2022-2023学年宁夏吴忠市吴忠中学高二下学期期中考试数学（理）试题含解析

2022-2023学年宁夏吴忠市吴忠中学高二下学期期中考试数学（理）试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据交集并集的定义即可求出.

【详解】，

，.

故选：C.

2．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】全称量词命题否定为存在量词命题即可.

【详解】命题“”的否定是“”.

故选：A

3．已知抛物线的焦点在圆上，则该抛物线的焦点到准线的距离为（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】C

【分析】根据焦点坐标即可求解，由的几何意义即可求解.

【详解】由于抛物线的焦点为正半轴上，与正半轴的交点为，故抛物线的焦点为，所以，

因此抛物线的焦点到准线的距离为，

故选：C

4．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.

【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D．

【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．

5．执行如图所示的程序框图，则输出的（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【分析】逐次执行程序计算，，直到满足，输出即可．

【详解】第一次循环：，；

第二次循环：，；

第三次循环：，；

第四次循环：，；

第五次循环：，．

退出循环，输出．

故选：B．

6．设，向量．则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】分别先化简“”和“，再根据充分必要条件的判断方法判断即可.

【详解】若，则，所以；

若，则，所以；

所以，而，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

7．某班有学生56人，现将所有学生按1，2，3，…，56随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，抽得编号为4，，32，的学生样本，则（    ）

A．64 B．60 C．58 D．36

【答案】A

【解析】先求出样本间隔，再由样本间隔求出.

【详解】因为样本容量为，所以样本的间隔为

则

即

故选：A

8．已知随机变量的分布列（下表），，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【解析】由变量分布列的性质,解得,从而可以计算出,进而计算出.

【详解】由题可知,所以,

所以,

因此,

故选:B.

【点睛】本题主要考查期望的计算,属于简单题.有一定关系的两个变量,其期望与方差之间也有对应关系,其中.

9．已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题知时，，再根据二次函数求最值即可得答案.

【详解】解：因为命题“，”为真命题，

所以，命题“，”为真命题，

所以，时，，

因为，，

所以，当时，，当且仅当时取得等号.

所以，时，，即实数的取值范围是

故选：C

10．下列说法中正确的是（    ）

①设随机变量X服从二项分布

②已知随机变量X服从正态分布且，则

③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则

④．

A．②③④ B．①②③ C．②③ D．①②

【答案】B

【分析】根据二项分布的概率公式判断①，根据正态分布的性质判断②，根据条件概率判断③，根据方差的性质判断④.

【详解】对于①：随机变量服从二项分布，

则，故①正确；

对于②：随机变量服从正态分布且，

则，故②正确；

对于③：事件 “4个人去的景点互不相同”，事件 “小赵独自去一个景点”，

则，，所以，故③正确；

对于④：，故④错误．

故选：B

11．已知数列满足恒成立，则m的最小值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．5

【答案】A

【分析】变形给定的递推公式，结合等差数列定义求出数列的通项，再利用裂项相消法求和即可作答.

【详解】依题意，，由，得，即，

因此数列是首项，公差的等差数列，则，即，

则当时，，也符合上式，

，

所以，即的最小值为1.

故选：A

12．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.

【详解】依题意，直线都过点，如图，有，，

设，则，显然有，，

，因此，，在，，

即，解得，即，令双曲线半焦距为c，在中，，即，解得，

所以E的离心率为.

故选：B

【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：①定义法，通过已知条件列出方程组，求得的值，根据离心率的定义求解离心率；

②齐次式法，由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；

③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

二、填空题

13．复数的共轭复数为，则______.

【答案】

【分析】现根据复数的除法运算求出复数，再根据共轭复数的定义即可得解.

【详解】，

所以.

故答案为：.

14．已知满足约束条件,则的最大值是______.

【答案】1

【分析】作出可行域,将平移到可行域的边界即可求得目标函数的最大值.

【详解】如图,可行域为图中阴影部分,当目标函数平移至点时,取得最大值1.

故答案为:1.

15．在的展开式中，所有项的二项式系数和为，则常数项为_______．

【答案】

【分析】本题首先可根据二项式系数和为求出，则，然后令，即可求出结果.

【详解】因为所有项的二项式系数和为，

所以，，，，

令，则，常数项为，

故答案为：.

16．已知椭圆的下顶点为，右焦点为，直线AF交椭圆于点，，若，则椭圆的离心率的取值范围是______．

【答案】

【分析】写出直线AF的方程与椭圆的方程联立，得B点横坐标，由向量关系得坐标间的关系，化简出离心率得取值范围.

【详解】由题设，则，直线AF的方程为，

联立方程组，得，

所以B点横坐标为，

又因为，所以，

即，得，又因为，所以.

故答案为：.

【点睛】条件可以用坐标表示，即可将条件的范围转化为椭圆方程中参数的取值范围.

三、解答题

17．已知，命题：，，命题：，使得方程成立.

(1)若是真命题，求的取值范围；

(2)若为真命题，为假命题，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据恒成立的思想可知，由二次函数最值可求得结果；

（2）根据基本不等式可求得，由能成立的思想可知时；由题意可知一真一假，分别讨论真假和假真两种情况即可.

【详解】（1）若是真命题，则在上恒成立，

∵，，

∴当时，，

∴；

（2）对于，当时，，当且仅当时取等号，

若，使得方程成立，只需即可，

若为真命题，为假命题，则和一真一假，

当真假时，，

当假真时，

综上，的取值范围为.

18．已知内角的对边分别为，且.

(1)求角A；

(2)若的周长为，且外接圆的半径为1，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理及三角形的性质即可求角；

（2）利用正弦定理求出边长a，然后再根据周长和余弦定理列式解出bc，从而求解面积.

【详解】（1）∵，

由正弦定理得，

因为，

所以，

因为，所以，所以，

又，所以.

（2）设外接圆的半径为，则，

由正弦定理得，

因为的周长为，所以，

由余弦定理得，

即，所以，

所以的面积 .

19．已知抛物线是抛物线上的点，且.

(1)求抛物线的方程；

(2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据的长，由几何知识即可求出抛物线的方程；

（2）设出两点坐标和直线的斜率，将两点代入抛物线方程，由点差法求出斜率，根据的中点即可求出直线的方程.

【详解】（1）由题意，

在抛物线中，，

由几何知识得，

，

解得：，

故抛物线的方程为：.

（2）由题意及（1）得，

直线的斜率存在，设直线的斜率为，

则，

两式相减得，

整理得，

因为的中点为，

∴，

∴直线的方程为：，

即，经检验，满足题意.

20．已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和为．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由等差数列和等比中项的性质列式求解即可得出答案.

（2）由（1）求出，再由错位相减法求和.

【详解】（1）由，则，则

，

由，，成等比数列可得：，

解得：，

设的公差为d，则．

故．

（2）由（1）知，，

则，

所以，①

所以，②

①-②得，，

所以，，

所以，．

21．某企业生产的产品按质量分为一等品和二等品，该企业计划对现有生产设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取200件产品作为样本，产品的质量情况统计如下表：

(1)判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关；

(2)按照分层抽样的方法，从设备改造前的产品中取得了5件产品，其中有3件一等品和2件二等品．现从这5件产品中任选3件，记所选的一等品件数为X，求X的分布列及均值；

(3)根据市场调查，企业每生产一件一等品可获利100元，每生产一件二等品可获利60元，在设备改造后，用先前所取的200个样本的频率估计总体的概率，记生产1000件产品企业所获得的总利润为W，求W的均值．

附：

【答案】(1)能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关；

(2)分布列见解析，期望为；

(3)90000元.

【分析】（1）根据给定的数据表，计算的观测值，再与临界值表比对作答.

（2）求出的可能值，再依次求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答.

（3）利用二项分布的期望公式及期望的性质计算作答.

【详解】（1）零假设：产品的质量与设备改造无关，

，

根据小概率值0.01的独立性检验，推断不成立，即认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关，

此推断犯错误的概率不超过0.01.

（2）依题意，的可能值为1，2，3，

，，，

所以的分布列为：

数学期望.

（3）设生产的一等品的件数为，而设备改造后，生产一件一等品概率为，

于是，，

而1000件产品中二等品的件数是，又每生产一件一等品可获利100元，每生产一件二等品可获利60元，

则，

所以（元）.

22．设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，，分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点．

(1)求椭圆的方程；

(2)若，求直线的方程；

(3)已知直线斜率存在，若是椭圆经过原点的弦，且，求证：为定值．

【答案】(1)

(2)，

(3)证明见解析

【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标，依题意可得，解得，即可求出椭圆方程；

（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率不存在时直接求出、的坐标，即可判断，当直线存在时，设直线，，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，由得到方程，求出的值，即可求出直线方程；

（3）由弦长公式表示出，设直线，，，联立求出、，即可表示，代入即可得证.

【详解】（1）抛物线的焦点为，

由题意得，

解得，，所以椭圆的方程为.

（2）由（1）可得，由题意知，直线与椭圆必相交，

①当直线斜率不存在时，由，解得或，

不妨令，，则，不合题意；

②当直线存在时，设直线，设，，

联立，消去整理得，

所以，，

则，

解得，

所以直线方程为或.

（3）证明：由（2）可得，

设直线，设，，

联立，消去得，

所以、，

所以，

所以，即为定值.