2022-2023学年北京市北京师范大学第二附属中学高二下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年北京市北京师范大学第二附属中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知为等差数列，，则（    ）

A．4 B．6 C．8 D．10

【答案】C

【分析】由等差数列性质，，求出式子的值.

【详解】因为是等差数列，所以.

故选：C.

2．函数 在 处的瞬时变化率为 （    ）

A．4a B． C．b D．

【答案】B

【分析】根据导数的意义直接求解.

【详解】由可知，

所以，

即在 处的瞬时变化率为.

故选：B

3．已知数列的前项和，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用公式求出，再由第k项满足可得答案．

【详解】时，，

，，

由得，解得，

因为，所以，

故选：C.

4．已知函数的图象如图所示，那么下列结论正确的是（    ）

A． B．没有极大值

C．时，有极大值 D．时，有极小值

【答案】D

【分析】根据函数的图象可知，有极大值，的值无法确定，再根据的图象确定的单调性，从而可说明不是函数的极值点，是函数的极小值点.

【详解】解：如图所示，设函数的图象在原点与之间的交点为．

由图象可知：.

当时，，此时函数单调递减；

当时，，此时函数单调递增；

当时，，此时函数单调递减；

当时，，此时函数单调递增．

可得：是函数的极小值点，是函数的极大值点，是函数的极小值点．

不是函数的极值点，不一定成立．且由图知，有极大值.

故选：D．

5．已知等比数列中，，则“”是“”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】A

【分析】利用等比数列通项公式可构造不等式求得的范围，进而依次验证充分性和必要性即可.

【详解】设等比数列的公比为，

由得：，又，，解得：，

，即，充分性成立；

由得：，又，，即，解得：或，

当时，，，必要性不成立；

综上所述：“”是“”的充分非必要条件.

故选：A.

6．与正整数有关的数学命题，如果当（，）时该命题成立，则可推得当时该命题成立．现得知时命题不成立，那么可推得（    ）

A．当时，该命题不成立 B．当时，该命题不成立

C．当时，该命题成立 D．当时，该命题成立

【答案】A

【分析】利用原命题与它的逆否命题的真假性相同，结合数学归纳法可得结论

【详解】解：由于原命题与它的逆否命题的真假性相同，

因为当时命题成立，则可以推出当时该命题也成立，

所以当时命题不成立，则可以得到当时命题不成立，

故选：A

7．世界上最早在理论上计算出“十二平均律”的是我国明代杰出的律学家朱载堉，他当时称这种律制为“新法密率”十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音是第一个单音频率的2倍.已知第十个单音的频率，则与第四个单音的频率最接近的是（    ）

A．880 B．622 C．311 D．220

【答案】C

【分析】依题意，每一个单音的频率构成一个等比数列，由，算出公比，结合，即可求出.

【详解】设第一个单音的频率为，则最后一个单音的频率为，

由题意知，且每一个单音的频率构成一个等比数列，设公比为，

则，解得：

又，

则与第四个单音的频率最接近的是311,

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列通项公式的运算，解题的关键是分析题意将其转化为等比数列的知识，考查学生的计算能力，属于基础题.

8．若函数恰好有两个极值，则实数a的取值范围是 （    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出函数的导函数，利用函数恰好有两个极值，说明导函数有两个不同的零点，从而求出a的取值范围.

【详解】因为，所以，

由函数恰好有两个极值，得有两个不相等的零点，

故方程有两个不相等的实根，

则，且，解得或，

所以实数a的取值范围是.

故选：D.

二、多选题

9．若一个数列的第 m 项等于这个数列的前 m 项的乘积，则称这个数列为“m 积特征列”，若各项均为正数的等比数列 为“6 积特征列”，且 ，则当 的前n 项之积最大时，n 的最大值为  （    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】C

【分析】根据“m积特征列”的定义求出数列的和之间的关系，再求前n项之积的最大值.

【详解】是等比数列，；

因为是“6积特征列”，，即，，，；

因为是正数列，；

设数列的前n项之积为，则有 ，

，当指数 最小时，最大；当时，最小，又，或时最大；

故选：C.

三、单选题

10．设，，，则，，大小关系是　　

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，根据的单调性可得（3），从而得到，，的大小关系．

【详解】考查函数，则，在上单调递增，

，（3），即，

，

故选：．

【点睛】本题考查了利用函数的单调性比较大小，考查了构造法和转化思想，属基础题．

四、填空题

11．已知，，则_________.

【答案】

【分析】根据导数的运算法则求导，再代值计算即可

【详解】解：，

，

，

故答案为：

五、双空题

12．已知为等差数列，为其前项和，若，，则公差_________，的最大值为_________．

【答案】         

【分析】根据已知条件可求得的值，求出的表达式，利用二次函数的基本性质可求得的最大值.

【详解】，即，解得，

所以，，

当或时，取得最大值.

故答案为：；.

六、填空题

13．函数 在内是递增函数，则实数a的取值范围是________________．

【答案】

【分析】由题可得在内恒成立，分类讨论满足不等式成立情况下，a的取值范围即可.

【详解】由题知在内是递增函数，

则在内恒成立，

当时，上式成立，，

当时，恒成立，

因，所以，

则.

故答案为：

七、双空题

14．已知函数，当时，有极小值．写出符合上述要求的一组a，b的值为a= _______ ，b=_______ ．

【答案】     4（不唯一）     5（不唯一）

【分析】由极小值的概念及求导法则即可求解.

【详解】当时，无极小值，故，

，

由可得或，

当时，由时，有极小值可知，即，

当时，由时，有极小值可知，即.

所以的一组取值可取，

故答案为：4；5（答案不唯一，满足或即可）.

八、填空题

15．项数为的有限数列的各项均不小于的整数，满足，其中.给出下列四个结论：

①若，则；

②若，则满足条件的数列有4个；

③存在的数列；

④所有满足条件的数列中，首项相同.

其中所有正确结论的序号是_________.

【答案】①②④

【分析】根据有限数列的性质，，及满足，其中，利用不等式放缩，结合等比数列求和可得，即可确定的值，从而可判断①③④的正误，若，得，结合，求得的关系，根据不等式求得的范围，一一列举得数列，即可判断②.

【详解】由于有限数列的各项均不小于的整数，所以，，

又因为，

所以

所以，且，为整数，所以，故③不正确，④正确；

当时，得，所以，则，故①正确；

当时，得，因为，所以，则，

所以，为整数，则的可能取值为，对应的的取值为，

故数列可能为；；；，共4个，故②正确.

故答案为：①②④.

【点睛】思路点睛：项数为的有限数列的性质入手，

从各项，结合不等式放缩，确定的范围，从而得的值，逐项验证即可.

九、解答题

16．已知等比数列的前项和，且成等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)设是首项为，公差为的等差数列，其前项和为，求满足的最大正整数．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等差数列定义可求得等比数列的公比，结合等比数列求和公式可得，根据等比数列通项公式可得结果；

（2）利用等差数列求和公式可求得，解不等式即可得到结果.

【详解】（1）成等差数列，，即，

等比数列的公比为，，解得：，

.

（2）由（1）得：，，

，

令，即，解得：，又，

满足的最大正整数.

17．已知函数在处取得极值.

（1）求实数的值；

（2）当时，求函数的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）求导，根据极值的定义可以求出实数的值；

（2）求导，求出时的极值，比较极值和之间的大小的关系，最后求出函数的最小值.

【详解】（1），函数在处取得极值，所以有；

（2）由（1）可知：，

当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故函数在处取得极大值，因此，

，，故函数的最小值为.

【点睛】本题考查了求闭区间上函数的最小值，考查了极值的定义，考查了数学运算能力.

18．在数列中，，（，常数），且，，成等比数列．

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式．

【答案】（1）；（2）数列的通项公式为（）．

【详解】试题分析：（1）由递推公式写出 的表达式，再由等比中项的性质列方程求出的值；

（2）根据递推公式的特点，可知 组成一个等比数列，于是可根据

用叠和法求出数列 的通项公式．

试题解析：解：（1）由题知，， ，，

因为， ，成等比数列，所以 ，

解得或 ，又，故 ．

（2）当时，由 得

，

，

，

以上各式相加，得，

又， ，故，

当时，上式也成立，

所以数列的通项公式为（）．

【解析】1、数列的递推公式；2、等比中项的性质的应用；3、数列求通项．

19．如图，有一个长方形地块，边为，为．地块的一角是湿地（图中阴影部分），其边缘线是以直线为对称轴，以为顶点的抛物线的一部分，现要铺设一条过边缘线上一点的直线隔离带，，分别在边， 上（隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计）．设点到边的距离为（单位：），的面积为（单位：）．

(1)求关于的函数解析式；

(2)是否存在点，使隔离出来的的面积超过？并说明理由．

【答案】(1)，

(2)不存在，理由见解析

【分析】（1）根据抛物线的方程求出边缘线的方程，再根据导数的几何意义求出直线的方程，即可求解；

（2）利用函数的导数与最值的关系求解.

【详解】（1）  

如图建立平面直角坐标系，则，，，

由题意：可设抛物线，

代入点，可得，故抛物线为，

由题意直线为抛物线的切线，

点到边的距离为，故切点坐标为，

，故直线的斜率为，

故直线的方程为：，即，

令，得，故，

令，得，故，

，

故，

（2）因为，

所以,

因为，所以，

所以当时，，当时，，

所以函数在单调递增，，单调递减，

所以，

所以不存在点，使隔离出来的的面积超过.

20．已知函数.

(1)当时，

（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（ⅱ）求证：，.

(2)若在上恰有一个极值点，求的取值范围.

【答案】(1)（ⅰ）切线方程为；（ⅱ）证明见解析

(2)

【分析】（1）当时，求导，根据导数几何意义求解切点坐标与斜率，即可得切线方程；根据导函数的正负确定函数的单调性，即可得函数的最值，即可证明结论；

（2）根据极值点与函数的关系，对进行讨论，确定导函数是否存在零点进行判断，即可求得的取值范围.

【详解】（1）当时，

（ⅰ） ，又，所以切线方程为.

（ⅱ），，因为，所以,

所以，所以

所以在单调递增，所以；

（2），

当时，所以，

,

由（1）知，，

所以在上单调递增.

所以当时，没有极值点，

当时，，

因为与在单调递增.

所以在单调递增.

所以，.

所以使得.

所以当时，，因此在区间上单调递减，

当时，，因此在区间上单调递增.

故函数在上恰有一个极小值点，的取值范围是.

21．设正整数集合，且 ．若对于任意的 ，当 时，都有 ，则称集合 A 为“子列封闭集合”．

(1)若 ，判断集合 A 是否为“子列封闭集合”，说明理由；

(2)若数列的最大项为，且，证明：集合 A 不是“子列封闭集合”；

(3)设为数列，若 ，且集合 A 为“子列封闭集合”，求数列 的通项公式．

【答案】(1)集合 A 是为“子列封闭集合”，理由见解析

(2)证明见解析

(3)或

【分析】（1）根据“子列封闭集合”的定义判断即可；

（2）可用反证法证明集合不是“子列封闭集合”．

（3）根据集合是“子列封闭集合”时，，利用数列为严格递增数列，求出数列的通项公式．

【详解】（1）因为，

所以对于任意的，，，当时，

都有，

所以集合为“子列封闭集合”，

（2）假设集合是“子列封闭集合”，

因为，，所以存在正整数，

使得，，

即，，

因为，所以，，

与为集合的最大元素矛盾，

所以假设错误，即集合不是“子列封闭集合”．

（3）由（2）知，集合是“子列封闭集合”时，有，；

因为数列为严格递增数列，，所以，或，．

①当，时，因为，，

则；

若，此时，，

由于，所以，

因为，，与，矛盾，

所以，又，所以；

所以数列的通项公式为．

②当，，时，因为，，

则；

若，由于，所以，

因为，所以，与，矛盾；

若，此时，，

由于，所以，

因为，所以，与，矛盾；

所以，又，所以，；

所以，数列的通项公式为．

综上所述，数列的通项公式为或．