2022-2023学年辽宁省大连市第二十四中学高二下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年辽宁省大连市第二十四中学高二下学期期中数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省大连市第二十四中学高二下学期期中数学试题 一、单选题1．已知，则（    ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根据排列组合公式得到，解得答案.【详解】，即，故，故.故选：C2．某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图．下面关于相关系数的比较，正确的是（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据散点图的分布可得相关性的强弱，即可比较大小.【详解】由图可知：所对应的图中的散点呈现正相关 ，而且对应的相关性比对应的相关性要强，故，所对应的图中的散点呈现负相关，且根据散点的分布情况可知,因此，故选：C3．同时抛掷两枚质地均匀的硬币（忽略客观因素对其的影响），如果已经知道有一枚硬币正面朝上，那么这两枚硬币都是正面朝上的概率是（    ）A． B． C． D．不确定【答案】B【分析】先列举出“有一枚硬币正面朝上”的基本事件，再找出“硬币都是正面朝上”的事件个数，即可求解【详解】同时掷两枚质地均匀的硬币，事件“有一枚硬币正面朝上”包含的基本事件有：（正，正），（正，反），（反，正），共3种，其中“两枚硬币都是正面朝上”只有1种，所以有一枚硬币正面朝上，那么这两枚硬币都是正面朝上的概率是，故选：B4．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行.甲､乙等5名杭州亚运会志愿者到羽毛球､游泳､射击､体操四个场地进行志愿服务，每个志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲去羽毛球场，则不同的安排方法共有（    ）A．6种 B．60种 C．36种 D．24种【答案】B【分析】根据已知条件可知，肯定有一个场地是两个人，该问题分为两类，一类是羽毛球场两人，一类是羽毛球场只有1人，运用分类加法及分步乘法计数原理求解即可.【详解】①羽毛球场安排2人，除甲外的其余4人每人去一个场地，不同安排方法有种，②羽毛球场只安排1人（甲），其余4人分成3组（211）再安排到剩余3个场地，不同安排方法有种，所以不同的安排方法有种.故选：B.5．的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有（    ）A．72项 B．75项 C．78项 D．81项【答案】C【分析】由多项式展开式中的项为，即，将问题转化为将2个隔板和11个小球分成三组，应用组合数求项数即可.【详解】由题设，多项式展开式各项形式为且，故问题等价于将2个隔板和11个小球分成三组，即.故选：C6．用这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别讨论夹在中间的偶数数字为和不为两种情况，结合捆绑法、特殊位置优先的方式来求解即可.【详解】当夹在中间的偶数数字为时，满足题意的五位数个数为个；当夹在中间的偶数数字不为时，将其与看作一个整体，则有种情况；再将这个整体和另一个不为的数字挑选一个排在首位，其余数字任意排序，共有种情况，则满足题意的五位数有个；满足题意的五位数共有个.故选：A.7．设随机变量，其中，则下列等式成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据随机变量服从标准正态分布，得到正态曲线关于对称，再结合正态分布的密度曲线定义，由此逐一分析四个选项，即可得到答案．【详解】解：因为随机变量，所以正态曲线关于直线对称，因为，所以根据正态曲线的对称性可得，故选项B正确；因为，，所以选项A错误；，故选项C错误；或，故选项D错误．故选：B．8．某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜保鲜分装，以每份10元的价格销售到某生鲜超市，该生鲜超市以每份15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖不完，则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客（根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜全部低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货）.该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天前8小时的销售量（单位：份），制成如下表格（注：，且）：每天前8小时的销售量15161718192021频数10x15161613y若以这100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，以该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的均值为决策依据，当购进17份比购进18份的利润的均值大时，x的取值集合为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题设表格数据写出购进17份有机蔬菜利润、购进18份有机蔬菜利润的分布列，进而求出各自期望，由及题设条件，求x的范围即可.【详解】设该生鲜超市购进17份有机蔬菜时利润为，购进18份有机蔬菜时利润为，则的分布列如下表所示：657585P所以.的分布列如下表所示：60708090P所以.由题意知，，即，解得，又且，则且，即x的取值集合是.故选：B. 二、多选题9．设A，B为两个随机事件，若，，下列命题中，正确的是（    ）A．若A，B为互斥事件，B．C．若，则A，B为相互独立事件D．若A，B为相互独立事件，则【答案】AC【分析】根据互斥事件的概率公式，结合相互独立事件的概率公式进行判断即可.【详解】若A，B为互斥事件，，所以选项A正确；若时，，所以选项B不正确；因为，所以选项C正确；若A，B为相互独立事件，，所以选项D不正确，故选：AC10．下列说法中，正确的命题是（    ）A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1B．C．已知随机变服从正态分布，则D．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和【答案】CD【分析】利用相关系数与线性相关程度的关系可判断A选项的正误，利用期望和方差的性质可判断B选项的正误，利用正态分布的性质可判断C选项的正误；利用对数的运算可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于，故A选项错误；对于B选项，由期望和方差的性质可得，，故B选项错误；对于C选项，已知随机变服从正态分布，，则，C选项正确；对于D选项，在等式两边取对数得，即，，解得，D选项正确.故选：CD11．若，则（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】对于A，赋值法求；对于B，分析奇偶项系数的符号，再应用赋值法求；对于C，由分析含项的系数即可证；对于D，赋值法求，结合A、B分析求即可.【详解】对于A：当，则，A正确；对于B：由展开式通项为，故为奇数时，为偶数时，则，当时有，B错误；对于C：由，所以含项的系数为，则，C正确；对于D：当时有，结合A、B分析有，D错误；故选：AC12．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如10100），其中A的各位数中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时（    ）A．X服从超几何分布 B．C．X的均值 D．X的方差【答案】BCD【分析】根据二项分布的定义可判断A的正误，利用二项分布可判断B的正误，利用公式计算出的期望和方差后可判断CD的正误.【详解】由二进制数A的特点知，每一个数位上的数字只能填0，1且每个数位上的数字互不影响，故X的可能取值有，且的取值表示1出现的次数，由二项分布的定义，可得，故A错误；故，故B正确；因为，所以，，故C正确，D正确．故选：BCD. 三、填空题13．已知，，，那么____________．【答案】/【分析】根据条件概率公式即可求解.【详解】因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以.故答案为：.14．已知为正数，的展开式中各项系数的和为1，则常数项为___________.【答案】60【分析】先利用已知条件求出参数，再展开式的通项公式找出常数项，然后用公式计算即可.【详解】因为的展开式中各项系数的和为1，且为正数，所以，则，故的展开式的通项为，令，解得，所以的展开式中常数项为，故答案为：60.15．在某次考试中，学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的学生有1000人，则本次考试数学成绩在70分至110分之间的学生大约有______人．（参考数据：，）【答案】840【分析】利用正态分布的对称性及三段区间的概率求，进而估计区间人数.【详解】由题设，所以，所以考试数学成绩在70分至110分之间的学生大约有人.故答案为：16．已知集合，对它的非空子集，将中每个元素都乘以再求和，如，可以求得和为，则对的所有非空子集，则这些和的总和为________．【答案】2560.【分析】根据题意，将中所有非空子集分类考虑，将所有非空子集中的含有1的总个数确定好，从而可求其和，同理求得含有的部分的和，问题即可解决.【详解】，中所有非空子集含有1的有10类：①单元素集合只有含有1，即1出现了次；②双元素集合只有1的有，即1出现了次；③三元素集合中含有1的有，即1出现了次，⑩含有10个元素，出现了次；共出现，同理都出现次，的所有非空子集中，这些和的总和是.故答案为：.【点睛】本题主要考查集合的子集以及组合式的应用，考查了分类讨论思想的应用，意在考查灵活应用所学知识解决问题的能力，属于难题. 四、解答题17．已知的展开式中，各项系数之和比它的二项式系数之和大992，(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中有理项.【答案】(1)，；(2)，. 【分析】（1）首先利用各项系数之和，它的二项式系数之和，求出，写出的二项展开式通项，进而得到展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，代入通项求解即可；（2）由（1）知，，则展开式中有理项即为为有理数，此时，，进而求出展开式中有理项即可.【详解】（1）依题意，令，则二项式各项系数之和为，又展开式中各项的二项式系数之和为，，即，解得（舍去）或，，的二项展开式通项，由于为奇数，展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，即，；（2）由（1）知，，则展开式中有理项即为为有理数，当时，，当时，，展开式中有理项为，.18．如图是某采矿厂的污水排放量y（单位：吨）与矿产品年产量x（单位：吨）的折线图：(1)依据折线图计算相关系数r（精确到0.01）(2)并据（1）的结果判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？若可用线性回归模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的线性回归方程，并预测年产量为10吨时的污水排放量．若不可用线性回归模型拟合y与x的关系，请说明理由？（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）相关公式参考数据：，．回归方程中，【答案】(1)；(2)可用线性回归模型拟合与的关系； ； 【分析】（1）代入数据，算出相关系数；（2）将的绝对值与0.75比较, 即可判断可用线性回归模型拟合与的关系，从而求出回归方程，求出当时的值，即为预测值.【详解】（1）由折线图可知：，，，，所以.（2）由（1）可知，，因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系.，，所以回归方程为，当时，，所以预测年产量为10吨时的污水排放量为5.5吨.19．在年春节期间，为了进一步发挥电子商务在活跃消费市场方面的积极作用，保障人民群众度过一个平安健康快乐祥和的新春佳节，甲公司和乙公司在某购物平台上同时开启了打折促销、直播带年货活动，甲公司和乙公司所售商品类似，存在竞争关系．(1)现对某时间段名观看直播后选择这两个公司直播间购物的情况进行调查，得到如下数据： 选择甲公司直播间购物选择乙公司直播间购物合计用户年龄段岁 用户年龄段岁  合计   请将表格补充完整，并判断是否有的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关？(2)若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个直播间进行购物，第一天等可能地从甲、乙两家中选一家直播间购物，如果第一天去甲直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为；如果第一天去乙直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为，求小李第二天去乙直播间购物的概率．参考公式：，其中．临界值表： 【答案】(1)列联表见解析，有，理由见解析(2) 【分析】（1）根据题中信息完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）记事件小李第一天去甲直播间，事件小李第二天去甲直播间，利用全概率公式可求得事件的概率.【详解】（1）解：列联表如下： 选择甲公司直播间购物选择乙公司直播间购物合计用户年龄段岁用户年龄段岁合计所以，，所以，有的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关.（2）解：记事件小李第一天去甲直播间，事件小李第二天去甲直播间，则，，，由全概率公式可得.因此，小李第二天去乙直播间购物的概率为.20．猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．规则如下：参赛选手按第一关，第二关，第三关的顺序依次猜歌名闯关，若闯关成功依次分别获得猜公益基金元，元，元，当选手闯过一关后，可以选择游戏结束，带走相应公益基金；也可以继续闯下一关，若有任何一关闯关失败，则游戏结束，全部公益基金清零．假设某嘉宾第一关，第二关，第三关闯关成功的概率分别是，，，该嘉宾选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功与否互不影响．（1）求该嘉宾第一关闯关成功且获得公益基金为零的概率；（2）求该嘉宾获得的公益基金总金额的分布列及均值．【答案】(1)；(2)分布列见解析，均值为1125元.【分析】(1) 事件A=“第一关闯关成功且获得公益基金为零”， A1=“第一关闯关成功第二关闯关失败”， A2=“前两关闯关成功第三关闯关失败”，求出与，利用互斥事件的加法公式即可得；(2)写出该嘉宾获得的公益基金总金额为随机变量的所有可能值，计算出对应的概率，即可得分布列及均值.【详解】(1)事件A=“第一关闯关成功且获得公益基金为零”， A1=“第一关闯关成功第二关闯关失败”， A2=“前两关闯关成功第三关闯关失败”，显然A1与A2互斥，且A=A1+A2，，，所以该嘉宾第一关闯关成功且获得公益基金为零的概率为；(2)该嘉宾获得的公益基金总金额为随机变量，的可能值为0，1000，3000，6000，，，，，所以的分布列为：0100030006000的均值为：(元).21．某药厂研制了治疗某种疾病的新药，该药的治愈率为p，现用该药给10位病人治疗，记被治愈的人数为X．(1)若，从这10人中随机选2人进行用药访谈，求被选中的治愈人数Y的分布列；(2)已知，集合{概率最大}，且A中仅有两个元素，求．【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】（1）根据超几何分布的概率计算，可求得概率，即得分布列；（2）根据二项分布的概率公式列出不等式组，求得满足集合A的k的范围，结合条件确定p的值，继而根据二项分布的均值求得答案.【详解】（1）由题意知，Y的所有可能取值为，则，，，所以Y的分布列为Y012P（2）由题意知，则,由,得,解得,因为A为双元素集合且元素为正整数，且，所以，且需为正整数，因为，所以．因为为正整数，所以，即．由题意，，因此．22．水污染现状与工业废水排放密切相关．某工厂深入贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过系统处理，处理后的污水（级水）达到环保标准（简称达标）的概率为．经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进入系统处理后直接排放．某厂现有4个标准水量的级水池，分别取样、检测．多个污水样本检测时，既可以逐个化验，又可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有样本不达标，混合样本的化验结果必不达标．若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水可直接排放．现有以下四种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三：三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；方案四：四个样本混在一起化验．若化验次数的期望值越小，则方案越“优”．（1）若，现有4个级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优”？（2）若“方案三”比“方案四”更“优”，求的取值范围．【答案】（1）选择方案四最“优”．（2）【分析】（1）方案一：逐个检测，检测次数为4．方案二：方案二的检测次数记为，的可能取值为2，4，6．求出概率，得到分布列，求解期望；方案四：混在一起检测，记检测次数为可取1，5．求出概率得到分布列，求解期望；比较期望选择方案四最“优”．（2）方案三：设化验次数为，可取2，5．求出概率得到分布列，然后求解期望，方案四：设化验次数为，可取1，5，求出概率得到分布列，然后求解期望，，即可得到不等式，解得即可．【详解】解：（1）①方案一：逐个检测，检测次数为4．方案二：由①知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为；若不达标则检测次数为3，概率为．故方案二的检测次数记为，的可能取值为2，4，6则，，，其分布列如下，246可求得方案二的期望为方案四：混在一起检测，记检测次数为，可取1，5．则，，其分布列如下，15可求得方案四的期望为．比较可得，故选择方案四最“优”．（2）方案三：设化验次数为，可取2，5，则，．25；方案四：设化验次数为，可取1，515；由题意得，所以，因为，所以．故当时，方案三比方案四更“优”．