2022-2023学年辽宁省辽西联合校高二下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年辽宁省辽西联合校高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．数列－1，4，－9，16，－25，…的一个通项公式为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】奇数项为负数，偶数项为正数，则符号为，结合具体数值可辨析.

【详解】奇数项为负数，偶数项为正数，则符号为，

每项都为平方数，故，

故选：B.

2．已知，，则（   ）

A．  B．  C．  D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算作答.

【详解】因为，，所以.

故选：C

3．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”，该问题中，善走男第日所走的路程里数是（    ）.

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意可得此人所走的里数为等差数列，利用等差数列的性质计算可得答案．

【详解】解：由题意设此人第一天走里，第二天走里，，第天走里，是等差数列，首项是，

因为，所以．故选：D．

4．在等比数列中，，公比，则与的等比中项是（    ）

A．2 B．4 C．2 D．4

【答案】D

【分析】先通过等比数列的通项公式计算，进而可得其等比中项.

【详解】解：因为，

所以与的等比中项是，

故选：D.

5．已知数列满足，其中，则（    ）

A．2 B．4 C．9 D．15

【答案】D

【分析】利用构造法证明数列为等比数列，即可求解.

【详解】因为，所以，即，

所以数列是公比为2的等比数列，

所以，所以，则，

故选:D.

6．用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】取即可得到第一步应验证不等式.

【详解】由题意得，当时，不等式为．

故选：B．

7．某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别p，，，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为，则p的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意结合独立事件概率的乘法公式求恰好投中两次的概率，列方程求解即可得结果.

【详解】在甲、乙、丙处投中分别记为事件A，B，C，则，

可知恰好投中两次为事件，

故恰好投中两次的概率，解得．

故选：A.

8．设等比数列的前项和为，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据等比数列的前项和公式，列式求解.

【详解】设等比数列的首项为，公比为，由条件可知，，

，解得：，

.

故选：A

二、多选题

9．（多选）已知数列的通项公式为，则下列是该数列中的项的是（    ）

A．18 B．12 C．25 D．30

【答案】BD

【分析】由于为正整数，且越大，越大，求得无整数解，且，， ，，判断选项即可.

【详解】因为，所以越大，越大．

当时，；

当时，；

当时，；

当时，．

故选：BD．

10．设离散型随机变量X的分布列为：

若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】对于AB，利用数学期望与方差的计算公式求解即可判断；对于CD，利用数学期望与方差的性质求得新的数学期望与方差即可判断.

【详解】对于A，由，则，

所以，故A正确；

对于B，，故B正确；

对于C，因为，所以，故C错误；

对于D，，故D错误.

故选：AB.

11．设等差数列的前项和为，，公差为，，，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．当时，取得最大值

C．

D．使得成立的最大自然数是15

【答案】ABC

【分析】根据已知可判断，，然后可判断AB；利用通项公式将转化为可判断C；利用下标和性质表示出可判断D.

【详解】解：因为等差数列中，，，

所以，，，A正确；

当时，取得最大值，B正确；

，C正确；

，，

故成立的最大自然数，D错误．

故选：ABC．

12．下列说法正确的的有（    ）

A．已知一组数据，，，的方差为3，则，，，的方差也为3

B．对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是

C．已知随机变量X服从正态分布，若，则

D．已知随机变量X服从二项分布，若，则

【答案】BCD

【分析】根据方差的定义可判断A；根据样本点在回归直线上求得的值可判断B；根据可得，由对称性求出对称轴可得的值可判断C；根据二项分布方差的公式以及方差的性质可判断D，进而可得正确选项.

【详解】对于A：设的平均数为，方差为，

则，，

所以，，，的平均数为，

所以方差为

，故选项A不正确；

对于B：因为线性回归直线过样本点中心，所以，可得，

故选项B正确；

对于C：因为随机变量服从正态分布，所以对称轴为，又，

而，所以，

则，故选项C正确；

对于D：因为服从二项分布，所以，

所以，则，故选项D正确.

故选：BCD

三、填空题

13．已知离散型随机变量的分布列如下表所示：

则常数的值为__________.

【答案】/

【分析】直接根据概率和为1列方程计算即可.

【详解】由已知得，解得.

故答案为：.

14．随着人们对环境关注度的提高，绿色低碳出行越来越受市民重视，小李早上上班的时候，可以骑电动车，也可以骑自行车，已知小李骑电动车的概率为0.6，骑自行车的概率为0.4，而且在骑电动车与骑自行车条件下，小李准时到单位的概率分别为0.9与0.8，则小李准时到单位的概率是___________.

【答案】0.86/

【分析】根据概率的加法公式可分别计算出骑电动车与骑自行车准时到单位的概率，再相加即可.

【详解】由题意可得，小李骑电动车准时到单位的概率为；

骑自行车准时到单位的概率为；

则小李准时到单位的概率是.

故答案为：0.86

15．在各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列，则的值是________.

【答案】

【分析】设等比数列的公比为，利用，，成等差数列求出的值，化简并代入求值即可．

【详解】设等比数列的公比为

由，得，解得(负值舍)

则

故答案为：

【点睛】本题考查等差数列和等比数列的定义，得出要求的比值为q是解决问题的关键，属基础题．

16．已知数列，，且，．求数列的通项公式________；

【答案】.

【分析】由得，利用累加法求即可.

【详解】因为，所以，

当时，，，……，，相加得，所以，

当时，也符合上式，所以数列的通项公式.

故答案为：.

四、解答题

17．近年来，新能源产业蓬勃发展，已成为一大支柱产业.据统计，某市一家新能源企业近5个月的产值如下表，由散点图知，该企业产值（亿元）与月份代码线性相关.

(1)求出关于的线性回归方程；

(2)根据（1）中的结果，预测明年2月份该企业的产值.

参考公式：.

参考数据：.

【答案】(1)

(2)57.2亿元.

【分析】（1）由已知数据结合回归方程公式计算关于的线性回归方程；

（2）将代入回归方程即可求出明年2月份该企业的产值.

【详解】（1）因为，所以，

所以，

所以关于的线性回归方程为，

（2）明年2月份的月份代码为9，

当时，，

所以明年2月份该企业的产值约为57.2亿元.

18．已知数列是等差数列，且，.求：

(1)数列的通项公式；

(2)设，求数列前5项和为.

【答案】(1)

(2)682

【分析】（1）根据题意列出方程组，求得首项和公差，可得答案；

（2）由（1）的结论可得的表达式，根据等比数列的前n项和，即可求得答案.

【详解】（1）等差数列{an}中，设公差为d,

由，，可得，

解得：，，

所以；

（2）由（1）知，

由，可得，

则数列是首项为2，公比为4的等比数列，

所以.

19．一个袋中装有大小相同的8个小球，其中5个红球，3个黑球，现从中随机摸出3个球．

(1)求至少摸到个红球的概率；

(2)求摸到红球的个数的概率分布及数学期望．

【答案】(1).

(2)分布列见解析，.

【分析】（1）根据对立事件的概率公式可求出结果；

（2）根据超几何分布的概率公式求出概率后，可得分布列，根据数学期望公式可求出数学期望.

【详解】（1）设至少摸到1个红球为事件A，

则.

（2）服从超几何分布，，

，，

，.

所以摸到红球的个数的概率分布列为

.

20．某市销售商为了解A、B两款手机的款式与购买者性别之间的是否有关系，对一些购买者做了问卷调查，得到2×2列联表如下表所示：

已知所调查的100人中，A款手机的购买者比B款手机的购买者少20人.

(1)将上面的2×2列联表补充完整；

(2)是否有99%的把握认为购买手机款式与性别之间有关，请说明理由；

(3)用样本估计总体，从所有购买两款手机的人中，选出4人作为幸运顾客，求4人中购买A款手机的人数不超过1人的概率.

附：

参考公式：，.

【答案】(1)列联表见解析；

(2)有，理由见解析；

(3).

【分析】（1）由题目条件可将列联表补充完整；

（2）利用公式算得，后比较其与6.635大小可得结果；

（3）由题目条件可得每次选出购买A款手机的人的概率均为，设X为4人中选出购买A款手机的人数，则，得.

【详解】（1）由题可得列联表如下：

（2）由题有：

因为8.249＞6.635，所以有99%的把握认为购买手机款式与性别之间有关；

（3）从所有购买两款手机的人中，选出4人可以看成做了4次独立重复试验，每次选出购买A款手机的人的概率均为，

设X为4人中选出购买A款手机的人数，，

所以  ， .

.

21．已知各项均不为0的数列满足，.

(1)求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；

(2)设为数列的前n项和，求证：.

【答案】(1)证明见解析，；

(2)证明见解析.

【分析】（1）利用给定的递推公式，变形推理即可，再求出通项公式作答.

（2）由（1）结合裂项相消法求和即可作答.

【详解】（1）因为数列的各项均不为0，则，

将两边同时除以，得，又，

因此数列是以1为首项，1为公差的等差数列，则，

所以数列的通项公式是.

（2）由（1）得，

于是，

因为，则，

所以.

22．已知正项数列中，．

(1)求的通项公式；

(2)若，求的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据计算即可得解；

（2）利用错位相减法求解即可.

【详解】（1）当时，，

解得，

由当时，，

得当时，，

两式相减得，即，

又，所以，

又适合上式，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列，

所以；

（2），

则，

，

两式相减得

，

所以.