2022-2023学年江西省景德镇一中高二（17班）下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年江西省景德镇一中高二（17班）下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知直线与直线垂直，则实数a的值为（    ）

A． B． C．或 D．不存在

【答案】C

【分析】分为直线斜率存在和不存在两种情况直接求解即可.

【详解】当时，直线，直线，两直线垂直，符合题意；

当时，由两直线垂直可得，解得或1（舍去），

综上所述，或.

故选：C

2．设集合，，若，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据，可得，再分和两种情况讨论即可.

【详解】因为，所以，

当，即时，，符合题意；

当时，

则，解得，

综上所述实数的取值范围为.

故选：C.

3．关于的不等式对恒成立的一个必要不充分条件是（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】A

【分析】根据题意解出使不等式恒成立的的取值范围，再根据题意知，选项能推出题干，题干推不出选项，故题干的范围是选项范围的子集，即可得出答案.

【详解】关于的不等式对恒成立，则，根据题意知，选项能推出题干，题干推不出选项，故题干的范围是选项范围的子集，只有A选项符合题意.

故选：A.

4．已知，且 ，则的最小值为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】C

【分析】利用已知条件将化为积为定值的形式，再根据基本不等式可求出结果.

【详解】

，

当且仅当，即，又，所以时，等号成立.

故选：C

5．已知的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则的值为（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】B

【分析】根据给定条件求出二项展开式的通项，再列式即可计算得的值.

【详解】依题意，的二项展开式通项：，，

于是有：，整理得，即，而，解得，

所以的值为8.

故选：B

6．集合，，以为定义域，为值域的函数的个数为（    ）

A．60 B．150 C．540 D．

【答案】B

【分析】求以为定义域，为值域的函数的个数相当于把5个不同的球放入3个不同的盒子中，且盒子不能空的放法，先把5个不同的球分成3组，然后放入3个盒子即可

【详解】由题意可知求以为定义域，为值域的函数的个数相当于把5个不同的球放入3个不同的盒子中，且盒子不能空的放法，

先将5个不同的球分成3组，不同的分法有种，然后每个盒子中放一组即可，

所以共有种，

所以以为定义域，为值域的函数的个数为150，

故选：B

7．已知数列是公比为的等比数列，是其前和，若恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据分类讨论确定的表达式，再根据恒成立问题的解法即可求出．

【详解】当时，，符合题意；

当时，恒成立，

当时，不等式变形得，，因为，此时符合题意；

当时，不等式变形得，，因为，此时符合题意；

当时，若为偶数，则不等式变形得，，即，

若该不等式恒成立，则，即，所以设，

，，

所以当时，，此时，

此时该不等式不可能恒成立；

当时，，若该不等式恒成立，只需，

解得（舍去）或，综上，；

若为奇数，不等式变形得，，满足题意；

综上所述，实数的取值范围是．

故选：A．

8．甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60kg，方差为200，乙队体重的平均数为70kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1：4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是（    ）

A．65，280 B．68，280 C．65，296 D．68，296

【答案】D

【分析】根据题意按比例设甲、乙队的人数，再求平均数；再根据甲、乙的各自方差求出甲乙两队全部队员的方差。总体根据平均数和方差的定义求解即可.

【详解】设甲队有a人，甲、乙两队的队员人数之比为1：4，则乙队有4a人，

因为甲队体重的平均数为60，乙队体重的平均数为70，

则甲、乙两队全部队员的平均体重为

，

甲队体重的方差

则

乙队体重的方差为

则

甲、乙两队全部队员体重的方差为

+

+

故选：B.

二、多选题

9．已知，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】用赋值法对ABCD四个选项分别判断：

对于A：令，即可求解；

对于B：令，即可求解；

对于C：令，即可求解；

对于D：先对两边求导，再令，即可求解.

【详解】对于，

对于A：令，可得：，即.故A正确；

对于B：令，可得：，

即，因为，所以.故B正确；

对于C：令，可得：，因为，所以.故C错误；

对于D：对两边求导得：

,

令，可得：，

即.故D正确.

故选：ABD

10．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排照相，下列说法正确的是（    ）

A．如果甲，乙必须相邻，那么不同的排法有24种

B．甲不站在排头，乙不站在正中间，则不同的排法共有78种

C．甲乙不相邻且乙在甲的右边，则不同的排法共有36种

D．若五人已站好，后来情况有变，需加上2人，但不能改变原来五人的相对顺序，则不同的排法共有42种

【答案】BCD

【分析】采用排列组合公式对各选项进行计算判断即可

【详解】对A，如果甲，乙必须相邻，则可将甲乙先捆绑，考虑左右位置，共有2种情况，再将4个位置全排列，共有种排法，故A错误；

对B，分两种情况，①甲站中间时，共有种排法；②甲不站中间，先排甲，有3种情况，中间位置3选1，有3种情况，剩下3人全排列，有种情况，则共有种情况，甲不站在排头，乙不站在正中间，不同的排法共有种情况；

对C，甲乙不相邻且乙在甲的右边，按中间人数多少分类，当中间有1人时，有种；当中间有两人时，有种；当中间有3人时，有种排法，则共有36种排法；

对D，五人站好后，有6个空，剩下两人再逐一插空，共有种情况；

故答案为：BCD

11．已知点，若过点的直线交圆：于，两点，是圆上一动点，则（    ）

A．的最小值为 B．到的距离的最大值为

C．的最小值为 D．的最大值为

【答案】ABD

【分析】对于A，由圆的性质可得当直线与轴垂直时，有最小值，从而可求出其最小值；对于B，当直线与垂直时，到的距离有最大值；对于C，设，从而可得，进而可求出其最小值；对于D，当，，三点共线时，最大

【详解】如图，当直线与轴垂直时，有最小值，且最小值为，所以A正确；

设，则，

所以，所以的最小值为，所以C错误；

当，，三点共线时，最大，且最大值为，所以D正确；

当直线与垂直时，到的距离有最大值，且最大值为，所以B正确.

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆，考查运算求解能力，解题的关键是由题意画出图形，结合图形求解，考查数形结合的思想，属于中档题

12．P是直线上的一个动点，过点P作圆的两条切线，A，B为切点，则（    ）

A．弦长的最小值为 B．存在点P，使得

C．直线经过一个定点 D．线段的中点在一个定圆上

【答案】ACD

【分析】设，则为的中点，且，再根据勾股定理、等面积法及锐角三角函数得到、，根据的范围，即可判断A、B，设，求出以为直径的圆的方程，两圆方程作差，即可得到切点弦方程，从而判断C，再根据圆的定义判断D；

【详解】解：依题意，即，设，则为的中点，且，

所以，所以，，又，

所以，，所以，，故A正确，B不正确；

设，则，所以以为直径的圆的方程为，

则，即，所以直线的方程为，所以直线过定点，故C正确；

又，，所以的中点在以为直径的圆上，故D正确；

故选：ACD

三、填空题

13．已知A＝{x∈R|2a≤x≤a＋3},B＝{x∈R|x<－1或x>4}，若，则实数a的取值范围是________．

【答案】a<－4或a>2

【分析】按集合A为空集和不是空集两种情况去讨论即可求得实数a的取值范围.

【详解】①当a>3即2a>a＋3时，A＝，满足；.

②当a3即2aa＋3时，若，

则有，解得a<－4或2<a≤3

综上，实数a的取值范围是a<－4或a>2.

故答案为：a<－4或a>2

14．已知，满足对于任意的，都有，设，若对于任意的，，都有成立，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】利用函数的图象的对称性求得，将整理为，由已知条件得到，求解即得.

【详解】∵对于任意的，都有，∴函数的对称轴为，∴，

∴

,

对于任意的，，都有成立，

∴,解得，

即实数的取值范围是,

故答案为：

15．已知正项数列的前n项和为，,令,设的前n项和为，则在中有理数的个数为____．

【答案】

【分析】由得到，利用裂项相消法求和，结合有理数的性质得到结果.

【详解】∵，

∴当时，，

整理得：，

又∵数列的每项均为正数，∴，

 又∵，即，

∴数列是首项、公差均为的等差数列，

∴，

∴，

∴数列的前项和为，

要使为有理数，只需为有理数即可，即，

∵，

∴，即在中有理数的个数为个，

故答案为：.

16．在生物学研究过程中，常用高倍显微镜观察生物体细胞.已知某研究小组利用高倍显微镜观察某叶片的组织细胞，获得显微镜下局部的叶片细胞图片，如图所示，为了方便研究，现在利用甲、乙、丙、丁四种不同的试剂对、、、、、这六个细胞进行染色，其中相邻的细胞不能用同种试剂染色，且甲试剂不能对C细胞染色，则共有__________种不同的染色方法（用数字作答）.

【答案】90.

【分析】先考虑C细胞的染色试剂没有限制的条件下相邻的细胞不能用同种试剂染色的方法种数，然后考虑用甲试剂对C细胞染色且相邻的细胞不能用同种试剂染色的方法种数，将两种方法种数作差即可得解.

【详解】不考虑甲试剂不能对C细胞染色，

若C、E细胞的染色试剂相同，共有种方法，

若C、E细胞的染色试剂不同，共有种方法，

共120种方法.

现考虑甲试剂对C细胞染色，

若C、E细胞的染色试剂相同，共有种方法，

若C、E细胞的染色试剂不同，共有，

共30种方法.

所以，符合条件的染色方法有120-30=90种.

故答案为：90.

【点睛】求解染色问题一般直接用两个计算原理求解，通常的作法是，按区域的不同以区域为主分布计数，用分布乘法原理进行求解.

四、解答题

17．某市政府为了节约生活用水，实施居民生活用水定额管理政策，即确定一个居民月用水量标准x（单位：吨），用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费，并随机抽取部分居民进行调查，抽取的居民月均用水量的频率分布直方图如图所示．（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)试估计该市居民月均用水量的众数、平均数；

(3)如果希望85%的居民月均用水量不超过标准x，那么标准x定为多少比较合理？

【答案】(1)

(2)吨，吨

(3)

【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1进行求解.

（2）利用频率分布直方图中的最高矩形求众数，利用每个矩形的底端中点和其面积的乘积之和来求平均数.

（3）利用频率分布直方图求85%分位数即可.

【详解】（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，可得，解得．

（2）由频率分布直方图可知，该市居民月均用水量的众数约为（吨），

由频率分布直方图可知，平均数约为（吨）．

（3）由频率分布直方图可知，月均用水量低于2.5吨的居民人数所占的百分比为，月均用水量低于3吨的居民人数所占的百分比为，

所以，由题意可得，解得．

所以如果希望85%的居民月均用水量不超过标准x，那么x定为2.9吨比较合理．

【点睛】利用频率分布直方图求解样本数据的众数、平均数、中位数，原则如下：

（1）在样本数据的频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标即为该组数据的众数；

（2）在频率分布直方图中，中位数左边和右边的矩形面积相等，由此可以估计中位数的值；

（3）在频率分布直方图中，平均数等于每个小矩形的面积乘以对应小矩形底边中点的横坐标之和．

18．设数列的前n项和，，，成等比数列.

(1)求数列的通项；

(2)数列的前n项和为，求数列的前n项和为.

【答案】(1)；

(2)．

【分析】(1)利用与的关系以及，，成等比数列求出t的值，然后求出；

(2)，利用裂项相消即可求出﹒

【详解】（1），

当时，，

当时，

，

∴，

，

，

由题知，

舍)或

，当n＝1时，也满足上式，；

（2）由(1)知，

∴

19．已知数列的前项和为，，数列满足，．

(1)求数列和的通项公式；

(2)设数列的前项和为，若不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2)﹒

【详解】（1）∵

∴当时，，

当时，由，

得，即，

数列是公差为2的等差数列，

由条件得，即数列是公比为2的等比数列，

；

（2）∵，

则，

，

，

，

恒成立，

则恒成立，

令，则，

，

，

，

故实数的取值范围是﹒

20．已知函数.

（Ⅰ）当时，解关于x的不等式；

（Ⅱ）若不等式的解集为D，且，求m的取值范围．

【答案】（Ⅰ）当时，解集为或；当时，解集为；

当时，解集为．；（II）．

【详解】分析：（Ⅰ）将不等式化为一般形式，然后根据的取值情况分类讨论求解即可．（Ⅱ）将条件中的集合间的包含关系转化为不等式恒成立的问题解决，然后分离参数后再转化为求函数的最值的问题，最后根据基本不等式求解可得所求．

详解：（Ⅰ）由得,

即

①当，即时，解得；

②当即时，解得或；

③当，即时，

由于 ，

故解得．

综上可得：当时，解集为或；

当时，解集为；

当时，解集为．

（II）不等式的解集为，且，即任意的不等式恒成立．

即对任意的恒成立，

由于，

∴对任意的恒成立．

令，

∵，

当且仅当，即时等号成立．

∴，

∴实数的取值范围是．

另解:

不等式的解集为，且，即任意的不等式恒成立．设

(1)当时,,解得

 (2)当时,, 当时恒小于0,不满足,舍去

 (3)当时,

(ⅰ),即,得

(ⅱ),解得

综上可得实数的取值范围是．

点睛：解含参数的一元二次不等式的步骤

（1）二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．

（2）判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．

（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式．

21．2022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社区，受到了全社会的关注．为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k个人，把这k个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k个人的血液全为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为了明确这k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验．假设在接受检验的人群中，随机抽一人核酸检测呈阳性概率为，每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的．

(1)若该社区约有2000人，有两种分组方式可以选择：方案一是：10人一组；方案二：8人一组．请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由；

(2)我们知道核酸检测呈阳性，必须由专家二次确认，因为有假阳性的可能；已知该社区人员中被感染的概率为0.29%，且已知被感染的人员核酸检测呈阳性的概率为99.9%，若检测中有一人核酸检测呈阳性，求其被感染的概率．（参考数据：（，）

【答案】(1)方案一工作量更少，理由见解析.

(2)

【分析】（1）根据题干，分别得出两种方案中每组的化验次数的可能取值，分别计算概率，列出分布列，根据分布列求解数学期望，比较两种方案中哪种方案化验次数最少即可.

（2）根据已知条件，利用条件概率的计算公式求解即可.

【详解】（1）解：设方案一中每组的化验次数为，则的取值为1，11，

∴，

，

∴的分布列为：

．

故方案一的化验总次数的期望值为：次．

设方案二中每组的化验次数为，则的取值为1，9

，，

∴的分布列为：

∴．

∴方案二的化验总次数的期望为次．∵260<298，

∴方案一工作量更少．故选择方案一.

（2）设事件A：核酸检测呈阳性，事件B：被感染，

则由题意得，

由条件概率公式可得，

∴该人被感染的概率为.

22．中医药传承数千年，治病救人济苍生.中国工程院院士张伯礼在接受记者采访时说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症病人的几率.对改善发热､咳嗽､乏力等症状，中药起效非常快，对肺部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效果.”2021年12月某地爆发了新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A，B两组，A组服用甲种中药，B组服用乙种中药.服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为，B组3人康复的概率分别为，，.

(1)设事件C表示A组中恰好有1人康复，事件D表示B组中恰好有1人康复，求；

(2)若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药性越好，请问甲､乙两种中药哪种药性更好？

【答案】(1)

(2)甲种中药药性更好

【分析】（1）分别计算出示A组中恰好有1人康复， B组中恰好有1人康复的概率，根据相互独立事件同时发生的概率的计算方法，求得答案;

（2）根据二项分布的期望公式求得A组中服用甲种中药康复人数积分的期望值，再计算出B组中服用乙种中药康复人数积分的期望值，比较可得答案.

【详解】（1）依题意有，，

.

又事件C与D相互独立，

则，

所以.

（2）设A组中服用甲种中药康复的人数为，则，

所以.

设A组的积分为，则，

所以.

设B组中服用乙种中药康复的人数为，则的可能取值为：0,1,2,3,

，

，

，

，

故的分布列为

所以,

设B组的积分为，则，

所以,

因为，

所以甲种中药药性更好.