2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第四中学校高二下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第四中学校高二下学期期中数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第四中学校高二下学期期中数学试题 一、单选题1．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先解出集合,再根据列不等式直接求解.【详解】集合，.要使，只需，解得：.故选：A2．已知等差数列满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等差中项求解即可.【详解】因为数列是等差数列，所以，即，所以，故选：A3．设函数在处的导数为2，则（    ）A． B．2 C． D．6【答案】D【分析】根据极限的运算法则和导数的定义，即可求解.【详解】根据导数的定义，可得.故选：D．4．条件，，则的一个必要不充分条件是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】对于命题，由参变量分离法可得，求出函数在上的最大值，可得出实数的取值范围，再利用必要不充分条件的定义可得出合适的选项.【详解】若，使得，则，可得，则，因为函数在上单调递减，在上单调递增，且，故当时，，即，所以，的一个必要不充分条件是.故选：A.5．已知复数满足（其中为虚数单位），则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用复数的四则运算直接求得.【详解】因为，所以.故选：D6．若函数在处取得极值1，则（   ）A．-4 B．-3 C．-2 D．2【答案】D【分析】通过对函数求导，得出和的参数值，即可求出的值.【详解】由题意，，在中，，在处取得极值1，∴，解得：，经经验满足题意，∴，故选：D.7．已知数列满足，若，则（    ）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】通过递推公式逐个求解项，对照选项可得答案.【详解】因为，所以，，，，；因为，所以.故选：D.8．已知，，，则、、的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数性质结合指数运算及“媒介数”比较判断作答.【详解】显然，，，，显然，有，，于是得，即，所以.故选：B 二、多选题9．下列求导正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BCD【分析】利用导数的求导法则及复合函数求导可得答案.【详解】若，则，故A错误；若，则，故B正确；若，则，故C正确；若，则，故D正确；故选：BCD.10．已知函数，则（    ）A．函数在上单调递增 B．有三个零点C．有两个极值点 D．直线是曲线的切线【答案】CD【分析】利用导数研究函数单调性和极值，通过极值判断函数零点个数，通过导数的几何意义求已知斜率的切线方程.【详解】函数，定义域为R，，，解得或；，解得，在和上单调递增，在上单调递减，极大值为，极小值为，，，函数图像如图所示，则函数的图像与轴只有一个交点，即只有一个零点，所以AB选项错误，C选项正确；曲线切线的切点坐标为，当切线斜率为2时，，解得，当时，切点坐标为，切线方程为，即，D选项正确.故选：CD.11．已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（    ）A．若，则是等差数列B．若，则是等比数列C．若是等差数列，则D．若是等比数列，则【答案】BC【分析】根据等差数列的定义判断A；根据与的关系求出通项公式，结合等比数列的定义判断B；根据等差数列的性质和前n项求和公式计算判断C；举例说明判断D．【详解】选项A，由，得，则，所以不是等差数列，故A错误；选项B，当时，，当时，，经检验，符合上式，所以，故是等比数列，故B正确；选项C，若是等差数列，则，故C正确；选项D，若，则，，而，故D错误，故选：BC．12．已知函数，则（    ）A．若的最小正周期为，则B．若，则在上的最小值为C．若在上单调递增，则D．若在上恰有2个零点，则【答案】AC【分析】根据正弦函数的周期公式可判断A；求在上的值域可判断B；由可得，求解可判断C；由可得，求解可判断D.【详解】对于A，若的最小正周期为，则，解得，故A正确；对于B，若，则，时，，所以，故在上的最小值为，故B错误；对于C，时，，因为在上单调递增，则，解得，故C正确；对于D，时，，若在上恰有2个零点，则，解得，故D错误.故选:AC. 三、填空题13．已知公比大于的等比数列满足，，则的公比______．【答案】【分析】根据题意可得出关于的方程，结合可求得的值.【详解】由题意可得，则，上述两个等式作商可得，即，因为，解得.故答案为：.14．是边长为1的等边三角形，点M为边AB的中点，则__________．【答案】/【分析】根据正三角形的性质可得，，然后代入向量的数量积公式即可求解.【详解】由题意可知：，，由平面向量的数量积公式可得，，故答案为：.15．某质点运动的位移随时间变化的函数关系为，则时的加速度为_______.【答案】16【分析】先求位移的导数得到速度函数，再对速度函数求导，得到加速度函数，代入即可求解.【详解】由，速度函数，加速度函数，当时，.故答案为：16.16．将数列中的项排成下表：，，，，，，，，，，，…已知各行的第一个数，，，，…构成数列，且的前项和满足（且），从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等差数列，且公差为同一个常数.若，则第6行的所有项的和为______.【答案】1344【分析】根据所满足的条件，求出数列，由在表中的位置，得，所以每行等差数列公差，即可求第6行所有项的和．【详解】解：∵(且)，∴，即，∴数列的通项公式为，（且），观察表中各行规律可知，第n行的最后一项是数列的第项， ，∴在表中第8行第3列，∵，且，∴公差；∴第6行共有32个元素，则第6行所有项的和为 故答案为：1344．【点睛】思路点睛：由的前项和满足，构造法求数列的通项公式，观察数列的规律，找到在表中的位置，结合的通项公式可求得表中每一行的公差，继而可求第6行所有项的和． 四、解答题17．已知各项均为正数的数列{}满足（正整数(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列{}的前n项和.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由题意转化条件得，结合即可得证；（2）由题意可得，进而可得，由分组求和法即可得解.【详解】（1）证明：已知递推公式，两边同时加上3，得：，因为，所以，又，所以数列是以为首项、以2为公比的等比数列.（2）由（1），则，所以.18．已知分别为的内角的对边，且.(1)求角；(2)若的面积为，求的周长.【答案】(1)(2)6 【分析】（1）根据，利用正弦定理结合两角和与差的正弦函数得到，再利用辅助角公式求解.（2）由的面积为，结合，得到，再利用余弦定理求解.【详解】（1）解：因为，所以由正弦定理得.因为，所以，所以.因为，所以，所以，即.所以，即又，所以.（2）因为的面积为，所以.由，所以.由余弦定理得，又，所以.解得.故的周长为.19．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调增区间．【答案】(1)；(2)，. 【分析】（1）利用导数几何意义即可求得曲线在点处的切线方程；（2）利用导数即可求得函数的单调增区间．【详解】（1），则则，又，则曲线在点处的切线方程为，即（2），则，由可得或，则函数的单调增区间为，.20．如图，四棱锥中，，为正三角形，，，，．(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可（2）利用等体积法求解即可【详解】（1）如图，取中点，连结， 因为，，，所以四边形为矩形，∴，∵侧面为等边三角形，，则，且，而，∴满足，∴为直角三角形，即，又，平面，平面∴平面，且平面∴，又∵，，平面，平面∴平面．（2）由（1）可知，∴，又∵，，∴，而，设点到平面的距离为，由于，则有，∴，∴，因此点到平面的距离为．21．已知数列的前n项和为，且．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据条件，利用与的关系，得到，再求出，即可求出结果；（2）利用（1）所求结果得到，然后利用分组求和及错位相减法即可求出结果.【详解】（1）因为，所以当时，，两式相减，得，整理得，即时，，又当时，，解得，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以.（2）由（1）知，所以，令，易知，，设数列的前项和为，则①，②，由①-②，得，即，所以，所以.22．已知函数在处取得极值．(1)求的单调区间；(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是；(2)． 【分析】（1）由题意根据求解，再带回检验即可；（2）求导分析在上的最大值，再根据求解不等式即可.【详解】（1）∵，，又在处取得极值，∴，∴，检验：当时，，，，令，得，当x变化时，，的变化情况如表所示．x-0+单调递减单调递增在处取得极小值成立；所以的单调递减区间是，单调递增区间是．（2）由（1）知在单调递减，单调递增，又，，则，．若在上恒成立，则．即，解得或，所以实数c的取值范围是．