2022-2023学年北京市第二中学高二下学期期中考试数学试题含解析

这是一份2022-2023学年北京市第二中学高二下学期期中考试数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市第二中学高二下学期期中考试数学试题 一、单选题1．已知等差数列前9项的和为27，，则（    ）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根据等差数列的性质及求和公式可求，再根据等差数列的通项公式即可求解.【详解】设等差数列的公差为，因为，所以．又因为，所以．故选:C.2．已知双曲线C：的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据焦点坐标，可求得c的值，根据离心率，可求得a的值，根据b2＝c2－a2，可求得b的值，即可求得答案.【详解】根据右焦点为F2(5，0)，可得c＝5，又离心率为，所以a＝4，所以b2＝c2－a2＝9，所以双曲线方程为，故选：C.3．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.【详解】[方法一]：【最优解】无序从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况，故概率为.[方法二]：有序从6张卡片中无放回抽取2张，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况，其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为.故选：C.【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解；方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出； 4．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，，则，即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，不妨设点在轴上方，代入得，，所以.故选：B 5．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种【答案】B【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，故选：B 6．猜灯谜是中国元宵节特色活动之一．已知甲、乙、丙三名同学同时猜一个灯谜，每人猜对的概率均为，并且每人是否猜对相互独立在三人中至少有两人猜对的条件下，甲猜对的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】运用条件概率公式进行求解即可.【详解】设事件:三人中至少有两人猜对,事件:甲猜对,所以有，，因此，故选：A7．已知函数，则下列结论错误的是（    ）A．有两个极值点 B．有一个零点C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线【答案】D【分析】对于A选项，对求导后判断函数单调性，即可判断极值点个数；对于B选项，结合A选项求解的函数单调性和极值点的值，根据零点存在定理可判断零点个数；对于C选项利用函数平移，构造，判断的奇偶性，进一步得到对称中心；对于D选项，根据条件直接求出切线方程即可判断结果；【详解】对于A选项，由，定义域为，可得，令，可得，因为，得或，，得，即在单调递减，在，单调递增，即是有极大值点，是有极小值点，故A选项正确；对于B选项，由A可知极大值为，极小值，，由在单调递增和零点存在定理可知，在存在1个零点，因为在单调递减和单调递增，极小值，所以在恒大于0，所以有一个零点，故B选项正确；对于C选项，可设，得，则为奇函数，所以图像关于对称，将向上平移1个单位可得，故函数关于对称，故C选项正确；对于D选项，由A知，令，解得，则，，所以切线方程为和，即和，故D选项错误；故选：D8．函数在区间的最小值、最大值分别为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.【详解】，所以在区间和上，即单调递增；在区间上，即单调递减，又，，，所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：D 9．若曲线的一条切线为，其中，为正实数，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据已知求出，，再利用基本不等式求解.【详解】设切点为，则有，∵，∴，，（当且仅当时取等）故选：A【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．已知是各项均为正整数的数列，且，，对，与有且仅有一个成立，则的最小值为（    ）A．18 B．20 C．21 D．23【答案】B【分析】令，由题设易知或有一项为1，则，判断各项取值情况，进而求的最小值.【详解】当满足时，，令，则或有一项为1，而，∴，又是各项均为正整数的数列，∴，，，，此时的最小值为，当满足时，，，，，，，时，，因为，所以的最小值为20.故选:B. 二、填空题11．设随机变量，，则________．【答案】/【分析】随机变量，得到曲线关于对称，根据曲线的对称性和概率之和为1可得得结果．【详解】因为随机变量，所以曲线关于对称，故.故答案为：.12．在甲，乙，丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有8%，6%，4%的人患了流感.若这三个地区的人口数的比为5：3：2，现从这三个地区中任意选取一个人，这个人患流感的概率是______.【答案】/0.066【分析】患流感的人可能来自三个地方，利用条件概率公式求解.【详解】设事件B为此人患流感，，，分别代表此人来自甲，乙，丙三个地区，根据题意可知：，，，，，，.故答案为：13．已知离散型随机变量X的分布列如下表：0123 若离散型随机变量，则________．【答案】/【分析】先求出随机变量的概率，再求出，最后根据性质求出即可.【详解】设随机变量的概率为：，则，所以，由，所以，故答案为：.14．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是________．【答案】【分析】由有两个极值点可得有两个不同的实数根，令，用导数研究的图像即可求解【详解】由题意，有两根，且两根的两边导函数值异号，又，令，则有两个不同的实数根，令，则，令有，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.且当时，当时，且，，故作出图象.可得当有两根时故答案为：15．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为______．【答案】【详解】如下图，连接DO交BC于点G，设D，E，F重合于S点，正三角形的边长为x(x>0)，则.， ，三棱锥的体积.设，x>0，则，令，即，得，易知在处取得最大值.∴.点睛:对于三棱锥最值问题，需要用到函数思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导的方式进行解决. 三、解答题16．已知数列为等差数列，数列为等比数列，，，，(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前n项和为；【答案】(1)，；(2). 【分析】（1）先根据等差数列的通项公式求出的公差和首项，再根据等比数列的通项公式求出公比，由等差数列与等比数列的通项公式即可求解；（2）根据分组求和法结合等差与等比数列的求和公式求解.【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为，由题意可得，,故,解得.又，,所以，.故数列的通项公式为，的通项公式为.（2）由（1）得，所以.17．小明同学两次测试成绩(满分100分)如下表所示： 语文数学英语物理化学生物第一次879291928593第二次829495889487（1）从小明同学第一次测试的科目中随机抽取1科，求该科成绩大于90分的概率；（2）从小明同学第一次测试和第二次测试的科目中各随机抽取1科，记X为抽取的2科中成绩大于90分的科目数量，求X的分布列和数学期望；（3）现有另一名同学两次测试成绩(满分100分)及相关统计信息如下表所示： 语文数学英语物理化学生物6科成绩均值6科成绩方差第一次第二次将每科两次测试成绩的均值作为该科的总评成绩，这6科总评成绩的方差为.有一种观点认为：若，则.你认为这种观点是否正确？(只写“正确”或“不正确”)【答案】（1）（2）分布列见解析，（3）不正确【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得结果；（2）计算出的各个取值的概率可得分布列，根据期望公式计算可得数学期望；（3）根据方差公式计算，结合比较可得答案.【详解】（1）共有6科成绩，其中成绩大于90分的有数学、英语、物理和生物共4科，所以从小明同学第一次测试的科目中随机抽取1科，该科成绩大于90分的概率为.（2）的所有可能取值为：0，1，2，，，，所以X的分布列为：012数学期望.（3）设，则，则，同理可得，，因为，所以，所以的符号不确定，所以与无法比较大小，，所以，故这种观点不正确.【点睛】关键点点睛：掌握求离散型随机变量的分布列的步骤和数学期望公式是解题关键.18．如图，在四棱锥中，，，，，平面平面.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）在棱上是否存在一点E，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在；【分析】（1）由线面平行判定定理证明即可；（2）由勾股定理得出，进而得，再由面面垂直的性质定理即可证明平面；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】证明：（1）因为，平面，平面，所以平面.（2）取的中点N，连接.在直角梯形中，易知，且.在中，由勾股定理得.在中，由勾股定理逆定理可知.又因为平面平面，且平面平面，所以平面.（3）取的中点O，连接，.所以，因为平面，所以平面.因为，所以.如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，.易知平面的一个法向量为.假设在棱上存在一点E，使得二面角的大小为.不妨设（），所以，设为平面的一个法向量，则 即令，，所以.从而.解得或.因为，所以.由题知二面角为锐二面角.所以在棱上存在一点E，使得二面角的大小为，此时.【点睛】本题主要考查了证明线面平行，线面垂直以及由面面角求其他量，属于中档题.19．已知函数．(1)时，求函数在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)证明不等式恒成立．【答案】(1)(2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.(3)证明见解析. 【分析】（1）求出切点坐标，用导数的几何意义求出切线斜率即可求解；（2）求出导函数后对的值进行分情况讨论即可求；（3）用切线不等式可证得结果.【详解】（1）时，，依题意切点坐标为，，所以函数在处的切线的斜率为，故函数在处的切线方程为，即.（2）的定义域为，，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令，得，时，，单调递增，时，，单调递减.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（3）要证恒成立，即证恒成立，令，，由（2）可知，在上单调递增，在上单调递减，所以恒成立，即有时恒成立，当且仅当时取“=”号，亦有即恒成立，当且仅当，即时取“=”号.所以一方面，当且仅当，即时取“=”号，另一方面恒成立，当且仅当时取“=”号，所以恒成立，原不等式得证.20．已知椭圆的右顶点，离心率．(1)求曲线C的方程；(2)设斜率为k的直线l交x轴于T，交曲线C于A，B两点，是否存在k使得为定值，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在， 【分析】（1）根据椭圆顶点坐标及离心率求出，可得出椭圆标准方程；（2）设直线：，联立椭圆方程，由韦达定理及两点间距离公式写出，观察式子可知当时即可.【详解】（1）因为椭圆右顶点，所以，又，所以，所以，所以椭圆方程为.（2）假设存在k，则k≠0，设，设直线：，如图，  由，化简得，，，为定值，所以，所以，所以.21．对于给定的奇数 ，设是由个数组成的行列的数表，数表中第行，第列的数，记为的第行所有数之和，为的第列所有数之和，其中.对于，若且同时成立，则称数对为数表的一个“好位置”  1001010(Ⅰ)直接写出右面所给的数表的所有的“好位置”；(Ⅱ)当时，若对任意的 都有成立，求数表中的“好位置”个数的最小值.(Ⅲ)求证：数表中的“好位置”个数的最小值为．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）最小值为【分析】（Ⅰ）根据题中条件，直接列举出结果； (Ⅱ)先由题意，确定，再确定“好位置”的数个数最小值，最后列举，即可得出结果. （Ⅲ）同(Ⅱ)结合对称性确定“好位置”的数个数最小值，再通过列举，证得结论.【详解】（Ⅰ）“好位置”有： （Ⅱ）因为对于任意的，；所以当时，，当时，；因此若为“好位置”，则必有，且 ，即                  设数表中共有个，其中有列中含的个数不少于，则有列中含的个数不多于，所以，，因为为自然数，所以的最小值为 因此该数表中值为，且相应位置不为“好位置”的数个数最多不超过所以，该数表好位置的个数不少于个                而下面的数表显然符合题意1110011100110101100110011此数表的“好位置”的个数恰好为 综上所述，该数表的“好位置”的个数的最小值为（Ⅲ） 当为“好位置”时，且时，则有，所以，注意到为奇数，，所以有同理得到                                  当为“好位置”，且时，则，则必有，注意到为奇数，，所以有同理得到                                       因为交换数表的各行，各列，不影响数表中“好位置”的个数，所以不妨设            其中，则数表可以分成如下四个子表    其中是行列，是行列，是行列，是行列设，，，中的个数分别为则，，，中的个数分别为则数表中好位置的个数为个而  ， 所以 所以 而  显然当取得最小值时，上式取得最小值，因为，所以当时，数表中至少含有个，而，所以至少为此时当时，数表中至少含有个而，所以至少为此时下面的数表满足条件，其“好位置”的个数为【点睛】本题主要考查合情推理，结合题中所给条件，逐步分析即可，属于常考题型，难度较大.