2022-2023学年辽宁省朝阳市凌源市高二下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年辽宁省朝阳市凌源市高二下学期期中数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省朝阳市凌源市高二下学期期中数学试题 一、单选题1．设集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由交集的定义求解即可.【详解】因为集合，，则.故选：B.2．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由复数的乘法和除法运算化简即可得出答案.【详解】．故选：A.3．已知，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】借助指数函数与对数函数的单调性将三个数，和中间量1与2来比较，即得大小关系.【详解】因为，，，所以．故选：C.4．已知点P在圆 上，则点P到x轴的距离的最大值为（    ）A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】先根据圆的一般方程求出圆心半径，再结合问题计算即可.【详解】圆 ,即圆  圆心为，半径，得点P到x轴的距离的最大值为.故选：B.5．如图，某几何体由两个同底的圆台组成,已知,该几何体的体积为,则该几何体的高（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据台体的体积公式求解即可.【详解】根据台体的体积公式,得,即,解得,即.故选:C.6．已知是定义在R上的奇函数，的导函数为 ，若 恒成立，则的解集为（    ）A．  B． C．  D．【答案】D【分析】根据函数的单调性求解.【详解】令函数，则 ，因为 所以. 是增函数，因为是奇函数，所以，，所以的解集为，即≥的解集为；故选：D.7．如图,某手链由10颗较小的珠子(每颗珠子相同)和11颗较大的珠子(每颗珠子均不相同)串成,若10颗小珠子必须相邻,大珠子的位置任意,则该手链不同的串法有（    ）A．种 B．种 C．种 D． 种【答案】B【分析】相邻问题利用捆绑法解决即可.【详解】将10颗小珠子看成一个整体,不同的串法有种.故选:B.8．在四面体中，，，向量与的夹角为，若，，则该四面体外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，将四面体补形为直三棱柱，与余弦定理可得的长，再由正弦定理可得外接圆的半径，从而得到外接球的半径，即可得到结果.【详解】将四面体补成如图所示的直三棱柱，因为向量与的夹角为，所以，则，外接圆的半径，该四面体外接球的半径，所以该四面体外接球的表面积为．故选:D 二、多选题9．某社区医院工作人员在社区内开展了“如何护理患有黄疸的新生儿”的知识讲座，并向参与讲座的每人发放了一份相关的知识问卷．该讲座结束后，共收回问卷100份．据统计，这100份问卷的得分（满分为100分）近似服从正态分布，下列说法正确的是（    ）附：若，则，，．A．这100份问卷得分数据的期望是80，标准差是25B．这100份问卷中得分超过85分的约有16份C．D．若在其他社区开展该知识讲座并发放知识问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布【答案】BC【分析】根据正态分布，得到， ，可判定A错误；求得，可判定B正确；由正态分布概率密度曲线的对称性，可判定C正确；根据同一份问卷发放到不同社区，得到的数据不一定相同，可判定D错误．【详解】由题意得，该问卷得分数据服从正态分布，可得数据的期望是，方差是 ，标准差是，所以A错误；由，可得，所以该问卷中得分超过85分的约有16份，所以B正确；由正态分布概率密度曲线的对称性，可得，所以C正确；由同一份问卷发放到不同社区，得到的数据不一定相同，所以D错误．故选：BC.10．已知函数的部分图象如图所示，则的图象可以由函数的图象（    ）A．先纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度得到B．先纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位长度得到C．先向右平移个单位长度，再纵坐标不变，横坐标变为原来的得到D．先向右平移个单位长度，再纵坐标不变，横坐标变为原来的得到【答案】AD【分析】根据函数图象求出解析式，进而判断图象的平移过程即可.【详解】由图象得，的图象经过点和，代人解析式得，结合图象得，又，，，所以，故．先纵坐标不变，横坐标变为原来的，得，再向左平移个单位长度得到；先向右平移个单位长度，得，再纵坐标不变，横坐标变为原来的得到.而B、C平移过程不满足.故选：AD11．已知等比数列的前n项积为,且，则下列结论正确的是（    ）A． B．的公比为C． D．【答案】ABD【分析】A选项，根据可求出；B选项，结合A选项和题干条件可得公比；C选项，注意到的前项大于，第项后均在中，，故取到最大值；D选项，利用等比数列的基本量进行证明.【详解】因为，所以，A正确；因为，解得，B正确；注意到，故时，；时，，所以或时，取到最大值，C错误；因， 左边等于右边成立，D正确.故选：ABD12．已知函数，下列结论正确的是（    ）A．在上单调递增B．的最大值为1C．当时，D．若函数恰有2个零点，则的取值范围为【答案】BCD【分析】对于选项AB，通过对函数求导，直接求出函数的单调区间和最大值，即可判断出选项AB的正误；对选项C，通过构造函数，利用的单调性即可判断出选项C的正误；对于选项D，令，从而得到，再利用的单调性即可判断出选项D的正误.【详解】选项AB，易知的定义域为，，所以，当时，，即在区间上单调递增，当时，，即在区间上单调递减，则，故选项A错误，选项B正确；选项C，令，则 ，因为，所以，即在区间上单调递增，则，即，故选项C正确；选项D，令，由，得到，因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，，当趋近于0时，趋近于0，当趋近于时，趋近于0，所以时，恒有，所以，如图1，当或时，无解，则无零点，不合题意；当时，时，，由，得到，即时，则有且只有一个零点，不合题意；当时，有两个解，因为，如图2，有且仅有两解，，无解，则有且两个零点，符合题意；所以恰有两个零点时，，故选项D正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解． 三、填空题13．已知单位向量，满足，则_______．【答案】/【分析】根据向量的运算法则和数量积的运算公式，准确运算，即可求解.【详解】因为，所以．故答案为：.14．双曲线的焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为_______．【答案】/【分析】根据点到直线的距离公式求出，并根据离心率公式求解即可.【详解】由于对称性，令右焦点到渐近线，即的距离为2，所以，又，∴，∴．故答案为: .15．一个装有水的圆柱形水杯水平放在桌面上，在杯中放入一个半径为1cm的球状物体后，水面高度为6cm，如图所示.已知该水杯的底面圆半径为3cm，若从时刻开始，该球状物体的半径以1cm/s的速度变长(在该球状物体膨胀的过程中，该球状物体不吸水，且始终处于水面下，杯中的水不会溢出)，则在时刻，水面上升的瞬时速度为__________ cm/s.【答案】4【分析】根据体积公式求出函数，再求导函数可以求得瞬时速度.【详解】杯中水的体积为 设在该过程中水面高度为h，则 即 令函数    则 故在时刻，水面上升的瞬时速度为4 cm/s.故答案为：4.16．已知数列满足记，为坐标原点，则面积的最大值为_____________.【答案】4【分析】先由递推公式推出为等比数列，求出其通项公式，用累加法求出的通项公式，再列出关于面积的函数式，求出其最值即可.【详解】因为，所以，即，因为，所以是以4为首项为公比的等比数列，所以，由累加法得：所以因为，所以，令函数，则.当时，，而，所以在上单调递减.，故面积的最大值为4.故答案为：4. 四、解答题17．第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午开幕，3月13日上午闭幕．某校为了鼓励学生关心国家大事，了解学生对新闻大事的关注度，进行了一个随机问卷调查，调查的结果如下表所示． 男学生女学生合计关注度极高454085关注度一般51015合计5050100(1)若从该校随机选1名学生，已知选到的学生对新闻大事的关注度极高，求他是男学生的概率；(2)用频率估计概率，从该校随机选20名学生，记对新闻大事关注度极高的学生的人数为，求的期望．【答案】(1)(2)17 【分析】（1）由条件概率公式求解即可；（2）从该校随机选1名学生，求出该学生对新闻大事关注度极高的概率，由题意得，由二项分布的期望公式求解即可.【详解】（1）记事件为“选到的是男学生”，记事件为“选到的学生对新闻大事的关注度极高”．．（2）从该校随机选1名学生，该学生对新闻大事关注度极高的概率为．由题意得，则．18．已知等差数列 满足   .(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为.证明 .【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列通项公式计算即可；（2）应用裂项相消法结合函数单调性证明可得.【详解】（1）设数列 的公差为d，则     所以    故 （2）   因为函数  在(0，+∞)上单调递增，所以  故 19．如图，在正三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，D为AB的中点， .(1)若证明:DE⊥平面A₁B₁E；(2)若直线BC₁与平面A₁B₁E所成角为求λ的值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）先证明A₁B₁⊥平面DCC₁F，得到DE⊥A₁B，再证明DE⊥平面A₁B₁E即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出线面角即可得解.【详解】（1）证明：取A₁B₁的中点F，连接EF，DF，DC，FC₁.由题意，得所以DE²+EF²=DF²，则DE⊥EF.因为A₁B₁⊥C₁F，A₁B₁⊥DF，平面DCC₁F，所以A₁B₁⊥平面DCC₁F，又平面DCC₁F，所以DE⊥A₁B，因为A₁B₁∩EF=F，平面A₁B₁E，所以DE⊥平面A₁B₁E.（2）以D为坐标原点，DB，DC，DF的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则设设平面A₁B₁E的法向量为，则.取则设直线BC₁与平面A₁B₁E所成的角为θ，则，化简得，解得或当时，点E与点C₁重合，此时λ=0，不符合题意.所以，即λ的值为20．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并给予解答：问题：锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，___________，求周长的取值范围．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案见解析【分析】根据题意，利用正弦定理和两角和的正弦公式，求得，得到，若选①：由正弦定理化简得到，根据为锐角三角形，求得，进而求得，得到周长的取值范围；若选②，由正弦定理化简得到，由为锐角三角形，求得，进而求得，得到周长的取值范围.【详解】解：因为，由正弦定理得，又因为，所以，所以，所以，所以，即，因为，所以，若选①：若，由正弦定理，可得，所以，因为为锐角三角形，则满足，可得，则，所以，可得，则周长的取值范围为．若选②：若，由正弦定理，可得，因为为锐角三角形，则满足，可得，则，所以，所以，则周长的取值范围为．21．已知离心率为的椭圆经过点A（2，1）．(1)求椭圆C的方程．(2)不经过点A且斜率为的直线与椭圆C相交于P ，Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】(1)(2)定值为 【分析】（1）将点的坐标代入椭圆方程，并与离心率联立求出 ；（2）设直线l的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理，再根据条件即可证明.【详解】（1）由题可知，  ，解得， ，故椭圆C的方程为；（2）直线l的方程为，联立方程组整理得，则 ，由题意，必须有 ，即 必须满足 ，此时，．，整理得，因为l不经过点A，所以，所以，即，故k为定值，且该定值为；综上，椭圆C的方程为，k为定值，且该定值为.【点睛】在计算过程中，是对直线l的k和m的一个约束，因为l必须经过椭圆C内部的点；对的因式分解比较难，不容易看出.22．已知函数.(1)当时，求的图像在点处的切线方程；(2)若不等式恒成立，求的取值集合.【答案】(1)y=2x(2){1} 【分析】（1）先求出切点，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出结果；（2）通过构造函数，将问题转化成求的最小值，通过对进行分类讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出单调区间，进而求出结果.【详解】（1）当时，，所以，又 ，所以，故的图像在点处的切线方程为，即.（2）解法一：因为恒成立，恒成立，令函数，则  ①当时，在区间恒成立，此时g(x)在区间单调递增，又，易知，所以，故不合题意，②当时，由 可得  即令，则在区间上恒成立所以在区间上单调递增，又因为， 所以存在，使得，两边同时取对数可得，则当时，，即，当时，，即，所以当时，，故要使恒成立，只需，令，则，由，得到，由，得到，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， ，即， 所以只有唯一解，即.综上，a的取值集合为.解法二：由题意可得恒成立，令 ，则在区间上恒成立，所以在区间上单调递增，又因为，所以，所以恒成立，即在区间上恒成立，令，又因为，要使恒成立，则是的极小值点，又因为，所以，解得. 当时，令，，所以时，，时，，所以，满足题意.综上，a的取值集合为.【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，考查不等式恒成立问题，解题方法是把不等式变形为，然后由导数求得的最小值，解不等式即可得参数范围．