2022-2023学年湖北省部分省级示范高中高二下学期期中联考数学试题含解析

2022-2023学年湖北省部分省级示范高中高二下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．计算（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据排列数、组合数公式展开计算，即可得出答案.

【详解】.

故选：C.

2．“”是“数列为等差数列”的（    ）．

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】C

【分析】举特例结合等差数列的性质，即可得出答案.

【详解】设，则，，，所以，但数列不是等差数列；

若数列为等差数列，根据等差数列的性质可知，成立.

所以，“”是“数列为等差数列”的必要不充分条件.

故选：C.

3．设函数在处的导数为2，则（    ）．

A． B． C． D．2

【答案】A

【分析】根据导数的定义结合已知可推得，然后变形即可得出答案.

【详解】根据导数的定义可得，，

所以，.

故选：A.

4．记为数列的前项和，给出以下条件，其中一定可以推出数列为等比数列的条件是（    ）．

A． B． C． D．是等比数列

【答案】C

【分析】用与的关系，求出通项公式，根据等比数列的定义，即可判断正误.

【详解】对于A，已知，所以，

所以，

，不符合上式，A选项错误；

对于B，已知，当首项为零时，不符合题意，B选项错误；

对于C，已知，所以，

则

所以，

所以是首项为1，公比为2的等比数列，C选项正确；

对于D，已知是等比数列，则设的通项公式为

则，

不符合等比数列的通项公式，D选项错误；

故选：C.

5．武汉市第二十三中学“艺术节”举办一场文艺汇演，有6个不同的节目要分配给高一年级的7班、8班、9班、12班4个班级做准备，其中两个班级各分配2个节目，另两个班级各分配1个节目，共有多少种不同的分配方式（    ）．

A．144 B．180 C．960 D．1080

【答案】D

【分析】按照分组分配的方法，计算求值.

【详解】首先将6个不同的节目按照2，2，1，1的分组，有,

再分配到4个班级，有种方法，所以共有种方法.

故选：D

6．如图展示的是一个树形图的从上至下的前6行生长过程，依据图中所示的生长规律，第10行的圆点个数是（    ）．

A．55 B．34 C．21 D．13

【答案】C

【分析】设第行圆点的个数为，由已知观察即可得出，，然后逐项求解，即可得出答案.

【详解】设第行圆点的个数为，.

则由已知可得，，，，，，，

所以，，，.

故选：C.

7．已知，，（其中为自然常数），则、、的大小关系为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】构造函数，得，，，利用导数判断出的单调性可得答案.

【详解】构造函数，易得，，，可得，当时，

所以在递减，

因为，所以，

即，

因为，所以，

即，所以.

故选：B.

8．若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ）．

A．26 B．23 C．15 D．11

【答案】D

【分析】先由，利用切线斜率为-1求得切点，再将切点代入切线方程求得a，然后设切线与的切点为，利用切线斜率为-1和切点在切线上求解.

【详解】解：因为，

所以，由，解得或（舍去），

所以切点为，

因为切点在切线上，解得，

所以切线方程为，

设切点为，

由题意得，解得，

所以，

故选：D

二、多选题

9．一箱产品共有16件，其中有14件合格品，2件次品，从这16件产品中任意抽取3件，则抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法表述正确的是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】有3种抽法，第一种方法分为两类，3件中有1件次品或2件次品；第二种方法，考虑间接抽法，用16件产品任抽3件的总情况数减去不含次品的情况数；第三种方法，先任抽一件次品，再从剩下的15件产品中随机抽2件，但有2件次品的情况算了两次，故需减去多余的抽法数.据此可得答案.

【详解】由题，当3件产品中有1件次品时，情况数为，当3件产品中有两件次品时，情况数为，则抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法数为；

16件产品任抽3件的总情况数为，3件产品中不含次品的抽法数为 ，则抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法数为 ；

从产品中任取1件次品的情况数为，在从剩下产品中任抽2件的情况数为，则两步的总情况数为，又有2件次品的情况算了两次，则抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法数为.

故选：ABD

10．记为等比数列的前项和，则（    ）

A．是等比数列 B．是等比数列

C．成等比数列 D．成等比数列

【答案】AB

【分析】根据等比数列的定义即可判断求解.

【详解】设等比数列公比为，则有，

所以，所以是以为公比的等比数列，A正确；

，所以是以为公比的等比数列，B正确；

若公比，则，所以不能构成等比数列，C错误；

若公比，且为偶数，则都等于0，

此时不能构成等比数列，D错误.

故选:AB.

11．设等差数列的前项和为，且，，记为数列的前项和，若恒成立，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、，求出这两个量的值，可求得，利用裂项相消法可求得，再结合可求得实数的取值范围，即可得合适的选项.

【详解】设等差数列的公差为，由可得，

解得，所以，，

所以，，

则，

因为恒成立，则，BCD选项满足条件.

故选：BCD.

12．已知函数，下列选项正确的是（    ）．

A．函数的单调减区间为

B．函数的值域为

C．若关于的方程有3个不相等的实数根，则实数的取值范围是

D．若关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围是

【答案】BD

【分析】利用函数的单调性与导数之间的关系可判断A选项；求出函数的值域，可判断B选项；数形结合可判断CD选项.

【详解】对于A选项，当时，，则，

当时，，则，由可得，

所以，函数的单调减区间为，，A错；

对于B选项，当时，，

当时，由A分析可知在上单调递增，在上单调递减，所以，

因此，函数的值域为，B对；

作出函数的图像如下图所示：

对于C，由，可得或，

由图可知，方程有个不等的实根，

若关于的方程有3个不相等的实数根，

则方程有1个实根，此时，C错；

对于D，若，由，即，可得，则方程只有两个不等的实根，故舍去；

若，由，即，可得或或，

由图可知，方程有个不等的实根，方程只有一个实根，

若关于的方程有6个不相等的实数根，

则方程有3个不等的实根，此时，D对.

故选：BD.

三、填空题

13．有个编了号的抽屉，要放进个相同的小球，每个抽屉不空的放法共有______种．

【答案】

【分析】利用隔板法计算可得.

【详解】依题意利用隔板法，在个相同的小球所形成的个空中插入个板即可，

故有种放法.

故答案为：.

14．已知数列{}的通项公式为，前n项和为，当取得最小值时，n的值为___________.

【答案】7

【分析】首先求出数列的正负项，再判断取得最小值时n的值.

【详解】当，，

解得：，

当和时，，

所以取得最小值时，.

故答案为：7

15．已知函数满足，则在处的导数为______．

【答案】

【分析】先求导，再通过得到，然后将代入求解.

【详解】解：因为函数，

所以，

所以，解得，

所以，

所以，

故答案为：，

16．已知数列满足，则的前40项的和为______．

【答案】820

【分析】分为奇数和偶数两种情况，发现数列的特点，再分组求和.

【详解】当为奇数时，，，

两式相减得；

当为偶数时，，，

两式相加得.

所以

.

故答案为：820.

【点睛】方法点睛：分为奇数和偶数两种情况，观察推导，即可得出通项之间的关系.

四、解答题

17．数列的前项和为，且.

(1)证明：数列为等差数列；

(2)求数列的通项公式.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）将代入等式，即可化简出，即可得出结论；

（2）由（1）可求出，再由，即可求出数列的通项公式.

【详解】（1）由，

得，

，且，

故数列为以2位首项，2为公差的等差数列.

（2）由（1）知数列的首项为，公差，则数列，

即，

则.

18．有7名学生站在一排，其中女生3名、男生4名，请按要求完成下列问题．

(1)如果所有男生站在一起并且所有女生站在一起，那么有多少种排法？

(2)如果男生、女生相间站一排，那么有多少种排法？

(3)如果男生中的甲和女生中的乙从左到右顺序一定，那么有多少种排法？

【答案】(1)288

(2)144

(3)2520

【分析】（1）捆绑法：男女生分别排列，考虑男女生位置顺序，根据分步乘法计数原理，即可得出答案；

（2）插空法：先排好女生，男生插空，根据分步乘法计数原理，即可得出答案；

（3）定序问题：先求出7名学生的排列数，然后除以甲乙两人的顺序数，即可得出答案.

【详解】（1）第一步，所有男生站在一起的排法有种；

第二步，所有女生站在一起的排法有种；

第三步，考虑男女生的位置，有种.

根据分步乘法计数原理可知，总的排法有种.

（2）因为男生4名，女生3名，采用插空法：

第一步，先排女生，有种；

第二步，3名女生站好后，有4个空格，4名男生排入4个空格中的排法有种.

根据分步乘法计数原理可知，总的排法有种.

（3）定序问题：

7名学生，所有的排法有.

男生中的甲和女生中的乙的顺序有种.

所以，如果男生中的甲和女生中的乙从左到右顺序一定，那么排法有种.

19．已知数列的首项，且满足．

(1)求证：数列为等比数列；

(2)若，求满足条件的最大整数．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）将两边取倒数得，即可得证；

（2）由（1）可得，即可得到，设数列的前项之和为，利用分组求和法及等边数列求和公式求出，再结合函数的性质判断即可.

【详解】（1）由，两边取倒数得，

即，，

，，，

所以数列是首项为，公比为的等比数列.

（2）由（1）可得，

，

设数列的前项之和为，

若，即，

函数在上单调递增，

又，，，

满足条件的最大整数的值为.

20．给定函数．

(1)求函数的单调区间，并求出的极值点；

(2)若关于的方程有两个不同的解，求实数的范围．

【答案】(1)答案见解析；

(2)

【分析】（1）由题可得，解不等式可得单调区间，即可得极值点；

（2）方程有两个不同的解相当于图象与有两个不同交点，由（1）做出图象，即可得答案.

【详解】（1）.

在上单调递增；

在上单调递减；

则在处取极小值，则的极小值点为；

所以函数的单调增区间为，单调减区间为；的极小值点为；

（2）由（1）可知单调性，极小值为.

注意到当时，，；时，，据此可做图象如图，

则方程有两个不同的解相当于图象与有两个不同交点，则由图可得.

21．在数列中，已知，．

(1)设，求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）把化为即，从而利用迭代法即可求得；

（2）由（1）可得， 从而利用分组求和、错位相减求和，即可求解.

【详解】（1）由已知有

，，

 ，

，

又，，

又当时也适合上式，所以.

（2）由（1）可知，

，

其中，记

则①

②

①②得：，

，

.

22．已知函数．

(1)若函数在区间内是单调递增函数，求实数的取值范围；

(2)若函数有两个极值点，，且，求证：．

（注：为自然对数的底数）

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）求导得，把问题转化为，恒成立，分离参数后，结合二次函数求得最大值，进而求得实数的取值范围；

（2）由题意可知在区间上有两个不相等的实数根，结合二次函数零点分布求得，进而得到，从而得到，则令通过二次求导判断函数上单调递减，从而得到，进而问题得证.

【详解】（1）函数在区间上是单调递增函数，

，恒成立，

转化为：恒成立，

令在单调递减，

而在单调递减，则，

实数的取值范围是；

（2）在区间上有两个不相等的实数根，

即方程在区间上有两个不相等的实数根，

记，

则，解得，

.

，

令，

记

，

因此函数存在唯一零点，

从而

而

函数上单调递减，，

可得：

，故.

【点睛】方法点睛：

导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．