2022-2023学年湖北省武汉市部分重点中学高二下学期期中联考数学试题含解析

这是一份2022-2023学年湖北省武汉市部分重点中学高二下学期期中联考数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省武汉市部分重点中学高二下学期期中联考数学试题 一、单选题1．已知函数 ，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据导数的运算法则及基本初等函数的导数公式求出导函数，再代入计算可得.【详解】因为，所以，所以.故选：C2．在等比数列中，，，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据等比中项性质进行计算即可.【详解】，得，因为、、都为奇数项，在等比数列中应该为同号，所以，故.故选：A.3．如图，洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源 在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数 若从四个阴数和五个阳数中随机选取个数，则选取的个数之和为偶数的方法数为（    ）A．60 B．61 C．5 D．【答案】D【分析】由题意可知，阴数为，，，，阳数为，，，、，由条件可知个数都为偶数，或是个奇数，个偶数，或是个数都为奇数，列式即得答案.【详解】由题意可知，阴数为，，，，阳数为，，，、.若选取得个数的和为偶数，①个数都为偶数，共有种方法，②个奇数，个偶数，共有种方法，③个数都为奇数，共有种方法，综上共有种方法.故选：D4．将展开式中的项重新排列，则的次数为整数的项互不相邻的排法的种数为（  ）A．24 B．36 C．144 D．576【答案】C【分析】首先写出展开式的通项，即可判断的次数为整数的项有个，再利用插空法排列即可.【详解】二项式的展开式的通项公式为，因为为整数且，可得，展开式共有项，其中的次数为整数的项有个，把展开式中的项重新排列，则的次数为整数的项互不相邻，即把个整次数项插入到个次数为非整数的项所形成的个空中，共有方法种，故选：C．5．春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有5种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（    ）A．120种 B．240种 C．420种 D．720种【答案】C【分析】先对图中不同的区域命名，再运用分步计数和分类计数的方法从中央开始计数即可.【详解】如图，先在A中种植，有5种不同的选择，再在B中种植，有4种不同的选择，再在C中种植，有3种不同的选择，再在D中种植，若D与B种植同一种花卉，则E有3种不同的选择，若D与B种植不同花卉，则D有2种不同的选择，E有2种不同的选择，不同的布置方案有种；故选：C.6．设函数的定义域为，是其导函数，若，，则不等式的解集是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数，求出，利用条件知，所以单调递增，将转化为，利用函数单调性即可得到答案.【详解】令，则，因为，所以，所以，所以函数在上单调递增，而可化为，又即，解得，所以不等式的解集是．故选：B7．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.【详解】因为，所以∽，设，则，设，则，．因为平分，由角平分线定理可知，，所以，所以，由双曲线定义知，即，，①又由得，所以，即是等边三角形，所以．在中，由余弦定理知，即，化简得，把①代入上式得，所以离心率为．故选：A．8．已知函数，，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数a的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设函数，的切点坐标分别为，，根据导数几何意义可得，，即该方程有两个不同的实根，则设，求导确定其单调性与取值情况，即可得实数a的取值范围.【详解】解：设函数上的切点坐标为，且，函数上的切点坐标为，且，又，则公切线的斜率，则，所以，则公切线方程为，即，代入得：，则，整理得，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则方程有两个不同的实根，设，则，令得，当时，，单调递增，时，，单调递减，又可得，则时，；时，，则函数的大致图象如下：所以，解得，故实数a的取值范围为.故选：B.【点睛】本题考查了函数的公切线、函数方程与导数的综合应用，难度较大.解决本题的关键是，根据公切线的几何意义，设切点坐标分别为，且，，且，可得，即有，得公切线方程为，代入切点将双变量方程转化为单变量方程，根据含参方程进行“参变分离”得，转化为一曲一直问题，即可得实数a的取值范围. 二、多选题9．已知名同学排成一排，下列说法正确的是（    ）A．甲不站两端，共有种排法B．甲、乙必须相邻，共有种排法C．甲、乙之间恰有两人，共有种排法D．甲不排左端，乙不排右端，共有种排法【答案】ACD【分析】A选项先排甲，再排其他人即可判断；B选项利用捆绑法进行排序；C选项先排列两人在甲乙之间，再排列其余两人；D选项采用间接法进行排列计算.【详解】甲不站两端，优先将甲排在中间四个位置，故有种排法，A正确；甲、乙必须相邻，用捆绑法进行排列，共有种排法，B错误；甲、乙之间恰有两人，先其余四人任选两人排在甲乙之间，剩余两人可排在甲或乙旁边，也可分别排列在甲乙两边，共有种排列法，C正确；名同学排成一排共有种排法，甲排左端有种排法，乙排右端有排法，其中甲乙同时在左右两端有种，故用间接法可知甲不排左端，乙不排右端共有种排法，D正确.故选：ACD10．已知，则下列结论成立的是（     ）A． B．C． D．【答案】AB【分析】令，将式子化为，再令求出，判断A，令判断B，写出展开式的通项，即可判断C，对式子两边求导，再令，即可判断D.【详解】因为，令，则，令可得，故A正确；令可得，故B正确；二项式展开式的通项为，令，解得，所以，即，故C错误；在两边对求导可得，，再令可得，故D错误；故选：AB11．已知函数，下列结论正确的是（    ）A．在处的切线方程为B．在区间单调递减，在区间单调递增C．设，若对任意，都存在，使成立，则D．【答案】ACD【分析】求导得到函数的单调区间，计算切线得到A正确，根据定义域排除B，分别计算最值得到C正确，根据幂函数单调性和单调性计算得到D正确，得到答案.【详解】，则，，当和时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.对选项A：，，故切线方程为，正确；对选项B：函数定义域为，错误；对选项C：当时，，，故，正确；对选项D：根据幂函数的单调性知，，，即，故，即，故，正确.故选：ACD12．提丢斯波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在年由德国的一位中学老师戴维斯提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列：，，，，，，，表示的是太阳系第颗行星与太阳的平均距离以天文单位为单位现将数列的各项乘以后再减，得到数列，可以发现数列从第项起，每项是前一项的倍，则下列说法正确的是（    ）A．数列的通项公式为B．数列的第项为C．数列的前项和D．数列的前项和【答案】BCD【分析】由题意可得数列由此可得数列从第2项起构成公比为2的等比数列，从而可求出其通项公式，判断选项A，由于，所以可求出数列的通项公式，从而可判断B，对于C，利用分组求和可求出数列的前项和，对于D，利用错位相减法可求出数列的前项和【详解】数列各项乘以后再减得到数列故该数列从第项起构成公比为的等比数列，所以，故A错误；从而，所以，故B正确；当时；当时，当时也符合上式，所以，故C正确；因为，所以当时，当时，，所以，所以，又当时也满足上式，所以，故D正确.故选：BCD. 三、填空题13．若有三个零点，则实数的取值范围是_________．【答案】【分析】将问题转化为有三个零点，令 ，用导数法画出其图象求解.【详解】解：因为有三个零点，所以有三个零点，令 ，则 ，当 或 时， ，递增；当 时， ，递减；所以当 时， 取得极大值，当 时， 取得极小值，如图所示：由图象知：实数的取值范围是，故答案为：14．已知展开式的第项的二项式系数最大，且为偶数，则展开式中系数最大的项是第____项.【答案】三/3【分析】根据二项式系数的性质可得，即可求解开展式中系数最大的项.【详解】由题意知，展开式的第5项的二项式系数为，又为偶数，所以.则，其中正项的系数为，有，所以最大项的系数为，是展开式的第三项.故答案为：三.15．若不等式对任意成立，则实数的取值范围为__________．【答案】【分析】将不等式变形为的形式,，构造，求导判断单调性后可知，只需即可，即成立，只需,构造新函数,求导求单调性,求出最值解出a的取值范围即可.【详解】因为对任意成立，不等式可变形为:，即，即对任意成立，记，则，所以在上单调递增，则可写为，根据单调性可知，只需对任意成立即可，即成立，记，即只需，因为，故在上，，单调递增，在上，，单调递减，所以，所以只需即可，解得.故答案为:.【点睛】方法点睛：关于恒成立问题的思路如下:(1)若，恒成立，则只需;(2) 若，恒成立，则只需;(3) 若，恒成立，则只需;(4) 若，恒成立，则只需;(5) 若，恒成立，则只需;(6) 若，恒成立，则只需;(7) 若，恒成立，则只需;(8) 若，恒成立，则只需. 四、双空题16．已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且，则________；设点是抛物线上的任意一点，点是的对称轴与准线的交点，则的最大值为________.【答案】     /1.5     【分析】空1：设直线联立方程可得，根据题意可得，代入可解得；空2：根据抛物线定义取到最大值即最小，此时直线与抛物线相切，利用导数求切线分析求解．【详解】设过点的直线为，联立方程消去得，可得∵，则可得：，可得，解得过点作准线的垂线，垂足为，则可得若取到最大值即最小，此时直线与抛物线相切，即，则设，则切线斜率，切线方程为切线过，代入得，解得，即则，即则的最大值为故答案为：；． 五、解答题17．已知是函数的一个极值点．(1)求的单调区间；(2)求在区间上的最小值．【答案】(1)增区间为、，减区间为(2) 【分析】（1）分析可知的值，然后利用导数与函数的单调性可得出函数的增区间和减区间；（2）求出函数在区间上的极大值和极小值，与、的值比较大小，可得出函数在区间上的最小值.【详解】（1）解：因为，则，因为是函数的一个极值点，则，解得，此时，，由可得，由可得或，所以，函数的增区间为、，减区间为.（2）解：由（1）可知，，函数在上单调递增，在上递减，在上单调递增，当时，函数的极大值为，极小值为，又因为，，所以，函数在上的最小值为.18．为参加武汉市高中生足球友谊赛，某校决定从高一年级的学生中挑选名球员组建校足球队.（以下问题最终结果用数字作答）(1)若将校足球队的个名额分到个班级，每个班级至少个名额，问有多少种分配方法？(2)学校教练计划比赛前将除指定的守门员外的其他名队员，进行分组训练. 若其中一组人，另外两组每组人，问有多少种不同的分组方式？(3)比赛入场式时工作人员会为名队员拍集体照，若要求拍照时、、三人必须相邻，、、、四人均不相邻，问有多少种不同的排法？【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用隔板法可求得结果；（2）利用平均分组法可求得分组方法种数；（3）将、、三人进行捆绑，与除、、、四人以外的人进行全排，然后将、、、四人进行插空，利用捆绑法与插空法可求得不同的排法种数.【详解】（1）解：将校足球队的个名额分到个班级，每个班级至少个名额，问题等价于将个完全相同的小球分为组，每组至少一个小球，由隔板法可知，不同的分配方法种数为种.（2）解：将除指定的守门员外的其他名队员，进行分组训练，若其中一组人，另外两组每组人，则不同的方法种数为种.（3）解：将、、三人进行捆绑，与除、、、四人以外的人进行全排，然后将、、、四人进行插空，所以，不同的排法种数为种.19．已知数列的各项均为正数，前项和为，且满足．(1)求；(2)设，设数列的前项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用与的关系消去，再根据因式分解化解即可得到为等差数列，由此得出通项公式；（2）利用裂项相消求出的取值范围，继而求实数的取值范围.【详解】（1）当时，，，    ，当时，得4，即，由已知，数列各项均为正数得：，是首项为1，公差为2的等差数列， ；（2）由(1)知，，则，， ，单调递增，，，，使得恒成立，只需，解之得．20．随着我国经济迅速发展，工业用电量需求也随之增大. 某市规划在一工业园区内架设一条1200米的高压线. 已知该段线路两端的高压线塔已经搭建好，余下的工程只需要在已建好的两高压线塔之间等距离的再修建若干座高压电线塔和架设电线．已知建造一座高压线电塔需50万元，搭建距离为x米的相邻两高压电线塔之间的电线和人工费用等为万元，所有高压电线塔都视为“点”，且不考虑其他因素，记余下的工程费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式．(2)问：需要新建造多少座高压线塔，才能使工程费用y有最小值？最小值是多少？（参考数据：，）【答案】(1)，，(2)需新建个线塔才能使工程费用有最小值，最小值为7274万元 【分析】（1）由已知可得工程费用包括建造高压线电塔所需费用和搭建距离为x千米的相邻两高压电线塔之间的电线和人工费用的总和，即可列出函数关系式；（2）利用导数求解函数的单调性，然后求出最小值即可.【详解】（1）已知两端的高压线塔相距1200米，且相邻两线塔相距米，故需要建线塔个，则，所以关于的函数关系式为 ，；（2），令，即，解得（舍）或，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以当时，有最小值，且又，（万元），所以需新建个线塔才能使工程费用有最小值，最小值为7274万元.21．已知椭圆：的右焦点为，且点在椭圆上．斜率为的直线交椭圆于，两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)设为坐标原点，当直线的纵截距不为零时，试问是否存在实数，使得为定值？若存在，求出此时面积的最大值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，1 【分析】（1）由右焦点为，得到，再点在椭圆上，利用椭圆的定义求得a即可；（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，结合向量运算，运用韦达定理，由为定值求得k，再求得和点到直线的距离，由求解.【详解】（1）解：由题意知：，由椭圆的定义得：，即，所以椭圆的标准方程为．              （2）如图所示：由题意设直线的方程为，联立，消元得，当，即时满足题意，设，，则，，   ，若为定值，则上式与无关，故，得，此时．又点到直线的距离，以，当且仅当，即时，等号成立．经检验，此时成立，所以面积的最大值为1【点睛】思路点睛：本题第二问的思路是由为定值，结合韦达定理求得k，再利用弦长公式求得和点到直线的距离，然后由而得解.22．已知函数．(1)当时，求在区间上的零点个数(2)若不等式在上恒成立，求的取值范围．【答案】(1)一个(2) 【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，再由，即可判断；（2）当时对任意的，，设，利用导数说明函数的单调性，从而说明，当时利用导数说明函数的单调性，即可判断不能恒成立，即可得解.【详解】（1）当时，，当时，，，所以，所以在上单调递增，所以，所以在上只有一个零点.（2）①当时，对任意的，，设，则，所以在上单调递增，又，所以，因为，所以，满足题意；②当时，，令，则，所以在上单调递增，又，，所以在上有唯一的零点，且当时，，所以在上单调递减，又，所以当时，，从而不能恒成立，不合题意，舍去；综上所述，实数的取值范围为.