2022-2023学年河北省石家庄市二十五中高二下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年河北省石家庄市二十五中高二下学期期中数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省石家庄市二十五中高二下学期期中数学试题 一、单选题1．下列式子求导正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用导数的运算公式分别求导数即可，注意A中的余弦函数的导数公式，B中的分式求导可转化为幂函数求导，C中注意求导要用到复合函数的求导法则，D中的是常数，求导为零，不同于在时导数值.【详解】∵，∴，由，可得，，∵是常数，而常数的导数为0，∴，故选：C2．已知函数可导，且满足，则函数在x＝3处的导数为（    ）A．2 B．1 C．－1 D．－2【答案】D【分析】根据导数的定义即可得到答案.【详解】由题意，，所以.故选：D.3．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（    ）   A． B．C． D．【答案】D【分析】根据的图象可得的单调性，从而得到在相应范围上的符号，据此可判断的图象.【详解】由的图象可知，在上为单调递减函数，故时，，故排除A，C；当时，函数的图象是先递增，再递减，最后再递增，所以的值是先正，再负，最后是正，因此排除B，故选：D.4．函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】通过题意将问题转化为存在使得成立，通过参变分离手段求解即可.【详解】由题意得，，因为函数在区间内存在单调递增区间，所以存在使得成立，即.故选:C5．如图，一圆形信号灯分成四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（    ）A．18 B．24 C．30 D．42【答案】A【分析】根据涂色问题，按照使用颜色种数进行分类，再结合分步计数原理，即可得总的方法数.【详解】若用3种不同的颜色灯带，故有两块区域涂色相同，要么，要么相同，有2种方案，则不同的信号数为；若只用2种不同的颜色灯带，则颜色相同，颜色相同，只有1种方案，则不同的信号数为；则不同的信号总数为.故选：A．6．某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线均生产5mm规格的芯片，现有25块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为5块，10块，10块，若甲、乙、丙生产该芯片的次品率分别为0.1，0.2，0.3，则从这25块芯片中任取一块芯片，是正品的概率为（    ）A．0.78 B．0.64 C．0.58 D．0.48【答案】A【分析】设“任取一块芯片是正品”，分别表示芯片由甲、乙、丙三条生产线生产，根据互斥事件的概率公式以及全概率公式，即可求得答案.【详解】设 “任取一块芯片是正品”，分别表示芯片由甲、乙、丙三条生产线生产，根据题意可得∶，，由全概率公式可得∶.故选：A7．设，若，则实数a的值为（    ）A．2 B．0 C．1 D．【答案】A【分析】对已知关系式两边同时求导，然后令，建立方程即可求解.【详解】对已知关系式两边同时求导可得：，令，则，，即，解得：.故选：A.8．f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）＜0且f（﹣1）＝0则不等式f（x）g（x）＜0的解集为A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）【答案】A【分析】构造函数h（x）＝f（x）g（x），由已知得当x＜0时，h（x）＜0，所以函数y＝h（x）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得函数y＝h（x）为R上的奇函数，所以函数y＝h（x）在（0，+∞）单调递减，得到f（x）g（x）＜0不等式的解集．【详解】设h（x）＝f（x）g（x），因为当x＜0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）＜0，所以当x＜0时，h（x）＜0，所以函数y＝h（x）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以函数y＝h（x）为R上的奇函数，所以函数y＝h（x）在（0，+∞）单调递减，因为f（﹣1）＝0，所以函数y＝h（x）的大致图象如下：所以等式f（x）g（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）故选A．【点睛】本题考查导数的乘法法则、导数的符号与函数单调性的关系；奇函数的单调性在对称区间上一致，属于中档题． 二、多选题9．A，B，C，D，E五个人并排站在一起，下列说法正确的是（    ）A．若A，B不相邻，有72种排法 B．若A在正中间，有24种排法C．若A在B左边，有24种排法 D．若A，B相邻，有24种排法【答案】AB【分析】A.利用插空法求得选项 A正确；B.直接利用分步原理和排列求得选项B正确；C.利用缩倍法求得选项C不正确；D.利用捆绑法求得选项D不正确.【详解】A.若A、B不相邻，利用插空法得共有种方法，故A正确；B.若A站在最中间，有种方法，故B正确；C. 若A在B左边，利用缩倍法共有种方法，故C不正确；D. 若A、B两人相邻站在一起，利用捆绑法共有，故D不正确.故选：AB10．已知曲线，则过点，且与曲线相切的直线方程可能为（   ）A． B． C． D．【答案】AB【分析】设出切点坐标，求出函数的导数，利用点斜式写出方程，再代入计算作答.【详解】设过点的直线与曲线相切的切点为，由求导得，于是得切线方程为，即，则，解得或，因此得切线方程为或，所以所求切线的方程是或.故选：AB11．在的展开式中，二项式的系数和为256，则下列说法正确的是（    ）A． B．展开式中各项系数和为256C．第4项的二项式系数最大 D．展开式中所有系数的绝对值的和为4【答案】AB【分析】根据二项式定理及其性质计算逐一分析判断即可.【详解】由二项式定理可知，二项式系数之和为，解得，A选项正确；令，得，B选项正确；时，的展开式共项，二项式系数最大的项为第项，C选项错误；设，则，，，为负数，，，，，为正数，故展开式中所有系数的绝对值的和为，令，得，D选项错误.故选：AB.12．对于函数，下列说法正确的有（    ）．A．在处取得极大值B．有两不同零点C．D．若在上恒成立，则【答案】ACD【分析】对于A，先对函数求导，令导函数等于零，然后再判其极值即可；对于B，令，则可得函数的零点；对于C，由选项A的解答过程可知，当时，函数为减函数，所以，而，从而可得结果；对于D，由在上恒成立，得，令，再利用导数求此函数的最大值即可【详解】函数的导数，，令得，则当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，则当时，函数取得极大值，极大值为，故正确，由，得，得，即函数只有一个零点，故错误，， 由时，函数为减函数知，故成立，故正确，若在上恒成立，则，设，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，即当时，函数取得极大值同时也是最大值，成立，故正确.故选：ACD．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性，极值，函数零点问题，求函数的导数，利用导数研究的性质是解决本题的关键． 三、填空题13．函数，的单调递减区间为______．【答案】【分析】根据导数的符号求解即可.【详解】当时，，所以的单调递减区间为.故答案为：14．某学习小组共有10名成员，其中有6名女生，为学习期间随时关注学生学习状态，现随机从这10名成员中抽选2名任小组组长．协助老师了解学情，A表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则__________．【答案】/0.6【分析】可以利用或计算，注意本题中两个事件具有包含关系，即.【详解】[解法一]抽到的2名成员都是女生的取法有种，抽到的2名成员性别相同即为都是女生或都是男生的取法，有种，所以,.因为，所以，所以.[解法二]10名成员中任选2人，有种不同的取法，每种取法都是等可能的.抽到的2名成员都是女生的取法有种，抽到的2名成员性别相同即为都是女生或都是男生的取法，有种，所以,.由于，所以，所以,,所以.15．展开式中的系数是______（用数字作答）.【答案】【分析】求得的展开式的通项为，进而得出展开式中含有的项，即可求解.【详解】由的展开式的通项为，则展开式中含有的项为，所以展开式中的系数是.故答案为：.16．已知函数对区间上任意的都有，则实数m的最小值是________.【答案】20【分析】求出在上的最大值和最小值后由两者差可得的范围，即得的最小值、【详解】，则＝0，，当或时，，递增，当时，，递减．所以，，又，，所以在上，，所以的最大值为，即，所以的最小值为20．故答案为：20．【点睛】本题考查用导数研究函数的最值，解题关键是命题对区间上任意的都有，转化继． 四、解答题17．已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240．求：(1)n的值；(2)展开式中x项的系数；(3)展开式中所有含x的有理项．【答案】(1)4(2)54(3)第1项，第3项，第5项 【分析】（1）由题可得，解方程即得；（2）利用二项展开式的通项公式，即得；（3）利用二项展开式的通项公式，令，即求．【详解】（1）由已知，得，即，所以或（舍） ，∴．（2）设展开式的第项为．令，得，则含x项的系数为．（3）由（2）可知，令，则有，2，4，所以含x的有理项为第1项，第3项，第5项．18．设某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，并且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从该厂这批产品中任取一件.(1)求取到次品的概率；(2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？【答案】(1)(2)此次品由甲车间生产的概率为：，由乙车间生产的概率为：，由丙车间生产的概率为： 【分析】（1）根据全概率计算公式，计算出所求概率.（2）根据贝叶斯公式，计算出所求概率.【详解】（1）取到次品的概率为（2）若取到的是次品，则：此次品由甲车间生产的概率为：.此次品由乙车间生产的概率为：.此次品由丙车间生产的概率为：.19．已知．(1)当时，讨论的单调区间；(2)若在定义域内单调递增，求的取值范围．【答案】(1)单调增区间是，单调递减区间为.(2)． 【分析】（1）对求导，利用导函数的正负讨论单调区间；（2）在定义域内单调递增，即导函数恒成立，解的取值范围即可.【详解】（1）当时，，定义域..令，即解得：；令，即解得：；            ∴当时，函数的单调增区间是，递减区间为.（2）∵，∴∵在上单调递增，即恒成立， ∵时∴，即a的取值范围为．20．已知函数，若曲线在处的切线方程为．(1)求，的值；(2)求函数在上的最小值．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据函数的切线方程即可求得参数值；（2）判断函数在上单调性，进而可得最值.【详解】（1）由已知可得．又，所以．（2）由（1）可知，，令，解得或，所以在和上单调递增，在上单调递减．又，，所以函数在上的最小值为．21．已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间上的最大值为－3，求a的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出，利用导数判断函数的单调性，由此可得函数的最值；（2）求出，分和两种情况，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值，结合题意列出方程，求解的值即可.【详解】（1）解：函数的定义域为，当时，，则，当时，，当时，，所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数，所以，所以当时，求的最大值为；（2）解：函数，则，，，①若，则，所以在上单调递增，故，不符合题意；②若，当时，，当时，，所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数，则，令，可得，解得，因为，所以符合题意，综上所述.22．已知函数的图象在（为自然对数的底数）处取得极值.(1)求实数的值；(2)若不等式恒成立，求的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由已知得出，可求得实数的值；（2）由参变量分离法可得出对任意的，利用导数求出函数在其定义域上的最小值，可得出实数的取值范围.【详解】（1）解：因为，则，由已知可得，解得.此时，，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，故函数在处取得极小值，合乎题意.因此，.（2）解：由（1）可得，该函数的定义域为，由可得，令，其中，则.，设，则，所以，在上是增函数，又因为，当时，，即，此时函数单调递减，当时，，即，此时函数单调递增，所以，，故.