2022-2023学年宁夏吴忠市吴忠中学高二下学期期中考试数学（文）试题含解析

2022-2023学年宁夏吴忠市吴忠中学高二下学期期中考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则 （    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解一元二次不等式可求出，再根据交集定义求解.

【详解】由解得，所以，

所以，

故选:A.

2．复数的共轭复数是

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先由分母有理化把复数化成的形式，则其共轭复数为.

【详解】,其共轭复数为.

故选B.

【点睛】本题考查复数的除法，共轭复数的概念，属简单题.

3．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据全称命题的否定形式，直接求解.

【详解】全称命题“”的否定形式需要改量词，以及结论否定，

即否定是.

故选：D

4．抛物线的焦点坐标为（    ）

A． B．， C． D．

【答案】D

【解析】将抛物线方程化为标准方程，即可得出开口方向和，进而求出焦点坐标.

【详解】解：整理抛物线方程得

焦点在轴，

焦点坐标为

故选D

5．曲线在点处的切线方程是   

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求出函数的导数，求出切线方程的斜率，即可得到切线方程．

【详解】曲线，解得y′=ex+xex，所以在点(0,1)处切线的斜率为1．

曲线在点（0，1）处的切线方程是：y﹣1=x．

即x﹣y+1=0．

故选A．

【点睛】本题考查曲线的切线方程的求法，考查计算能力

6．已知双曲线的实轴长为4，虚轴长为6，则其渐近线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据双曲线几何性质解决即可.

【详解】由题知双曲线中，

所以，双曲线焦点在轴上，

所以双曲线的渐近线方程为，

故选：B

7．已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题设可得在上恒成立，结合判别式的符号可求实数的取值范围.

【详解】，

因为在上为单调递增函数，故在上恒成立，

所以即，

故选：A.

8．某产品的销售收入（万元）是产量x（千台）的函数，且函数解析式为，生产成本（万元）是产量x（千台）的函数，且函数解析式为，要使利润最大，则该产品应生产（    ）

A．6千台 B．7千台 C．8千台 D．9千台

【答案】A

【解析】构造利润函数，求导，判断单调性，求得最大值处对应的自变量即可.

【详解】设利润为y万元，则，

∴.

令，解得（舍去）或，经检验知既是函数的极大值点又是函数的最大值点，∴应生产6千台该产品.

故选：A

【点睛】利用导数求函数在某区间上最值的规律：

(1)若函数在区间上单调递增或递减，与一个为最大值，一个为最小值．

(2)若函数在闭区间上有极值，要先求出上的极值，与，比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．

(3)函数在区间上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．

9．已知椭圆的焦点分别为，，点在椭圆上，若 则三角形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先由椭圆定义求出，在中利用余弦定理，得到，最后由正弦定理的面积公式，即可得出的面积.

【详解】椭圆方程为，

，，可得，，，

，，

，

中，，

，

，，

的面积为，

故选：C.

【点睛】本题考查了椭圆的定义以及椭圆的简单几何性质，涉及到的知识点包括余弦定理和正弦定理的面积公式，属于中档题.当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.解题时要注意的关系，否则很容易出现错误.

10．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）.

A．函数在上是增函数

B．

C．

D．是函数的极小值点

【答案】B

【分析】根据导函数的图像，可求得函数的单调区间，再根据极值点的定义逐一判断各个选项即可得出答案.

【详解】解：根据函数的导函数的图象，

可得或时，，当或时，，

所以函数在和上递减，在和上递增，

故A错误；

，故B正确；

，故C错误；

是函数的极大值点，故D错误.

故选：B.

11．过点的直线与椭圆交于两点，且点M平分弦，则直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】设，代入作差变形即可求出直线斜率，利用点斜式求出直线方程

【详解】设，直线斜率为，则有，

①-②得，

因为点为中点，则，

所以，即，

所以直线的方程为，整理得

故选：B

12．已知双曲线的左、右焦点分别是、，是双曲线右支上的一点，交双曲线的左支于点，若，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用双曲线的定义，可知为等边三角形，求出、，利用余弦定理求出，即可求得双曲线的离心率的值.

【详解】如下图所示：

因为是双曲线右支上的一点，交双曲线的左支于点，

若，

由双曲线的定义，可得，

，则，

所以，

故为等边三角形，则，

在中，，，，

由余弦定理，可得

，

因此，双曲线的离心率为.

故选：D.

二、填空题

13．已知，若，则__________.

【答案】

【分析】求得，由可求得实数的值.

【详解】，，则，解得.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用导数值求参数值，考查计算能力，属于基础题.

14．过抛物线的焦点作弦，点，，且，则_________．

【答案】14

【分析】根据抛物线定义得焦点弦计算公式，代入条件即得结果

【详解】由抛物线定义得

【点睛】本题考查抛物线定义以及抛物线中焦点弦弦长，考查基本分析求解能力，属基础题.

15．已知函数的导数为，且满足，则_______．

【答案】

【分析】将看作常数利用导数的运算法则求出，然后将代入即可.

【详解】因为，

所以，

将代入得，

解得，

故答案为：.

16．定义在上的函数满足：有成立且，则不等式的解集为__________．

【答案】

【分析】由，判断出函数的单调性，利用单调性解即可

【详解】设

,又有成立，

函数，即是上的增函数．

，，即,

，

故答案为：．

三、解答题

17．已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)求函数的极值．

【答案】(1)见解析

(2)极小值，极大值

【分析】（1）根据导数与函数单调性的关系及导数法求函数单调性的步骤即可求解；

（2）根据函数的极值的定义及导数法求函数的极值的步骤即可求解.

【详解】（1）由题意可知，的定义域为.

因为，所以

令即，解得，

令即，解得或，

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为和.

（2）由（1）可知，当变化时，的变化情况如下表：

所以的极小值为，

极大值为.

18．给定两个命题，：“方程是焦点在x轴负半轴上的抛物线”．命题：“关于x的方程”有实数根

(1)若P是真命题，求实数a的取值范围．

(2)如果为真命题，为假命题，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意知，得到命题的等价命题；

（2）为真命题，为假命题，即一真一假,分别写出对应不等式组求解即可.

【详解】（1）命题:方程是焦点在x轴负半轴上的抛物线，

所以解得，

所以, 若P是真命题，求实数a的取值范围;

（2）命题:关于的方程有实数根；

所以

∵为真命题，为假命题，∴真假，或假真；

如果真且假，有,且,    

如果假且真，有或,且,∴.

综上,实数的取值范围为.

19．大学生王蕾利用暑假参加社会实践，对机械销售公司月份至月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价和销售量之间的一组数据如表所示：

(1)根据至月份的数据，求出关于的回归直线方程；

(2)若剩下的月份的数据为检验数据，并规定由回归直线方程得到的估计数据与检验数据的误差不超过元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？

（注：，，参考数据：，）

【答案】(1)

(2)回归直线方程是理想的

【分析】（1）根据表格数据求得，利用最小二乘法可求得回归直线方程；

（2）令回归直线中的可求得估计数据，对比检验数据即可确定结论.

【详解】（1）由表格数据可知：，，

，则，

关于的回归直线方程为；

（2）令回归直线中的，则，

，（1）中所得到的回归直线方程是理想的.

20．已知椭圆，、分别为其左、右焦点，短轴长为，离心率，过倾斜角为的直线，直线与椭圆交于、两点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求的周长和面积.

【答案】(1)

(2)的周长为，面积为

【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程；

（2）利用椭圆的定义可求得的周长，写出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式可求得的面积.

【详解】（1）解：因为椭圆短轴长为，离心率，则，解得，

因此，椭圆的标准方程为.

（2）解：的周长为，

设点、，由（1）可得、，

过倾斜角为的直线与椭圆交于、两点，则直线的方程为，

联立可得，，

由韦达定理可得，，

所以，，

所以，.

21．设抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，且．

(1)求抛物线C的方程；

(2)设直线与抛物线C交于A，B两点，若，求证：线段AB的垂直平分线过定点．

【答案】(1)

(2)证明见详解

【分析】（1）由条件可得，解出即可；

（2）设，联立直线与抛物线的方程联立消元，然后韦达定理可得，由可得，然后表示出线段的垂直平分线方程可得答案.

【详解】（1）由抛物线的焦半径公式可得，解得

即抛物线的方程为

（2）设

由可得

因为直线与抛物线C有两个交点，

所以，，即

因为，所以，所以

所以，

所以线段的中点坐标为

所以线段的垂直平分线方程为，

即，

所以线段AB的垂直平分线过定点

22．设函数

(1)讨论函数的单调性

(2)若函数有且只有一个零点时，实数m的取值范围．

【答案】(1)见详解

(2)或

【分析】（1）求导，分和讨论可得；

（2）将问题转化为与有且只有一个交点，利用导数讨论的单调性，结合图象可解.

【详解】（1）的定义域为，，

当时，，在单调递增，

当时，令解得，令解得，

所以，函数在单调递增，在上单调递减，

综上，当时，在单调递增，

当时，函数在单调递增，在上单调递减.

（2）由（1）可得，

令，得，

记，

因为函数有且只有一个零，所以函数与有且只有一个交点，

令，得，函数单调递增，

令，得，函数单调递减，

又，于是可得的图象如图，

由图可知，或，即或，

所以实数m的取值范围为或