2022-2023学年安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学高二下学期4月期中考试数学试题含解析
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这是一份2022-2023学年安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学高二下学期4月期中考试数学试题含解析,共16页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学高二下学期4月期中考试数学试题 一、单选题1.在的二项展开式中,项的系数为( )A.6 B.4 C.2 D.1【答案】A【分析】求出展开式的通项,再令的指数等于即可得解.【详解】展开式的通项为,令,则,所以项的系数为.故选:A.2.已知函数在处可导,若,则=( )A.1 B. C.2 D.8【答案】B【分析】利用导数的定义求解.【详解】.故选:B3.曲线在处的切线方程是( )A. B. C. D.【答案】C【分析】求出函数的导数,求得切线的斜率,由斜截式方程,即可得到所求切线的方程.【详解】的导数为,在点处的切线斜率为,即有在点处的切线方程为,即.故选:C4.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有( )A.1440种 B.960种 C.720种 D.480种【答案】B【详解】5名志愿者先排成一排,有种方法,2位老人作一组插入其中,且两位老人有左右顺序,共有=960种不同的排法,选B.5.设,且,若能被13整除,则( )A.0 B.1 C.11 D.12【答案】D【分析】转化为,利用二项式定理求解.【详解】因为能被13整除,所以能被13整除因为,且,所以,故选:D6.据说,笛卡尔担任瑞典一小公国的公主克里斯蒂娜的数学老师,日久生情,彼此爱慕,其父国王知情后大怒,将笛卡尔流放回法国,并软禁公主,笛卡尔回法国后染上黑死病,连连给公主写信,死前最后一封信只有一个公式:国王不懂,将这封信交给了公主,公主用笛卡尔教她的极坐标知识,画出了这个图形“心形线”.明白了笛卡尔的心意,登上了国王宝座后,派人去寻笛卡尔,其逝久矣.某同学利用GeoGebra电脑软件将,两个画在同一直角坐标系中,得到了如图“心形线”.观察图形,当时,的导函数的图象为( )A. B. C. D.【答案】A【分析】根据图象的单调性判断导数正负排除BC,再由函数增长快慢判断AD,即可得解.【详解】因为,所以的图象在轴及下方,当时,由图象知单调递增,所以,故排除BC;又当且时,图象越来越“陡”,即增长越来越快,故函数导数越来越大,据此排除D.故选:A7.已知,,,则,,的大小关系为( )A. B. C. D.【答案】D【分析】构造,利用导数求其单调性可判断的大小,构造,利用导数求其单调性可得到,再由为锐角时,,即可得到答案.【详解】设,则, 令,,因为在上单调递增,在上单调递减,则在上单调递减,由,所以,所以当,所以在上单调递增,当,所以在上单调递减,又,,从而即在上恒成立,故在上单调递增,所以,即,即,构建,则,令,则,当时,,则在单调递增,所以,即,故在上单调递增,则,故在恒成立,取,可得,而由为锐角时,可知,,由不等式传递性知,综上可得:.故选:D.【点睛】方法点睛:对于比较实数大小方法:(1)利用基本函数的单调性,根据函数的单调性判断,(2)利用中间值“1”或“0”进行比较,(3)构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.8.对任意 ,若不等式恒成立,则的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】B【分析】将变形为,设,利用导数求得,,则,所以恒成立,构造函数,利用导数求得其最小值,即可求得答案.【详解】对任意 ,若不等式恒成立,即,即,设,则,当时,,在时单调递减,当时,,在时单调递增,故当时,取得极小值也是最小值,即,令,则,所以恒成立,设,故是单调递增函数,故,所以 ,又因为,所以的取值范围为,故选:B【点睛】本题考查了不等式的恒成立成立问题,解答时要注意对不等式进行恰当的变式,从而分离参数,构造新函数,将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题解决. 二、多选题9.下列结论正确的是( )A. B.C. D.【答案】BCD【分析】根据排列数公式可直接判断A;根据组合数公式计算可判断B;由组合数性质可判断C;利用排列数公式直接计算可判断D.【详解】对于A,,所以,故A错误;对于B,,故B正确;对于C,,故C正确;,故D正确.故选:BCD.10.如图是导函数的导函数的图像,则下列说法正确的是( )A.函数在区间上单调递减B.函数在区间上单调递增C.函数在处取极大值D.函数在处取极小值【答案】BC【分析】根据题意,由导函数与原函数的关系以及极值的定义,对选项逐一判断,即可得到结果.【详解】由图像可知,当时,,则函数单调递增,当时,,则函数单调递减,所以当时,函数有极大值,故C正确,A错误;当时,,则函数单调递增,故B正确;且,即不是函数的极值点,当时,,则函数单调递增,当时,,则函数单调递增,所以不是函数的极值点,故D错误.故选:BC11.2022年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动.小明在如图的街道E处,小华在如图的街道F处,老年公寓位于如图的G处,则下列说法正确的个数是( )A.小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条B.小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条C.小明到老年公寓在选择的最短路径中,与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为D.小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中,两人并约定在老年公寓门口汇合,事件A:小明经过F,事件B:从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分(路口除外),则【答案】BCD【分析】根据起点走向终点所需要向上、向右走的总步数,并确定向上或向右各走的步数,则最短路径的走法有,再利用古典概型的概率公及条件概率的求法,求小明到处和小华会合一起到老年公寓的概率,小明经过且从到老年公寓两人的路径没有重叠的概率即可.【详解】由图可知,要使小华、小明到老年公寓的路径最短,则只能向上、向右移动,而不能向下、向左移动,对于A,小华到老年公寓需要向上1格,向右2格,即共走3步,其中1步向上,所以最短路径的条数为条,所以A错误,对于B,小明到老年公寓需要向上3格,向右4格,即共走7步,其中3步向上,最短路径的条数为条,所以B正确,对于C,小明到的最短路径走法有条,再从处和小华一起到老年公寓的路径最短有3条,而小明到老年公寓共有35条,所以到处和小华会合一起到老年公寓的概率为,所以C正确,对于D,由题意知:事件的走法有18条,即,事件,所以,所以D正确.故选:BCD12.函数,下列说法正确的是( )A.存在实数,使得直线与相切也与相切B.存在实数,使得直线与相切也与相切C.函数在区间上单调递减D.函数在区间上有极大值,无极小值【答案】AB【分析】对AB,设直线与与分别相切于点,利用点在线上及斜率列方程组,解得切点即可判断;对CD,令,两次求导研究函数单调性及极值.【详解】设直线分别与与分别相切于点,则,,,,所以且,即,化简得,解得或,当时,可得,即切线的斜率为,且,即切点坐标为,此时切线的方程为;当时,可得,即切线的斜率为,且,即切点坐标为,此时切线的方程为,即,故公切线方程为或,所以选项正确;令,可得,令,可得,所以单调递增,即单调递增,又由,因为,所以,即时,,所以在区间上单调递增,所以C错误;由C知,函数单调递增,所以函数无极值,所以错误.故选:. 三、填空题13.设离散型随机变量X的概率分布列为:则P(X≤2)=________.X10123Pm 【答案】/【分析】由题意可知,从而可求出结果【详解】由题意可知,故答案为:14.“仁义礼智信”为儒家“五常”,由伟大的教育家孔子提出,现将“仁义礼智信”排成一排,则“礼智”互不相邻的排法总数为______.【答案】72【分析】根据插空法求排法种数.【详解】先排仁,义,信,三个字,再将礼智两个字插空,共有种方法.故答案为:7215.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片,已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为,,,现从这10盒中任取一盒,再从这盒中任取一张X光片,则取得的X光片是次品的概率为__________.【答案】【分析】由全概率公式即可处理.【详解】设=“任取一个X光片为次品”,=“X光片为某厂生产”(甲、乙、丙厂依次对应)则,且两两互斥.由题意可得:,16.设实数,若不等式恰好有四个整数解,则实数的取值范围为__________.【答案】【分析】不等式等价于,即,由函数在上单调递增,有,问题转化为恰好有四个整数解,令,利用导数研究单调性,通过数形结合求实数的取值范围.【详解】,,由,即,故,因为不等式恰好有四个整数解所以不等式恰好有四个整数解,即恰好有四个整数解,令,则在上恒成立,所以函数在上单调递增,所以,不等式恰好有四个整数解,即恰好有四个整数解,令,则,所以,当时,单调递增,当时,单调递减,因为,所以,作出函数的图像如图所示,所以,要使恰好有四个整数解,则,即,所以,实数的取值范围为.故答案为: 四、解答题17.端午节吃粽子是我国的传统习俗,设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,白粽8个,这两种粽子的外观完全相同,从中任意选取3个.(1)求既有豆沙粽又有白粽的概率;(2)设表示取到的豆沙粽个数,求的分布列.【答案】(1)(2)分布列见解析 【分析】(1)根据古典概型以及组合数的计算先求全是白粽的概率,然后由对立事件的概率公式可得;(2)根据超几何分布的知识即可求得的分布列.【详解】(1)记事件A:取出的3个都是白粽.则,所以,既有豆沙粽又有白粽的概率为.(2)的可能取值为,则,,所以的分布列如下:01218.设某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,已知各车间的产量分别占全厂产量的25%,35%,40%,并且各车间的次品率依次为5%,4%,2%.现从该厂这批产品中任取一件.(1)求取到次品的概率;(2)若取到的是次品,则此次品由三个车间生产的概率分别是多少?【答案】(1)(2)此次品由甲车间生产的概率为:,由乙车间生产的概率为:,由丙车间生产的概率为: 【分析】(1)根据全概率计算公式,计算出所求概率.(2)根据贝叶斯公式,计算出所求概率.【详解】(1)取到次品的概率为(2)若取到的是次品,则:此次品由甲车间生产的概率为:.此次品由乙车间生产的概率为:.此次品由丙车间生产的概率为:.19.已知函数,且.(1)求函数在处的切线方程;(2)求函数在上的最大值与最小值.【答案】(1);(2)最大值为2,最小值为. 【分析】(1)由题可得,然后根据导函数在的值,可求出切线斜率,根据点斜式写出切线方程;(2)根据导函数,确定单调区间,进而可得最值.【详解】(1)因为,故,解得,因为,所以,则所求切线的斜率为,且,故所求切线方程为,即;(2)因为,,所以,令,得(舍去),由,可得,函数单调递减,由,可得,函数单调递增,所以的极小值为,又,,所以的最大值为2,最小值为.20.已知,其中,且,(1)求的值;(2)求的值.【答案】(1)2(2)25 【分析】(1)分别令,,然后两式相减求结合即可得解;(2)化为,求出展开式的通项,令的指数等于和即可得解.【详解】(1)当时,,①当时,,②②①得,,因为,所以,解得;(2),展开式的通项为,令,则,令,则,所以.21.已知函数(1)讨论的单调性;(2)若有两个零点,求的取值范围.【答案】(1)见解析;(2).【详解】试题分析:(1)讨论单调性,首先进行求导,发现式子特点后要及时进行因式分解,再对按,进行讨论,写出单调区间;(2)根据第(1)问,若,至多有一个零点.若,当时,取得最小值,求出最小值,根据,,进行讨论,可知当时有2个零点.易知在有一个零点;设正整数满足,则.由于,因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.试题解析:(1)的定义域为,,(ⅰ)若,则,所以在单调递减.(ⅱ)若,则由得.当时,;当时,,所以在单调递减,在单调递增.(2)(ⅰ)若,由(1)知,至多有一个零点.(ⅱ)若,由(1)知,当时,取得最小值,最小值为.①当时,由于,故只有一个零点;②当时,由于,即,故没有零点;③当时,,即.又,故在有一个零点.设正整数满足,则.由于,因此在有一个零点.综上,的取值范围为.点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围,第一种方法是分离参数,构造不含参数的函数,研究其单调性、极值、最值,判断与其交点的个数,从而求出a的取值范围;第二种方法是直接对含参函数进行研究,研究其单调性、极值、最值,注意点是若有2个零点,且函数先减后增,则只需其最小值小于0,且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.22.已知函数在有零点.(1)求实数的取值范围.(2)求证:.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】(1)利用导数进行分类讨论,结合零点的定义和函数的单调性进行求解即可;(2)结合(1),构建新函数利用导数进行证明即可.【详解】(1)因为,,所以,①若时,对任意恒成立,.则在上单调递增,且,则在上不存在零点,不符合题意;②若时,令,解得,(i)当,即时,在上单调递减,,则在上不存在零点,不符合题意;(ii)当,即时,所以当时,;当时,,即在上单调递增;在上单调递减,所以,令,,则在上单调递减,则,即,又当时,,满足题意,综上所述,实数的取值范围为.(2)由(1)知,由,要证明,只要证明,设,,,,即;另一方面:要证明,只要证明,即证明,,即证,设,,则,所以当时,,即,所以成立.【点睛】关键点睛:根据不等式的形式,通过适当的变形,构造新函数,利用导数证明是解题的关键.
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