2022-2023学年黑龙江省佳木斯市第一中学高二下学期期中考试数学试题含解析

这是一份2022-2023学年黑龙江省佳木斯市第一中学高二下学期期中考试数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年黑龙江省佳木斯市第一中学高二下学期期中考试数学试题 一、单选题1．在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则（    ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】当n为偶数时，展开式中第项二项式系数最大，当n为奇数时，展开式中第和项二项式系数最大.【详解】因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故，得.故选：B2．已知随机变量服从正态分布，，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由正态分布的特征得＝，选A.3．下列求导运算中错误的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】依据求导公式及法则一一判断即可.【详解】A选项：，A正确；B选项：，B正确；C选项：，C错误；D选项：，D正确故选：C4．已知，求（    ）A．0.15 B．0.30 C．0.70 D．0.25【答案】D【分析】先求出导函数，进而可得，代入从而可求出.【详解】解：因为，所以，所以，解得，所以，所以，故选：D.5．2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（    ）A．6种 B．12种 C．18种 D．24种【答案】B【分析】先按要求把一所学校的医生护士分配好，剩下一所学校的人自然就确定了.【详解】一所学校1名医生和2名护士的组合有（种）故选:B6．若曲线在上存在垂直轴的切线，则实数取值范围为A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析： 在上有解在上有解，设 ，令 ，当 时， ，当 时，，故选B.【解析】函数的导数及其应用.【方法点晴】本题考查函数的导数及其应用，考查了转化化归思想、分类讨论思想和函数与方程思想，计算量比较大，属于较难题型.解题时首先将命题转化为在上有解，再设，然后利用导数工具求得，解此类题型时，应注意积累命题转化技巧，即培养转化化归思想.7．直线分别与直线，曲线交于A，B两点，则的最小值为A． B．1 C． D．4【答案】A【详解】试题分析：设，则，∴，∴，令，则，∴函数在上单调递减，在上单调递增，∴时，函数的最小值为，故选A．【解析】利用导数研究曲线上某点切线方程．【思路点睛】本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确求导确定函数的单调性是关键；设，则，表示出，求出，利用导数求出的最小值．8．曲靖一中紫薇大酒店开设一楼、二楼、三楼三个学生餐厅，A同学一天午餐随机地选择一个餐厅就餐．如果中午去一楼餐厅就餐，那么当天晚上不去一楼就餐的概率等于0.9；如果中午去二楼餐厅就餐，那么当晚去二楼就餐的概率等于0.7；如果中午去三楼餐厅就餐，那么晚上不去三楼就餐的概率等于0.8． 还知道A同学晚上选择在一楼与三楼就餐的概率相等．那么，A同学晚上选择在一楼、二楼、三楼就餐的概率分别等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用全概率公式进行求解即可.【详解】解答：用表示Ａ同学中午去第层楼就餐，用表示Ａ同学当天晚上去第层楼就餐， ；；．故选：D． 二、多选题9．如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法正确的是（    ）A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等B．三种品牌的手表日走时误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好【答案】ACD【分析】观察图象可知图象的对称轴相同，所以其平均值相等，根据图象越瘦高越小，从而求得其结果.【详解】由题中图象可知三种品牌的手表日走时误差的平均数（均值）相等，由正态密度曲线的性质，可知越大，正态曲线越扁平，越小，正态曲线越瘦高，故三种手表日走时误差的标准差（或方差）从小到大依次为甲、乙、丙，甲品牌的质量最好.故选：ACD.10．对任意实数，有 ，则（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】，利用二项展开式的通项即可求得，即可判断A；令，可得，即可判断B；令，可得，即可判断C，令，可得，即可判断D.【详解】解：对任意实数，有 ，所以，故A正确；令，可得，故B错误；令，可得，故C正确；令，可得，故D错误.故选：AC.11．现将9把椅子排成一排，5位同学随机就座，则下列说法中正确的是（   ）A．4个空位全都相邻的坐法有720种B．4个空位中只有3个相邻的坐法有1800种C．4个空位均不相邻的坐法有1800种D．4个空位中至多有2个相邻的坐法有9000种【答案】AC【分析】对于A，用捆绑法即可;对于B，先用捆绑法再用插空法即可；对于C，用插空法即可；对于D，用插空法的同时注意分类即可.【详解】对于A,将四个空位当成一个整体，全部的坐法：，故A对；对于B，先排5个学生，然后将三个相邻的空位当成一个整体，和另一个空位插入5个学生中有中方法，所以一共有种，故B错；对于C，先排5个学生，4个空位是一样的，然后将4个空位插入5个学生中有种，所以一共有，故C对；对于D，至多有2个相邻即都不相邻或者有两个相邻，由C可知都不相邻的有1800种，空位两个两个相邻的有： ，空位只有两个相邻的有，所以一共有种，故D错；故选：AC12．一个不透明的箱子中装有5个小球，其中白球3个，红球2个，小球除颜色不同外，材质大小全部相同，现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小球且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球；重复该试验，直至小球全部取出，假设试验开始时，试验者手中没有任何小球，下列说法正确的有（    ）A．经过两次试验后，试验者手中恰有2个白球的概率为B．若第一次试验抽到一个白球，则第二次试验后，试验者手中有白、红球各1个的概率为C．经过6次试验后试验停止的概率为D．经过8次或9次试验后试验停止的概率最大【答案】ABD【分析】利用条件概率公式计算判断AB；利用二项分布计算判断C；设实验次结束的概率为，解不等式判断D作答.【详解】记事件“一次实验硬币正面朝上”，则“一次实验硬币反面朝上”，则，从箱子中不放回地抽球，记“第次抽到白球”，“第次硬币正面朝上且抽到白球”，“第次硬币正面朝上且抽到红球”，，对于A，，经过两次实验后，实验者手中恰好有2个白球的概率为：，A正确；对于B，已知第一次拿到白球，第二次拿到红球的概率为：，B正确；对于C，实验6次结束，则前5次有4次硬币正面朝上，第6次硬币正面朝上，其概率为：，C错误；对于D，实验次结束的概率为，则，，令，得，化简得，解得，即，所以经过8次或9次实验后小球全部取出的概率最大，D正确.故选：ABD 三、填空题13．的展开式中常数项是___________（用数字作答）.【答案】【分析】根据二项式定理，可知的展开式通项为，令，求出，带入通项公式，即可求出结果.【详解】因为的展开式通项为，令，则，所以的展开式中常数项是.故答案为：.14．从一个装有大小和质地相同的4个白球和2个黑球的袋子中，不放回地抽取两次，每次取一球，若第一次已经取到了白球，则第二次又取到白球的概率为___________．【答案】/0.6【分析】合理设出事件，利用条件概率进行计算【详解】记第一次取到白球为事件A，记第二次取到白球为事件B，则第一次已经取到了白球，第二次又取到白球为事件，其中则故答案为：15．直线与曲线相切，则________.【答案】【分析】设切点，根据导数几何意义可得切线方程，由此可构造方程求得结果.【详解】设直线与曲线相切于点，，，切线方程为：，即，，解得：，.故答案为：.16．一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球4个，白球1个，黑球3个，每次从该口袋中不放回地任取一个球，拿出红球即停止摸球，设拿出的黑球的个数为，则数学期望______．【答案】/0.6【分析】先列出的所有可能取值，分别列出每一个取值对应的事件，即可求出概率，再用期望公式求出数学期望即可.【详解】由题意得，的可能取值为：0，1，2，3，因为对应的事件为：第一次拿到红球或第一次拿到白球，第二次拿到红球，不妨记为红或白红，所以，因为对应的事件为：黑红或黑白红或白黑红，所以，因为对应的事件为：黑黑红或黑黑白红或白黑黑红或黑白黑红，所以，所以，则，故答案为： 四、解答题17．一盒中装有大小和质地相同的3个白球和2个红球，现从该盒中任取2球，记随机变量表示从该盒中取出的红球个数．(1)求随机变量的分布列；(2)求随机变量的期望和方差．【答案】(1)见解析 (2)期望为，方差为. 【分析】(1)先写出随机变量的所有可能取值，分别求概率，即可得到随机变量的分布列；(2) 由(1)所求出的分布列代入期望和方差的公式即可求出随机变量的期望和方差．【详解】（1）由题可知，随机变量可能的取值有，所以所以随机变量的分布列为：012（2）由(1)的分布列得，．18．银行储蓄卡的密码由6位数字组成．某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求：(1)任意按最后1位数字，不超过3次就按对的概率；(2)如果记得密码的最后1位是偶数，不超过3次就按对的概率．【答案】(1)(2) 【分析】（1）任意按最后一个数，不超过3次就按对有三种情况：“第一次对”，“第一次错，第二次对”，“第一次错，第二次错，第三次对”；（2）最后1位是偶数，不超过3次就按对有三种情况：“第一次对”，“第一次错，第二次对”，“第一次错，第二次错，第三次对”；【详解】（1）设表示第次按对密码，表示不超过3次就按对，则有,因为事件两两互斥，由概率的加法的公式和乘法公式可得，,.（2）记事件:最后1位是偶数，则.19．设函数，其中，且．（1）当时，求的单调区间；（2）若是的极值点，且对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是；（2）．【分析】（1）依题意可得，求出函数的导函数，在解导函数的不等式，即可得到函数的单调区间；（2）首先求出函数的导函数，依题意，即可求出参数的值，参变分离得到在上恒成立，构造函数利用导数研究函数的单调性与最值，即可得解；【详解】（1）当时，定义域为．所以．当时，；当时，．因此的单调递增区间是，单调递减区间是．（2）因为，所以，即解得．于是就是，即在上恒成立．令，则．当时，，所以，在上单增．因此，．故实数的取值范围是．20．2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲､乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，其中.(1)若，分别求出该考生报考甲､乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求的取值范围.【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式和二项分布的概率公式求解即可；（2）该考生报考甲大学通过的科目数为，报考乙大学通过的科目数为，进而结合二项分布求解，根据独立事件的乘法公式求解的分布列及其期望，进而结合题意求解.【详解】（1）解：设“该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目”为事件，“该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目”为事件，根据题意可得，（2）解：设该考生报考甲大学通过的科目数为，报考乙大学通过的科目数为，根据题意可知，，所以，，，，.则随机变量的分布列为：0123，若该考生更希望通过乙大学的笔试时，有，所以，又因为，所以，所以，的取值范围是.21．学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”．活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为；参加“四人赛”活动（每天两局）时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为，．李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动（每天两局），各局比赛互不影响．(1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分的分布列和数学期望；(2)设李明在这5天的“四人赛”活动（每天两局）中，恰有3天“得分不低于3分”的概率为，求为何值时，取得最大值，并求出该最大值．【答案】(1)分布列见解析；数学期望为；(2)当时，取得最大值，最大值为. 【分析】(1)先由题意列出的所有可能取值，再分别求概率，即可列出的分布列，再由分布列代入期望的公式即可求出数学期望；(2) 设一天得分不低于3分为事件，求出，则可求出恰有3天得分不低于3分的概率，把求出的概率看做关于的函数，求导讨论函数的单调性和最值，即可求出的最大值和取得最大值时的值.【详解】（1）的可能取值为，，，，，，，所以分布列为：5678910所以；（2）设一天得分不低于3分为事件，则，则恰有3天得分不低于3分的概率为，令，则，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，所以当时，取得最大值为．22．已知函数f（x）＝ae﹣x+lnx﹣1（a∈R）．(1)当a≤e时，讨论函数f（x）的单调性：(2)若函数f（x）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且x1+x2≤2ln3，求的最大值．【答案】(1)f（x）在（0，+∞）上单调递增；(2)3 【分析】(1)求导得，当a≤0时，恒成立；当0＜a≤e时，令 g′（x）＝ex﹣a，分析g（x）单调性结合取值得，进而可得结论.(2) 函数f（x）恰有两个极值点x1，x2得，故令，则，，构造结合导数分析单调性，再判断最值.【详解】（1）函数的定义域为（0，+∞），，当a≤0时，恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当0＜a≤e时，令，则ex﹣ax＝0，设g（x）＝ex﹣ax，则，易知，当0＜x＜lna时，，g（x）单调递减，当x＞lna时，，g（x）单调递增，∴g（x）≥g（lna）＝elna﹣alna＝a（1﹣lna）≥0，∴，在（0，+∞）上单调递增；综上，当a≤e时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）依题意，，则，两式相除得，，设，则t＞1，x2＝tx1，，∴，，∴，设，则，设，则，∴在（1，+∞）单调递增，则，∴，则h（t）在（1，+∞）单调递增，又x1+x2≤2ln3，即h（t）≤2ln3，h（3）＝2ln3，∴t∈（1，3]，即的最大值为3．【点睛】思路点睛：对于带参函数讨论单调性的问题，一般在求导后结合对参数分类讨论进行分析；导数问题中带有不等式求范围或最值问题，一般先根据条件转化为它的等价条件，结合式子特征构造合适的函数，再求导结合单调性分析最值.