2022-2023学年吉林省长春市第二实验中学高二下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年吉林省长春市第二实验中学高二下学期期中数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省长春市第二实验中学高二下学期期中数学试题 一、单选题1．设全集为R，集合，，则A． B． C． D．【答案】B【详解】分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：由题意可得：，结合交集的定义可得：.本题选择B选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关系数如下表，其中拟合效果最好的模型是（    ）模型模型1模型2模型3模型4相关系数 A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4【答案】B【分析】根据相关系数的定义，判断的大小，即可判断选项.【详解】根据相关系数的定义可知，越大，约接近于1，则拟合效果越好.由数据可知，模型2的相关系数最大，所以拟合效果最好.故选：B3．已知2，，成等比数列，则a的值为（    ）A．2 B．4 C．2或4 D．无法确定【答案】A【分析】根据等比数列的性质进行求解即可.【详解】依题意，，故，解得a＝2．故选：A4．某质点的位移函数是（），则当时，它的速度对的瞬时变化率（即加速度）是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意可先求出，再求出即可.【详解】由题可得，即，，.故选：A.5．抛掷一枚质地不均匀的硬币（两面图案分别为“花”“字”）一次，记“花”面朝上的概率为，令随机变量，（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题可得服从两点分布，然后根据方差的概念即得.【详解】由题知，服从两点分布，且，所以.故选：D.6．某试验分5个程序，其中程序B、C实施时必须相邻，则试验的实施方法有（    ）A．24种 B．48种 C．96种 D．120种【答案】B【分析】利用捆绑法：先将B、C作为一个整体，再与剩余程序排列即可.【详解】先将B、C作为一个整体，共有种；再与剩余程序排列，共有种；所以共有种.故选：B.7．若过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线，垂线交轴于点（为双曲线的半焦距），则此双曲线的离心率是A． B． C．2 D．【答案】A【解析】不妨取双曲线的左焦点，由题得方程，化简即得解.【详解】不妨取双曲线的左焦点，则过点且与直线垂直的直线方程为，根据题意，得点在直线上，，.故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质和离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．若函数存在增区间，则实数的取值范围为A． B．C． D．【答案】C【分析】先假设函数不存在增区间，则单调递减，利用的导数恒小于零列不等式，将不等式分离常数后，利用配方法求得常数的取值范围，再取这个取值范围的补集，求得题目所求实数的取值范围.【详解】若函数不存在增区间，则函数单调递减，此时在区间恒成立，可得，则，可得，故函数存在增区间时实数的取值范围为．故选C.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题. 二、多选题9．若且，则实数m的值可以为（    ）A． B． C．0 D．1【答案】AD【分析】令可得，解得即可.【详解】因为，令可得，所以，所以或，解得或.故选：AD10．下列不等式中错误的是（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用作差法判断选项ABC的正误，利用基本不等式的使用条件判断D错误即可.【详解】∵，故，A正确；，，的符号不定，所以与的大小不定，B错误；，故，C正确；，当时，成立，但当时，，则不成立，故错误．故选：BD．11．设随机变量X服从正态分布，且X落在区间内的概率和落在区间内的概率相等．若，则下列结论正确的有（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据正态分布对称性以及区间概率关系可得，再根据正态分布对称性求对应区间概率，最后对照选项作选择.【详解】因为正态分布关于对称，且X落在区间内的概率和落在区间内的概率相等，则，故A正确；可得正态分布关于对称，则，又因为，则，，故C、D正确；但无法确定的大小，故B错误；故选：ACD.12．下列不等式中正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】AC【解析】构造函数，利用导数分析其单调性，然后由、、、得出每个选项的正误.【详解】令，则，令得易得在上单调递增，在上单调递减所以①，即，即，故A正确②，即，所以可得，故B错误③，即，即所以，所以，故C正确④，即，即，即所以，故D错误故选：AC【点睛】本题考查的是构造函数，利用函数的单调性比较大小，解题的关键是函数的构造和自变量的选择，属于较难题. 三、填空题13．集合的非空真子集的个数是______．【答案】【分析】首先解一元二次不等式，即可求出集合，再根据含有个元素的集合有个非空真子集计算可得.【详解】由，即，解得，所以，即集合含有个元素，故集合的非空真子集有个.故答案为：14．若“”是“”的必要不充分条件，则实数a能取的最大整数为_______________．【答案】【分析】先由集合与充分必要的关系得到是的真子集，从而利用数轴法得到，由此得解.【详解】因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集，因为等价于，所以是的真子集，所以，所以实数a能取的最大整数为.故答案为：.15．盒中有个红球，个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是_________．【答案】/【分析】根据，由全概率公式计算可得结果.【详解】记事件：第一次抽取的是黑球；事件：第二次抽取的是黑球；则；，；，，.故答案为：.16．过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，则此抛物线方程为__________．【答案】【分析】作准线于，准线于，设，由抛物线定义得，结合求得，进而求出，即可求得抛物线方程.【详解】如图，作准线于，准线于，设，由抛物线定义得，，故，在直角三角形中，因为，，所以，从而得，设准线与x轴交于，则，所以，因此抛物线方程为.故答案为：. 四、解答题17．设数列是公差为的等差数列，已知，(1)求数列的通项公式；(2)若，且的前n项和为，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式求出公差，进而求解；（2）结合（1）的结论得到，利用裂项相消法即可求解.【详解】（1）因为数列是公差为的等差数列，且，所以，则或.又，，∴.（2）由（1）可得，，∴18．设函数．(1)求的单调区间；(2)当时，求的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为.(2) 【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；（2）由（1）可得函数在上的单调性，即可求出函数的最小值，再求出区间端点的函数值，即可求出函数的值域.【详解】（1）因为定义域为，所以，因为，所以，所以当时，当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值即最小值，所以，又，，又，所以，所以.19．某网站统计了某网红螺蛳粉在2022年9月至2023年2月（月份代码为1~6）的销售量y（单位：万份），得到以下数据：月份代码x123456销售量y6710111214(1)由表中所给数据求出关于的经验回归方程；(2)为调查顾客对该网红螺蛳粉的喜欢情况，随机抽查了200名顾客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，并判断依据的独立性检验，能否认为“顾客是否喜欢该网红螺蛳粉与性别有关”． 喜欢不喜欢合计男  100女 60 合计110  （参考公式：经验回归方程：，其中，），其中．临界值表：0.010.0050.0016.6357.87910.828 【答案】(1)(2)列联表见解析；能认为“顾客是否喜欢该网红螺蛳粉与性别有关” 【分析】（1）根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.（2）根据已知条件填写列联表，计算的值，由此作出判断.【详解】（1）依题意可得，，，，所以，所以，所以.（2）依题意可得列联表如下： 喜欢不喜欢合计男7030100女4060100合计11090200所以，依据的独立性检验，能认为“顾客是否喜欢该网红螺蛳粉与性别有关”．20．已知函数，当时，函数有极值1.（1）求函数的解析式；（2）若关于x的方程有一个实数根，求实数m的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】（1）根据，可得可得结果.（2）根据等价转换的思想，可得，利用导数研究函数的单调性，并比较的极值与的大小关系，可得结果.【详解】（1）由，有，又有，解得：，， 故函数的解析式为 （2）由（1）有可知：故函数的增区间为，，减区间为，所以的极小值为，极大值为由关于x的方程有一个实数根，等价于方程有一个实数根，即等价于函数的图像只有一个交点实数m的取值范围为【点睛】本题考查根据极值求函数的解析式，还考查了方程的根与函数图像交点的等价转换，属基础题.21．某射击俱乐部将要举行移动靶射击比赛．比赛规则是每位选手可以选择在区射击3次或选择在区射击2次，在区每射中一次得3分，射不中得0分；在区每射中一次得2分，射不中得0分．已知参赛选手甲在区和区每次射中移动靶的概率分别是和．(1)若选手甲在区射击，求选手甲至少得3分的概率．(2)我们把在、两区射击得分的数学期望较高者作为选择射击区的标准，如果选手甲最终选择了在区射击，求的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）先求出对立事件的概率，在得出选手甲至少得3分的概率；（2）分别求出在，区的得分的数学期望，从而得出不等式，解出的范围．【详解】（1）选手甲在区射击不得分的概率为，选手甲在区射击至少得3分的概率为．（2）设选手甲在区射击的得分为，在乙区射击的得分为，则的可能取值为0，3，6，9，的可能取值为0，2，4，则，，，，，，，，，，又，．22．已知函数，，且．(1)当m＝1时，求函数在x＝1处的切线方程；(2)若恒成立，在上存在最小值，求的取值范围．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由导数的几何意义求解即可；（2）利用导函数分析函数的单调性，最值，解决恒成立求参数的值，即可求解.【详解】（1）当m＝1时，，定义域为：，，所以切点坐标为：，而，所以切线的斜率为：，故切线的方程为：，即.（2）因为，所以，，，因为，所以，所以.所以，，令，则或，当时，，所以为增函数；当时，，所以为减函数；当时，，所以为增函数.所以当时，有极小值为：，因为在上存在最小值，所以，所以.恒成立，即恒成立，所以恒成立，令，定义域为：，，若，则，所以为增函数，而，所以当时，，所以不可能恒成立；若，令得：.时，，所以为增函数；时，，所以为减函数.所以，由于要恒成立，所以只需，又因为，所以所以.所以.故的取值范围为：.【点睛】利用导数分析函数的单调性，求函数的最值，从而由恒成立求参数的值，要注意分类讨论的思想.