2022-2023学年辽宁省第三十一中学高二下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年辽宁省第三十一中学高二下学期期中数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省第三十一中学高二下学期期中数学试题 一、单选题1．函数y＝x2cos 2x的导数为（    ）A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2xB．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2xC．y′＝x2cos 2x－2xsin 2xD．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x【答案】B【分析】利用复合函数的导数运算法则计算即可．【详解】y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2xcos 2x－2x2sin 2x故选：B2．已知数列满足，，其前n项和为，则(    )A． B． C．3 D．【答案】B【分析】根据首项和递推公式求出数列前五项，判断出数列为周期数列，根据周期性即可求．【详解】数列满足，，，，，，…数列是周期为4的周期数列，，∴．故选：B．3．用数学归纳法证明，当时，等式左边应在时的基础上加的项是（    ）A． B． C． D．1【答案】C【解析】分别令，，然后作差求解.【详解】等号左边加的项是,,故选：C4．将一个底面半径为1，高为2的圆雉形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设圆柱的底面半径为，高为，利用三角形相似求得与的关系式，写出圆柱的体积，利用不等式，即可求解.【详解】解：设圆柱的底面半径为，高为，体积为，由与相似，可得，则，所以圆柱的体积为，所以圆柱的最大体积为，此时.故选：C.5．色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中：已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，则该数据的残差为（    ）色差x21232527色度y15181920 A． B． C．0.8 D．0.96【答案】C【分析】根据表中的数据求出，，根据回归直线方程必过样本中心，即可求出，从而得到回归直线方程，再将代入回归方程，求出预测值，从而求出残差.【详解】由题意可知，，，将代入，即，解得，所以，当时，，所以该数据的残差为.故选：C.6．九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数决定解开圆环的个数.在某种玩法中，用表示解开n（，）个圆环所需的最少移动次数，若数列满足，且当时，则解开5个圆环所需的最少移动次数为（    ）A．10 B．16 C．21 D．22【答案】D【分析】根据题意，结合数列递推公式，代入计算即可.【详解】根据题意，由，得.故选：D.7．已知数列的前项和满足(）且，则A． B． C． D．【答案】C【分析】数列{an}的前n项和Sn满足Sn+Sm=Sn+m（n，m∈N*）且a1=5，令m=1，可得Sn+1=Sn+S1，可得an+1=5．即可得出．【详解】数列{an}的前n项和Sn满足Sn+Sm=Sn+m（n，m∈N*）且a1=5，令m=1，则Sn+1=Sn+S1=Sn+5．可得an+1=5．则a8=5．故选C．【点睛】本题考查了数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．已知函数（其中为自然对数底数）在处取得极小值，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【分析】对函数求导，得到，若，满足在处取得极小值，若，令，得=1或，只需就满足在处取得极小值，求解即可．【详解】由，得．当时，，由，得，由，得．∴在上为减函数，在上为增函数，则在=1取得极小值；当时，令，得=1或，为使在=1取得极小值，则有，∴．综上可得：【点睛】本题考查了函数的极值，考查了利用导数求函数的单调性，属于中档题． 二、多选题9．设函数，则下列结论错误的是（    ）A．函数在上单调递增B．函数在上单调递减C．若，则函数的图象在点处的切线方程为D．若，则函数的图象与直线只有一个公共点【答案】ABD【分析】求定义域，求导，得到函数的单调区间，从而判断出AB错误；C选项，利用导函数的几何意义求出切线斜率，进而写出切线方程；D选项，研究函数的单调区间和极值情况，画出函数图象，数形结合得到结论.【详解】，定义域为R，，当或时，，当时，，所以函数在上不单调，AB错误；时，，，所以函数的图象在点处的切线方程为，C正确；时，，，由A选项所求可知，在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值，且，，画出的图象如图所示，显然函数的图象与直线有3个公共点，D错误.故选：ABD10．数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ）A．已知，则使得成等比数列的充要条件为B．若为等差数列，且，则当时，的最大值为2022C．若，则数列前5项的和最大D．设是等差数列的前项和，若，则【答案】CD【分析】对于A：利用等比中项求出，即可判断；对于B：由等差数列的性质求出即可判断；对于C：先判断出为等差数列，利用二次函数的性质即可判断出时，取得最大值；对于D：利用等差数列的分段和性质直接求解.【详解】对于A：因为，所以使得成等比数列等价于，即，解得：.故A错误；对于B：因为为等差数列，且，所以由等差数列的性质可得：，所以.故B错误；对于C：因为，所以，，所以为等差数列.所以的前项和为.由二次函数的性质可得：当时，取得最大值.故C正确；对于D：在等差数列中，设.因为，所以，且.由等差数列的分段和性质可知：也构成等差数列，所以，解得：，所以.故D正确.故选：CD11．关于函数，下列说法正确的是（    ）A．函数的极小值为2B．函数有且只有1个零点C．当时，恒成立D．对任意两个正实数，且，若，则【答案】BC【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极小值，判断A，C，D，求出函数的导数，根据函数的单调性判断函数的零点个数，判断B即可．【详解】解：对于A：函数的定义域是，，令，解得，令，解得，故在递减，在递增，（2），故A错误；对于B：令，则，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递减，在，递增，故，故，故函数在上单调递减，又（1），（2），故函数有且只有1个零点，故B正确；对于C：令，因为，由A选项可知，所以当时，恒成立，故C正确；对于D：设，，结合A选项可知，，构造函数，其中，则，故在递减，，，则，故（2），即，在递增，，可证，故D错误.故选：BC.12．意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现了这样的数列：1，1，2，3，5，8，，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，并将数列中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】根据题意，由列举法分析可得数列是以6为最小正周期的数列，由此分析可得A正确，C错误，根据数列的递推公式分析可得B、D正确，综合可得答案．【详解】解：根据题意，，，，，，，，，，，，，，故数列是以6为最小正周期的数列，依次分析选项：对于A，，，故A正确；对于B，，，故，B正确；对于C，，故C错误；对于D，，，则，，，，故，故D正确；故选：ABD． 三、填空题13．已知函数的解析式唯一，且满足.则函数的图象在点处的切线方程为___________.【答案】【分析】先求得的解析式，然后利用切点和斜率求得切线方程.【详解】由，可得，设，又由，有，得，可得，故所求切线方程为，整理为.故答案为：14．购买一件某家用电器需要10000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率，按复利计算，那么每期应付款为__________元.（）【答案】880【分析】这是一个分期付款问题，关键是计算各期付款到最后一次付款时所生的利息，并注意到各期所付款以及所生利息之和，应等于所购物品的现价及这个现价到最后一次付款所生利息之和【详解】设每期应还款元，则第1期还款后，还欠款 第2期还款后，还欠款 ……………第12期还款后，还欠款第12期还款后，还欠款应为0所以即所以故答案为：880【点睛】本题考查数列的实际问题，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．15．已知数列的前n项和为，且满足，则______________．【答案】【分析】由，推得，得到数列表示首项为，公比为的等比数列，求得和 ，进而得到，再结合等比数列求和公式，即可求解.【详解】由数列的前项和，且满足，当时，，两式相减，可得，即，令，可得，解得，所以数列表示首项为，公比为的等比数列，所以，则，所以，所以.故答案为：.【点睛】关键点睛：由，利用，推得从而证得数列为等比数列是解答本题的关键.16．已知函数，，若图象向下平移个单位后与的图象有交点，则的最小值为______．【答案】【分析】分析可知在上有解，利用导数求出函数在上的最小值，即可得解.【详解】由题意可得，即在上有解，设，其中，则，令，其中，则，故函数在上单调递增，因为，，所以，存在，使得，即，令，其中，则，故在上递增，因为，则，，由可得，所以，，则，且当时，，则，此时函数单调递减，当时，，则，此时函数单调递增，故，所以，.故答案为：.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 四、解答题17．已知等差数列为递增数列，，且，，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前n项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由，，成等比数列可得，与进行联立即可求解；（2）由（1）得，利用裂项相消法即可.【详解】（1）设递增的等差数列的公差为，首项为，因为，，成等比数列，所以，即①，又，所以②，联立①②解得，故.（2）由（1）可知，，所以数列的前n项和.18．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学随机抽取了800名学生，按照性别和体育锻炼情况整理为如下列联表：性别䦁炼合计不经常经常男生200200400女生240160400合计440360800(1)依据列联表中的所有样本观测数据，能否有95%的把握认为性别因素会影响学生锻炼的经常性；(2)若从学校所有女生中随机抽取3人，用表示这3人中经常锻炼的人数，用样本频率估计概率，求的分布列及数学期望.附：①，其中.②临界值表0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828 【答案】(1)可以认为性别因素会影响学生锻炼的经常性(2)分布列见解析， 【分析】（1）根据题意，计算的值，即可判断；（2）根据题意，由条件可得服从二项分布，然后结合二项分布的概率计算公式以及期望公式即可得到结果.【详解】（1）由题意得，因此有95%的把握认为性别因素会影响学生锻炼的经常性.（2）由频率估计概率得，在学校女生中随机抽取1个经常运动的女生的概率为，由题得，则，，，，所以的分布列为：0123所以的期望.19．已知函数．(1)当时，求函数在上的最大值和最小值；(2)试讨论函数的单调性．【答案】(1)最大值为，最小值为(2)答案见解析 【分析】（1）根据导数法求函数最值的步骤即可求解；（2）利用导数法求函数单调性的步骤及对进行分类讨论即可求解.【详解】（1）由题意时，函数，所以，令得或，，当或时，；当时，；所以在和上单调递增，在上单调递减.所以函数在时取得极大值，且；在时取得极小值．且，又，，所以函数在区间上取得最大值为，最小值为；（2），且，当时，，此时在单调递增；当时，时，，此时单调递增；时，，此时单调递减；当时，时，，此时单调递增；时，，此时单调递减；综上所述：当时，函数单调递增区间为，当时，函数的单调递增区间为，；函数的单调递减区间为．当时，函数的单调递增区间为，；函数的单调递减区间为．20．某商店为了更好地规划某种产品的进货量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了组数据作为研究对象，如表（吨）为该商品的进货量，（天）为销售天数：/吨/天(1)根据上述提供的数据，求出关于的回归方程，并预测进货量为时的销售天数；（结果四舍五入）；(2)在该商品进货量不超过吨的前提下任取个值，求该商品进货量恰好有个值不超过吨的概率.参考数据和公式：，，，.【答案】(1)回归直线方程为，预测进货量为时的销售天数约为天(2) 【分析】（1）计算出、，利用最小二乘法求出、的值，可得出回归直线方程，将代入回归直线方程，可得出结果；（2）列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）解：，，所以，，所以，，所以回归直线方程为，当时，，预测进货量为时的销售天数为天.（2）解：进货量不超过吨有、、、、，共个，任取个的基本事件有：、、、、、、、、、，共种结果，恰好有次不超过吨的基本事件有：、、、、、，共种结果，所以所求的概率为.21．已知各项均为正数的数列的前项和为，，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，且数列的前项和为，求的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用退一相减法可得数列为等差数列，进而可得其通项公式；（2）利用错位相减法可得，再根据的单调性可得取值范围.【详解】（1）由，得①，所以当时，②.由①减②，得.因为数列为各项均为正数的数列，所以，又由，，得所以，所以故数列是首项为，公差为的等差数列，所以；（2）由（1），得，所以数列的前项和.所以，两式作差可得：，所以由于，，则数列在上单调递增，于是.22．设函数其中(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为，求的值;(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点，证明:当时，.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析【解析】(Ⅰ)求导得到，，解得答案.(Ⅱ) ，故，在上单调递减，在上单调递增，，设，证明函数单调递减，故，得到证明.【详解】(Ⅰ)，故，，故.(Ⅱ) ，即，存在唯一零点，设零点为，故，即，在上单调递减，在上单调递增，故，设，则，设，则，单调递减，，故恒成立，故单调递减.，故当时，.【点睛】本题考查了函数的切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键.