2022-2023学年河北省沧衡八校联盟高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年河北省沧衡八校联盟高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．甲工厂有80名工人，乙工厂有60名工人，丙工厂有70名工人，现从中选取1人参加技术培训，则不同的选法有（    ）

A．180种 B．210种 C．240种 D．270种

【答案】B

【分析】根据分类加法计数原理求得正确答案.

【详解】依题意可知，不同的选法有种.

故选：B

2．已知数列满足，若，则（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】D

【分析】通过递推公式逐个求解项，对照选项可得答案.

【详解】因为，所以，，

，，

；

因为，所以.

故选：D.

3．已知，且，则（    ）

A．0.3 B．0.4 C．0.7 D．0.8

【答案】C

【分析】根据二项分布期望、方差公式及已知列方程求即可.

【详解】由题设，，则，

所以.

故选：C

4．若的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中的常数项为（    ）

A．15 B．20 C．28 D．35

【答案】A

【分析】先根据所有项的系数之和求出，再利用通项公式可得常数项.

【详解】因为的展开式中所有项的系数之和为64，所以，解得；

的通项公式为，

令得，所以常数项为.

故选：A.

5．甲、乙、丙3人准备前往A，B，C，D这4个景点游玩，其中甲和乙已经去过A景点，本次不再前往A景点游玩，若每个人都至少选择1个景点但不超过3个景点游玩，则3人可组成的不同的游玩组合有（    ）

A．735种 B．686种 C．540种 D．465种

【答案】B

【分析】先确定甲乙的选择，再确定丙的选择利用分步计数原理和组合知识可求答案.

【详解】因为甲和乙已经去过A景点，本次不再前往A景点游玩，

所以两人可以从B，C，D这3个景点中，选择1个，2个或3个去游玩，

两人的选择方法均为：（种）；

而丙的选择方法有：（种）；

所以3人可组成的不同的游玩组合有：（种）.

故选：B.

6．已知直线与函数，的图象分别交于点，，则的最小值为（    ）

A．8 B．10 C．12 D．16

【答案】C

【分析】由题设可得，利用三元基本不等式求其最小值，注意取值条件.

【详解】由题设，，，且，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

综上，的最小值为.

故选：C

7．2022年卡塔尔世界杯是第二十二届国际足联世界杯，于当地时间2022年11月20日至12月18日在卡塔尔境内5座城市中的8座球场举行.本届世界杯的赛制规定：从小组赛晋级的16支球队将被自动分成8组，每组的2支球队比赛一场，获胜的球队晋级1/4决赛.若从小组赛晋级的16支球队中选出4支球队，且恰有2支球队来自同一组，则不同的选择方法有（    ）

A．672种 B．728种 C．764种 D．800种

【答案】A

【分析】首先考虑恰有2支球队来自同一组的选法，再确定另外2支不同组的选法，利用分步计数乘法原理求出结果.

【详解】因为小组赛晋级的16支球队自动分成8组，从中选4支，2支球队来自同一组，

所以要先从8组中选一组，有种选法，这组两支球队全选，保证2支球队来自同一组；

再从剩余7组中选2组，每一组选1支球队，这2支球队来自不同组，有种选法，

所以不同的选择方法有种.

故选：A.

8．“杨辉三角”是中国古代数学家杨辉杰出的研究成果之一．如图，从杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，则在第12条斜线上，最大的数是（    ）

A．35 B．36 C．56 D．70

【答案】C

【分析】根据杨辉三角的规律再向下写出4行，找出第12条斜线上的数，比较大小可得答案.

【详解】杨辉三角第8行的数据为：1  7  21  35  35  21  7  1，

第9行的数据为：1  8  28  56  70  56  28  8  1，

第10行的数据为：1  9  36  84  126  126  84  36  9  1，

第11行的部分数据为：1  10  45  ……，

第12条斜线上的数为：1 10 36 56 35 6，所以最大的数是56.

故选：C.

二、多选题

9．在某次数学测试中，学生的成绩，则（    ）

A． B．若越大，则越大

C． D．

【答案】AC

【分析】根据正态曲线的对称性结合选项逐个分析可得答案.

【详解】因为，所以，A正确；

当时，，当时，，B不正确；

因为，所以，C正确；

根据正态曲线的对称性，D不正确.

故选：AC.

10．已知，则（    ）

A．

B．

C．

D．展开式中所有项的二项式系数的和为

【答案】ABD

【分析】采用赋值法，分别令和可以判断选项A、C；根据二项式展开式的通项求得x的系数，可以判断选项B；直接由展开式中所有项的二项式系数的和的知识就可以判断选项D.

【详解】令，得，所以A正确；

展开式的通项为，

令，得，所以B正确；

令，得，又，

所以，所以C不正确；

展开式中所有项的二项式系数的和为，所以D正确.

故选：ABD.

三、单选题

11．已知a为常数，等差数列的前n项和满足，则的值可能为（    ）

A．4045 B．4046 C．4047 D．4048

【答案】AB

【分析】根据等差数列的前n项和满足，将前n项和公式和通项公式代入，求得首项和公差即可.

【详解】解：因为a为常数，等差数列的前n项和满足，

所以，

则，解得或

所以或

所以或4045，

故选：AB

四、多选题

12．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】设，，利用导数研究函数的单调性，再结合作差法和不等式性质逐一验证各选项.

【详解】设，，则恒成立，

则在单调递减，可得，即.

令，则，且，即，故；

因为，则，

又因为，则，

所以，即.

因为，则，即，即.

综上所述：

故选：BC.

【点睛】利用导数比较大小问题方法点睛：根据已知中式子的外形结构特征与导数结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题.

五、填空题

13．函数的图象在处的切线方程为_________．

【答案】

【分析】求得切点坐标为，切线的斜率，由点斜式即可得切线方程.

【详解】解：因为，，

所以切点坐标为，

又因为，

所以，

所以切线的斜率，

所以切线方程为：，即.

故答案为：

14．某学校组织学生进行答题比赛，已知共有4道类试题，8道类试题，12道类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对这3类试题的概率分别为，，.若学生甲答对了所选试题，则这道试题是类试题的概率为_____________.

【答案】

【分析】利用全概率公式及条件概率公式计算可得.

【详解】设学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件，

设学生答对试题为事件，则，，，

，，，

所以，

所以.

故答案为：

六、双空题

15．一个装有水的圆柱形水杯水平放在桌面上，在杯内放入一个圆柱形铁块后，水面刚好和铁块的上底面齐平，如图所示．已知该水杯的底面圆半径为6 cm，铁块底面圆半径为3 cm，放入铁块后的水面高度为6 cm，若从时刻开始，将铁块以1 cm/s的速度竖直向上匀速提起，在铁块没有完全离开水面的过程中，水面将______（填“匀速”或“非匀速”）下降；在时刻，水面下降的速度为______ cm/s．

【答案】     匀速    

【分析】由圆柱形铁块竖直向上匀速提起，可得水面匀速下降；根据已知得出水面高度H与时刻的函数关系，通过导数求瞬时速度.

【详解】设在铁块没有完全离开水面的过程中，水面高度为H，铁块离开水面的高度为h，

则水和铁块的体积为，即①．

铁块距离杯底的高度为②．

由①②可得．令函数，则．

故水面将匀速下降，下降的速度为．

故答案为：匀速；.

七、填空题

16．已知定义域为R的偶函数满足，且当时，，若将方程实数解的个数记为，则_________．

【答案】

【分析】由条件分析得函数的周期性，结合对称性作出草图，分析两函数的交点个数，得出数列通项，裂项相消求和即可.

【详解】由题意可得，

方程的实数解个数，即两函数的交点个数，

不难发现也是偶函数，所以两函数的交点是关于纵轴对称的，

这里只分析的情况.

结合条件作出两函数简要图象如下：

当时，

此时有两个交点，即，

当时，

此时有4个交点，即，

当时，

此时有6个交点，即，以此类推，可知，

故，即，

故答案为：.

八、解答题

17．已知数列的前n项和为，且．证明：

(1)是等差数列；

(2)．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）根据的关系得出的关系，再利用等差数列的定义证明；

（2）先求出，再利用裂项相消法进行证明.

【详解】（1）证明：因为，

当时，；

两式相减可得，

整理可得，

又，故是以3为首项和公差的等差数列.

（2）证明：由（1）可知，

所以，

则，

所以

，

因为，所以，即.

18．从1，2，3，4，5，6中任取5个数字，随机填入如图所示的5个空格中.

(1)若填入的5个数字中有1和2，且1和2不能相邻，试问不同的填法有多少种？

(2)若填入的5个数字中有1和3，且区域，，中有奇数，试问不同的填法有多少种？

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）应用分步计数，从其余4个数选3个数全排，再把1和2插入其中求结果.

（2）应用间接法，先求出有1和3且区域，，中无奇数的填法数，再求出所有可能的填法数，然后作差即可得结果.

【详解】（1）首先从其它4个数中任选3个并作全排有种，

3个数中共有4个空，将1和2插入其中两个空有种，

所以共有种填法.

（2）若区域，，中无奇数，则其它三个数只能为2、4、6且在区域，，上，

所以，共有种，

从2、4、5、6任选3个数有种，再把5个数全排有种，共有种，

综上，填入的5个数字中有1和3且区域，，中有奇数，共有种.

19．等比数列的前n项和为，已知，且成等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)若，数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等差中项可得公比，利用等比数列的通项公式可得答案；

（2）先通过求出，再利用错位相减法求和，可得.

【详解】（1）设等比数列的公比为，因为成等差数列，

所以，

因为，所以，即，

所以.

（2）由（1）得，因为，所以，

所以，即；

，

，

两式相减可得

；

所以.

20．已知函数.

(1)求的极值；

(2)若恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)极小值为1，无极大值

(2)

【分析】（1）求导，利用导数求解单调性即可求解极值，

（2）将恒成立问题转化成求函数最值问题，构造函数，利用导数求解最值.

【详解】（1）由得，

令，故在单调递增，令，故在单调递减，故当时，取极小值，且极小值为，故极大值，

（2）由恒成立可得恒成立，

记，则，令 ，则，

由（1）知：在处取极小值也是最小值，且最小值为1，故，

因此在上单调递增，且，故当时， ，单调递增，当时， ，单调递减，故当时，取极小值也是最小值1，故

21．某单位组职员上进行排球娱乐比赛，比赛规则如下：比赛实行五局三胜制，任何一方率先赢下3局比赛时比赛结束，每一局比赛获胜方得2分，失败方得1分，甲，乙两队相互打比赛已知甲队每一局获胜的概率均为．

(1)求甲、乙两队3局结束比赛的概率；

(2)记比赛结束时甲队的得分为，求的分布列和期望．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可知，分为甲连赢三局与或甲连输三局，即可得到结果；

（2）根据题意可得的可能取值为，然后分别求出其对应的概率，然后由期望的计算公式即可得到期望.

【详解】（1）根据题意可知，若甲、乙两队3局结束比赛，则甲赢三局或甲输三局，

所以，

故甲、乙两队3局结束比赛的概率为.

（2）根据题意可知，的可能取值为，

则，

，

，

，

，

所以的分布列为

则.

22．已知函数；

(1)若无零点，求a的取值范围；

(2)若有两个相异零点，证明：．

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1）在定义域内，根据函数求导判断函数单调性，找出定义域内最小值，当满足时即可求的取值范围.

（2）根据（1）中求导结果得出零点的取值范围，根据零点性质可知，据此利用函数单调性定义得出和的大小关系，从而证明出.

【详解】（1），，，得，

当时，，单调递减，

时，，单调递增，所以函数的最小值是，

因为函数无零点，，得，

所以的取值范围是；

（2）证明：不妨设，

由（1）得，在上单调递减，在上单调递增，

，故，

，

，

设，，

因为，，所以函数在区间单调递增，且，

所以在区间上恒成立，

故，即，

又在上单调递减，，

.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的形状，以及双变量问题，综合性较强，本题第二问的关键是利用，结合函数的单调性，判断的正负.