根据即可求﹒

【详解】由题可知，，，，

若从甲箱选中一个红球放到乙箱中，则此时乙箱中有11个球，且其中5个是红球，故；

同理，，，

∴.

故答案为：；﹒

五、解答题

17．（1）计算：；

（2）已知，（m>1）；求的值.

【答案】（1）325；（2）126.

【分析】（1）根据排列数的计算公式即可得解；（2）根据结合题意可得，利用化简整理，再代入组合数的计算公式计算.

【详解】（1）∵，则

∴

（2）∵，则或，解得或（舍去）

∵，则.

18．在①前三项系数成等差数列，②二项式系数之和为64，这两个条件中任选—个，补充在问题中，并进行解答.

问题：在的展开式中，___________，求n的值及展开式中的常数项.

【答案】答案见解析

【分析】写出展开式通项公式，

选条件①，得前三项系数，由它们成等差数列得值，由通项公式得常数项的项数，得常数项；

选条件②，由二项式指数性质得值，由通项公式得常数项的项数，得常数项．

【详解】解：因为二项式展开式的通项为

选条件①，前三项的系数成等差数列，

展开式前三项的系数分别为，，，

由题设知

解得或（舍去）

当时，

所以时，为常数项

选条件②，二项式系数之和为64，所以，

当时，，

所以时，为常数项.

19．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PA=2AD=4，且PC=.点E在PC上.

(1)求证：平面BDE⊥平面PAC；

(2)若E为PC的中点，求直线PC与平面AED所成的角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)．

【分析】（1）根据题意可判断出ABCD是正方形，从而可得，再根据，由线面垂直的判定定理可得平面PAC，然后由面面垂直的判定定理即可证出；

（2）由、、两两垂直可建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出直线PC与平面AED所成的角的正弦值.

【详解】（1）因为PA⊥底面ABCD，PA=2AD=4，PC=，所以，，即ABCD是正方形，所以，而PA⊥底面ABCD，所以，又，所以平面PAC，而平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC．

（2）由题可知、、两两垂直，建系如图，

，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，

，，，，1，，，2，，

设平面的一个法向量为，则，，

即，取，0，，

所以直线与平面所成的角的正弦值为．

20．现有4名男生、3名女生站成一排照相．（用数字作答）

(1)两端是女生，有多少种不同的站法？

(2)任意两名女生不相邻，有多少种不同的站法？

(3)女生甲要在女生乙的右方(可以不相邻)，有多少种不同的站法？

【答案】(1)720；

(2)1440；

(3)2520；

【分析】（1）先选2女生排两端，再将其余学生全排列，即可得结果.

（2）利用插空法，把3名女生插入到4名男生所形成的5个空中，即得结果.

（3）将所有人作全排列，根据甲乙女生位置的对称性，即可求结果.

【详解】（1）选2女生排两端有种方法，再排其余学生有种方法，

所以两端是女生的不同站法有种.

（2）先排4名男生有种方法，再将3名女生插入5个空隙中有种方法，

所以任意两名女生不相邻的不同站法有种.

（3）7名学生的全排列为，而甲乙的顺序有2种，所以女生甲要在女生乙的右方的不同站法有种.

21．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形，平面平面ABCD，．

(1)求点A到平面PBC的距离；

(2)E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）取AD中点O，连接OB，OP.通过证明，可得，.后由等体积法可求得点A到平面PBC的距离；

（2）由（1），如图建立以O为原点的空间直角坐标系，由直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为，可得.求得平面ADE的法向量后，利用空间向量可得平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值.

【详解】（1）取AD中点O，连接OB，OP.

∵为等边三角形，∴，OA=1，.

又∵平面平面ABCD，平面平面ABCD=AD，

平面PAD，∴平面ABC.

又∵平面ABCD，∴.

∵，∴，∴.

又∵，平面POB，

平面POB，，∴平面POB.

又∵平面POB，∴.

∴，

设点A到平面PBC的距离为h，

则即，∴；

（2）由（1），分别以OA，OB，OP为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，，.

设，则，.

得，则.

又平面ABC，则取平面ABCD的法向量.

设AE与平面ABCD所成的角为，则

，解得.

则，.

设平面ADE的法向量，则.

令，则取平面ADE的法向量，又平面ABCD的法向量.

故平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值为.

22．已知（且，）.

（1）设，求中含项的系数；

（2）化简：；

（3）证明：.

【答案】（1）330；（2）；（3）见解析

【分析】（1）根据表达式可知系数为，将改写成，利用组合数的性质：整理得到结果；（2）通过对求导可得，代入可求得，根据可化简得到结果；（3）等式左侧可看做中含项的系数；通过整理出，此时含项的系数为，即等式右侧；由此可知所证等式成立.

【详解】（1）由题意知：

所以中含项的系数为：

（2）

两边求导得，令得到，

又且所求式子的通项为

（3）……①

则函数中含项的系数为

因为……②

①-②得：

即

所以

函数中含项的系数为：

所以

【点睛】本题考查二项式定理、组合数公式的综合应用问题，解题关键是在处理组合数的化简、证明问题时，常采用构造法逆用二项式定理、对二项展开式左右两端分别求导，从而得到符合题意的组合数；同时在解题过程中要注意组合数性质的应用.