2022-2023学年北京市陈经纶中学高二下学期数学期中诊断试题含解析

2022-2023学年北京市陈经纶中学高二下学期数学期中诊断试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得.

【详解】由，即，解得，

所以，又，

所以.

故选：B

2．命题“，”的否定是（    ）

A．，均有 B．，均有

C．，使得 D．，使得

【答案】C

【分析】全称命题的否定需要把改为，把结论否定即可.

【详解】“，”的否定是，使得，

故选：C

【点睛】本题主要考查了全称命题的否定是特称命题，属于基础题.

3．设，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】逐一判断，对A取，，可得结果；对B取，可得结果；对C利用不等式的性质判断即可；对D取可判断.

【详解】解：A.取，，则不成立；

B.取，，则不成立；

C.∵，∴，正确；

D.取，∵，∴，因此不成立.

故选：C.

4．展开式中的常数项为（    ）

A． B． C．15 D．30

【答案】C

【分析】由二项式写出展开式的通项，再判断常数项对应的r值，即可求常数项.

【详解】由题设，，

所以，当时常数项为.

故选：C

5．设，则的最小值为（    ）

A．5 B．3 C．4 D．9

【答案】A

【分析】先将函数化简，然后利用基本不等式即可求解.

【详解】因为，所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为，

故选：A.

6．陈经纶中学高二语文期中考试共设置8道古文诗句默写，题目选自7篇古诗文，包括《屈原列传》、《离骚》的节选段落，以及《陈情表》、《过秦论》、《项脊轩志》、《伶官传序》、《归去来兮辞》的全文. 已知每篇古诗文均设置题目，则在节选段落的篇目不重复出题的条件下，考查2道《过秦论》默写题目的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用古典概型的基本定义来计算即可.

【详解】已知每篇文章均要设置题目，共7篇，则有7道从不同古诗文中选择，剩下1道，

只能从范围为全文的古诗文中选择，因为题中节选段不重复，则不能选《屈原列传》、《离骚》的节选段落，

则一共有5中情况，其中2道《过秦论》默写题目为其中1种情况，

考查2道《过秦论》默写题目的概率为，

故选：A.

7．已知函数，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】由的奇偶性、单调性结合充分条件、必要条件的概念即可得解.

【详解】因为定义域为，，

所以为奇函数，且为上的增函数.

当时，，所以，

即“”是“”的充分条件，

当时，，由的单调性知，

，即，

所以“”是“”成立的必要条件.

综上，“”是“”的充要条件.

故选：C

8．掷三颗质地均匀的骰子，已知所得三个点数都不一样，则骰子中含1点的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用条件概率的公式计算.

【详解】设事件表示“掷出的点数含有 1 点”；事件表示“掷出的三个点数都不一样”，则显然所要求的概率为 .

根据公式 ,

得.

故选：C.

9．一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和个黑球. 从中有放回的随机抽取4次，记其中白球的个数为，若，则（    ）

A．1 B．2 C．4 D．

【答案】B

【分析】由二项分布的均值和方差公式求解即可.

【详解】由题意可得取得白球的概率为，则，

则，解得：，取得白球的概率为，

故.

故选：B.

10．已知函数，关于函数给出下列命题：

①函数为偶函数；          

②函数在区间单调递增；

③函数存在两个零点；   

④函数存在极大值和极小值．

正确的命题为（    ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

【答案】B

【分析】对于①，由偶函数的定义可以判断；对于②，先求当时的函数解析式，求出的导数，再对导数进行二次求导，通过判断二次导的正负得到一次导的单调性，再结合一次导数的特殊点的正负即可判断函数在区间的单调性；对于③，由的单调性及特殊值的正负，可找到的零点所在区间，从而判断的正负，得到的单调性，再由特殊点的正负得到零点所在的区间，从而确定零点的个数；对于④，由③即可判断极大值和极小值.

【详解】对于①，因为，所以，

所以函数为偶函数， 故①正确；

对于②，当时，，则.

令，则.

当，即时，；

当，即时，；

所以在上单调递增，在上单调递减.

因为，，

且，所以当时，，

所以函数在区间单调递增，故②正确；

对于③，由②得，在上单调递增，在上单调递减.

且，，，

所以存在，使.

又，

，

所以存在，使.

所以当时，；当时，；当时，；

所以函数在区间单调递增减，在区间单调递增，在区间单调递减.

又因为，，，

所以存在，使；存在，使.

所以当时，存在两个零点；由偶函数的定义，当时，存在两个零点；

即存在4个零点，故③错误；

对于④，由③得，当时，函数有极小值，

当时，函数有极大值.故④正确.

故选：B

【点睛】难点点睛：本题的难点在于零点不能直接求出，对于题目中出现隐零点的一般思路是：先用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点；再虚设零点并确定取范围，利用导数讨论单调性及最值，其中可能需要构造函数进行二次求导.

二、填空题

11．函数的定义域为______________．

【答案】

【分析】根据题意，列出不等式，求解即可得到结果.

【详解】因为函数

则，解得且

所以函数的定义域为

故答案为:

12．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝________．

【答案】

【详解】f（x）=xlnx

∴f'（x）=lnx+1

则f′（x0）=lnx0+1=2

解得：x0=e

13．若，则______.

【答案】

【分析】利用赋值法令及计算可得；

【详解】因为，

令，则，

令，则，于是.

故答案为：

三、双空题

14．设函数．

①若，则函数的值域为________；

②若在R上是增函数，则的值可以是________．（写出符合条件的一个值）

【答案】          2(的任意数)

【分析】（1）求出分段函数的各自的值域，再将两集合取并集即可；

（2）分段函数在R上是增函数，需要满足各个分段区域内是增函数，还得满足端点值的条件.

【详解】①若，则函数，

当时，为增函数，则，

当时，为增函数，则，

的值域为；

②若在R上是增函数，则需满足

，解得，

故答案为：；2(的任意数).

四、填空题

15．已知全集，非空集合. 若在平面直角坐标系中，对中的任意点，与关于轴、轴以及直线对称的点也均在中，则以下命题：

①若，则；

②若，则S中至少有8个元素；

③若，则S中元素的个数可以为奇数；

④若，则.

其中正确命题的序号为________．

【答案】①④

【分析】①根据定义和点关于坐标轴对称的性质可判断；

②若，则中至少有4个元素，故错误；

③若，则中元素的个数一定为成对出现，故为偶数；

④根据，显然图象关于轴，轴，和轴对称，判断即可．

【详解】中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称.

所以当，则有，，，

进而有：，，，，

①若，则，故①正确；

②若，则，，，能确定4个元素，故②不正确；

③根据题意可知，，若，能确定4个元素，

当，也能确定个，当，也能确定8个所以，

则中元素的个数一定为偶数，故③错误；

④若，由中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称可知，

则，，，即，

即，故④正确，

综上：①④正确.

故答案为：①④.

五、双空题

16．陈经纶中学高二年级近日于北京日坛公园组织社会实践活动. 日坛公园的西门位于东西中轴线上，公园内部的主要路径及主要景点如下图所示. 某活动小组计划从“烈士墓”出发，经“东西中轴线及其以北”的主要路径前往“祭日拜台”进行实践活动，活动结束后经“东西中轴线及其以南”的主要路径由南门离开. 已知小组成员的行动路线中没有重复的主要路径. 则该小组在前往“祭日拜台”的途中最多可以路过_____个主要景点；该小组全程共有______条行动路线可供选择.  

【答案】     5     35

【分析】该小组在前往“祭日拜台”的途中最多可以路过主要景点依次有：北天门，祭器库，神库神厨，悬铃木，西天门；该小组全程行动路线使用分类分步一一列举出来即可.

【详解】该小组在前往“祭日拜台”的途中最多可以路过主要景点依次有：北天门，祭器库，神库神厨，悬铃木，西天门，共5个；

各路口与景点标记如图所示，该小组全程行动路线可分三类：

第一类：由A经到H到“祭日拜台”再到南门，路线分两步，第一步先由A到H的路线有：AFGH，AFGDEH，ABDGH，ABDEH，第二步活动结束后从“祭日拜台”到南门路线有：IMO,IMKLNO,IMNLKO,JLKO,JLNO,共有种.

第二类：由A经到I到“祭日拜台”再到南门，路线分两步，第一步先由A到I的路线有：AFI,ABDGFI,ABDEHGFI, 第二步活动结束后从“祭日拜台”到南门路线有：JLKO,JLNO, 共有种.

第三类：由A经到J到“祭日拜台”再到南门，路线分两步，第一步先由A到J的路线有：ABCJ,AFGDBCJ,AFGHEDBCJ, 第二步活动结束后从“祭日拜台”到南门路线有：IMO,IMKLNO,IMNLKO, 共有种.

因此，共有20+6+9＝35.

故答案为：5；35

【点睛】易错点点睛：列举法关键是要做到不重漏，分类要清晰，步骤要合理.

六、解答题

17．某研究小组在进行一项水质监测实验，受取样环境所限，每次取得的水样均有的概率受到污染而无法用于研究，假设每次取样互不影响.

(1)研究小组取样2次，求水样均受到污染的概率；

(2)研究小组取样3次，记3份水样中受到污染的水样数量为，求的分布列及数学期望；

(3)已知取出的100份水样中，有2份水样受到污染，为筛选出污染的水样，研究小组将100份水样分成10组，每组10份；将每组的各份水样分别取一小部分进行混合，对所有混合物进行逐份检测，若无污染，则可确定该组水样无污染，否则还需对该组所有水样逐份检测. 若两份污染水样不在同一组，则检测次数是多少？（直接写出结论）

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

(3)30次·

【分析】（1）由独立事件的乘法公式求解即可；

（2）求出的可能取值，及其对应的概率，即可得出的分布列，再由数学期望公式求的数学期望；

（3）首先100份水样分成10组，每组10份，需要检测10次，若有污染还需对该组所有水样逐份检测，两份污染水样不在同一组，所以要检测20次，即可求出一共需要检测的次数.

【详解】（1）社事件A为“取样2次，水样均受到污染”，·

（2）可取  ，

 ，           

，

则的分布列为：

故·

（或写，则也可以）

（3）若两份污染水样不在同一组，则检测次数是30次，

首先100份水样分成10组，每组10份，需要检测10次，

若有污染还需对该组所有水样逐份检测，两份污染水样不在同一组，所以要检测20次，

所以一共检测30次.

18．体温是人体健康状况的直接反应，一般认为腋下温度（单位：）超过即为发热，按不同体温范围可分成以下四种发热类型：

低热：；中度热：；

高热：；超高热（有生命危险）：

某患者因肺炎发热，住院治疗，医生记录了该患者15天治疗期间的腋下温度：

(1)患者好友计划在15天中随机选择1天来病房探望患者，求探望当天患者腋下温度处于高热的概率；

(2)住院期间，医生需取患者静脉血做血常规检查，若在第4天至第8天期间，医生随机选择3天取静脉血，记为高热体温下的取血天数，试求的分布列与数学期望；

(3)治疗期间，医生根据病情变化，前后共使用三种不同的抗生素（见表）对患者进行治疗，请结合表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳，并说明理由.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

(3)答案见解析

【分析】（1）根据古典概型求解；

（2）在5天中有3天是高热，X可取1，2，3，写出分布列即可；

（3）根据抗生素治疗使用后体温的变化情况，用具体数据比较治疗效果.

【详解】（1）由表可知，患者老师共6天高热，=“探望当天患者最高体温处于高热” ，

则.

（2）X可取1，2，3，

则X的分布列为：

E（X）=1×+2×+3×=.

（3）泰能治疗效果最佳：稳定的体温下降（用变化量、极差、平均值、方差均可，有具体数据能说明持续体温下降即可）

说明示例：

使用其他抗生素期间体温没有明显变化，而使用泰能期间，第1天相较于之前体温下降0.5，第2天下降0.5，第3天下降0.4，甚至在停药的第一天仍旧下降0.5，令体温降低到正常体温范围，体温下降稳定表明药物效果明显，说明泰能治疗效果最佳.

拉氧治疗效果最佳：治疗期间的最大体温落差（用变化量说明，需要说清首日降温1℃）

说明示例：

自使用拉氧开始治疗后，体温才开始下降，且使用拉氧治疗当天共降温1℃，是单日降温效果最好的一天，故拉氧治疗效果最佳.

19．已知函数．

(1)若函数在处的切线方程为，求；

(2)求函数的单调区间．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】(1)先求的导数，把切点的横坐标代入导数方程得到切线的斜率，再结合切点的坐标得到切线方程，结合题目所给的条件即可解出的值.

(2) 先求的导数，分和和三大类讨论导数的正负，当时，分和和三类讨论导数的正负，解出对应的，从而得到的单调区间.

【详解】（1）,

由于在处的切线方程为,

而，，故切线方程为，

即，此时，所以.

（2）由于，

当时，令得，

由得，由得，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为.

当，令得，

由得，由得或，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为和.

当，令得，

当时，由得或，由得，

所以的单调递增区间为和，单调递减区间为；

当时，，所以的单调增区间为，无单调减区间；

当时，由得或，由得，

所以的单调增区间为和，单调递减区间为.

综上，当时， 的单调递增区间为，单调递减区间为；

当， 的单调递增区间为，单调递减区间为和；

当时， 的单调递增区间为和，单调递减区间为；

当时， 的单调增区间为，无单调减区间；

当时，的单调增区间为和，单调递减区间为.

20．设函数．

(1)若，

①求曲线在点处的切线方程；

②当时，求证：．

(2)若函数在区间上存在唯一零点，求实数的取值范围．

【答案】(1)①；②证明见解；

(2).

【分析】（1）①当时，求得，得到，进而求得曲线在点处的切线方程；

②令，利用导数求得在单调递减，得到，即可求解；

（2）求得，令，分和两种情况，结合和单调性，求得，设使得，利用函数的单调性，得到，即可求解.

【详解】（1）解：①当时，，可得，

则，

可得曲线在点处的切线方程，即.

②令，

则，

当，可得，在单调递减，

又因为，所以，即，即，

即当时，．

（2）解：由函数，可得，

令，

当时，，即，在区间上单调递增，

因为，所以，

所以函数在区间上没有零点，不符合题意；

当时，函数的图象开口向上，且对称轴为，

由，解得，

当时，在区间上恒成立，

即，在区间上单调递减，

因为，所以，

所以函数在区间上没有零点，不符合题意；

综上可得，

设使得，

当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增，

因为，要使得函数在区间上存在唯一零点，

则满足，解得，

所以实数的取值范围为.

21．已知集合，表示集合中的元素个数，当集合的子集满足时，称为集合的二元子集. 若对集合的任意个不同的二元子集，均存在对应的集合满足：①；②；③，则称集合具有性质.

(1)当时，若集合具有性质，请直接写出集合的所有二元子集以及的一个取值；

(2)当时，判断集合是否具有性质？并说明理由；

(3)当时，若集合具有性质，求的最小值.

【答案】(1)答案见解析

(2)不具有，理由见解析

(3)

【分析】（1）根据集合A具有性质的定义即可得出答案；

（2）当时，利用反证法即可得出结论；

（3）首先利用反证法证明，然后证明，当时，，再结合抽屉原理分析即可得出结论.

【详解】（1）集合的所有元素个数为2的子集有：，

满足题意的集合可以是：或或，此时 ，  

或者也可以是：，此时.

（2）集合不具有性质，理由如下：

反证法：假设存在集合，即对任意的，，

，   

则取，，，,（任意构造，符合题意即可），

此时由于，由抽屉原理可知，，，

与题设矛盾，假设不成立，因此集合不具有性质.

（3）首先证明，

反证法：假设，由集合具有性质，则存在集合，

对任意，，，

则取，，，···，

，，（任意构造，符合题意即可），

此时由于，由抽屉原理可知，，，

与题设矛盾，假设不成立，因此.

然后证明：，

当时，，由抽屉原理可知，

存在，

不妨设为，取，，

设，此时，

且，                 

故符合题意，综上可知.

【点睛】关键点点睛：此题对学生的抽象思维能力要求较高，特别是对数的分析，在解题时注意对新概念的理解与把握是解题的关键.