2022-2023学年北京市第十四中学高二下学期期中测试数学试题含解析

这是一份2022-2023学年北京市第十四中学高二下学期期中测试数学试题含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市第十四中学高二下学期期中测试数学试题 一、单选题1．在等差数列中，若，，则（    ）A．6 B．8 C．16 D．32【答案】B【解析】先求出公差，再利用等差数列的通项公式可得答案.【详解】因为等差数列中，，，所以公差，，则，故选：B.2．与的等比中项是（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等比中项定义直接求解即可.【详解】设为与的等比中项，则，解得：.故选：C.3．下图是函数的图象，函数在区间，上的平均变化率分别为，，则，的大小关系是（    ）A． B． C． D．无法确定【答案】B【分析】根据平均变化率定义直接计算即可.【详解】由题可知，，，所以.故选：B4．设等比数列{an}的前n项和是Sn，a2＝﹣2，a5＝﹣16，则S6＝（　　）A．﹣63 B．63 C．﹣31 D．31【答案】A【解析】由已知结合等比数列的通项公式可求出公比和首项，结合等比数列的求和公式即可求出.【详解】解：设公比为，则，即，解得，所以，所以，故选:A.5．下列求导运算正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用常见函数的导数，对选项进行逐一求导即可.【详解】选项A. ,故选项A不正确.选项B. ,故选项B不正确.选项C. ,故选项C不正确.选项D. ,故选项D正确.故选：D6．已知数列中，，是数列的前项和，则最大值时的值为（   ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】首先表示出，再根据二次函数的性质计算可得；【详解】解：因为，所以所以当时取最大值，且；故选：B7．口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为（    ）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.75【答案】C【分析】求出第一次取得红球的事件、第一次取红球第二次取白球的事件概率，再利用条件概率公式计算作答.【详解】记“第一次取得红球”为事件A，“第二次取得白球”为事件B，则，，于是得，所以在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为0.6.故选：C8．等比数列各项均为正数，且，，成等差数列，则（    ）A． B．C． D．或【答案】C【分析】根据条件，运用等比数列公式求解.【详解】设等比数列的首项为，公比为，则有 ，成等差数列，，即或（舍）， ；故选：C.9．已知等比数列的公比为q，则“”是“”的（    ）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据充分必要条件的定义求解.【详解】如果 ，比如 ，则 ，即不能推出，不是充分条件；如果 ，比如也满足上式，即不能推出 ，不是必要条件；故选：D.10．用数学归纳法证明时，由到时，不等式左边应添加的项是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别写出不等式在n＝k，n＝k+1时的式子，两式相减，即可得到所求结论．【详解】当n＝k时，有不等式，当n＝k+1时，不等式为，将上面两式的左边相减可得，由n＝k到n＝k+1时，不等式左边应添加的项是.故选：D【点睛】本题考查数学归纳法的运用，考查由n＝k到n＝k+1时，不等式的左边的变化，考查运算能力，属于基础题．11．对于数列，，，，则（    ）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】根据递推公式，先求出的周期，再求出即可.【详解】由题意， ， ，所以数列是周期为6的周期数列， ，；故选：A.12．原始的蚊香出现在宋代．根据宋代冒苏轼之名编写的《格物粗谈》记载：“端午时，贮浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫．”如图，为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”，画法如下：在水平直线上取长度为的线段，做一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点，以此类推，当得到的“螺旋蚊香”与直线恰有个交点时，“螺旋蚊香”的总长度的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据画圆弧的规律：分别以、、为圆心，抽象半径长度的数列，明确圆弧与直线的交点情况，再根据当“螺旋蚊香”与直线恰有个交点时，若使“螺旋蚊香”的总长度最小，确定数列的项数，求得最后圆弧的半径即可.【详解】当以为圆心，半径为：、、、、除起点外，与直线无交点，①，当以为圆心，半径为：、、、、与直线有一个交点，②，当以为圆心，半径为：、、、、除终点（即①的起点，点除外）外，与直线无交点，③，所以当“螺旋蚊香”与直线恰有个交点时，若使“螺旋蚊香”的总长度最小，则完成整数个循环，所以以为圆心的弧与直线只有交点，以为圆心的弧与直线有个交点，以为圆心的弧与直线有个交点，即数列②有项，数列③有项，所以最后一个圆弧的半径为，所以“螺旋蚊香”的总长度的最小值为.故选：B. 二、填空题13．曲线在点处的切线斜率________．【答案】3【分析】求导，根据导数的几何意义求解.【详解】，当时， ，即在点处切线的斜率为3；故答案为：3.14．等差数列的前项和为，已知，，则=______________.【答案】14【分析】应用等差数列前n项和公式可得，结合已知即可求.【详解】由，可得.故答案为：1415．甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，目标至少被命中1次的概率为________．【答案】0.8/【分析】先求两次都未命中目标的概率，然后由对立事件的概率公式可得.【详解】记事件A：两次都未命中目标.则所以目标至少被命中1次的概率为.故答案为：0.8 三、双空题16．离散型随机变量的分布列如下表所示，________，________．01Pp 【答案】          【分析】先利用分布列的性质求出，然后由数学期望和方差的计算公式求解即可．【详解】解：由题意可得，，则，所以，．故答案为：；． 四、填空题17．已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前n项积，则的最大值为______．【答案】/1024【分析】先求出的通项公式，先研究的，利用函数的性质即可求得最值，以及取得最值时的值，在求乘积.【详解】因为数列为等比数列，，公比，所以，所以，先考虑时，当时，最大，即 ，解得：，所以，当或时，最大， ，当时，，所以则的最大值为.故答案为：18．设数列的前n项和为，若存在实数A，使得对于任意的，都有，则称数列为“T数列”．则以下为“T数列”的是________．①数列是等差数列，且，公差；②数列是等比数列，且公比q满足；③；                     ④若，．【答案】②③【分析】对于①②③④中的数列，分别求前项和，判断是否存在实数，使得对任意的，都有，即可判断该数列是否为“数列”，即可得正确答案.【详解】对于①：是等差数列，且，公差，由等差数列的前项和公式可得：，当无限大时，也无限大，所以数列不是 “数列”，故①不正确；对于②：若是等比数列，且公比满足；所以，满足“数列”的定义，故②正确；对于③：，所以，则数列是“数列”，故③正确；对于④：在数列中，，，当是奇数时，，数列中的奇数项构成常数列，且各项都是，当是偶数时，，即任意两个连续偶数和为，当时，，所以不是“数列”，综上所述为“数列”的是：②③，故答案为：②③ 五、解答题19．某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析； 【分析】（1）利用组合的知识计算出基本事件总数和满足题意的基本事件数，根据古典概型概率公式求得结果；（2）确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可计算出每个取值对应的概率，进而得到分布列和数学期望.【详解】（1）名同学中，会法语的人数为人，从人中选派人，共有种选法；其中恰有人会法语共有种选法；选派的人中恰有人会法语的概率.（2）由题意可知：所有可能的取值为，；；；；的分布列为：数学期望为20．已知数列中，，且满足___________.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.从①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）答案见解析，（2）答案见解析【分析】（1）若选①，则可得数列是以2为公比的等比数列，从而可求出其通项，若选②，则数列是以2为公差的等差数列，从而可求出其通项，若选③，则可知数列为常数数列，且，（2）若选①，则利用等比数列求和公式求，若选②或③，则利用分组求和法求【详解】解：（1）若选①，由，得，因为，所以数列是以2为公比，1为首项的等比数列，所以，若选②，因为，，所以数列是以2为公差，1为首项的等差数列，所以，若选③，因为，，所以，（2）若选①，则由（1）得，则，若选②，则由（1）得，则，，，，若选③，则由（1）得，则，，，，21．2023年春节档有多部优秀电影上映，其中《流浪地球》是比较火的一部．某影评网站统计了100名观众对《流浪地球》的评分情况，得到如下表格：评价等级★★★★★★★★★★★★★★★分数0~2021~4041~6061~8081~100人数5212675(1)根据以上评分情况，试估计观众对《流浪地球》的评价在四星以上（包括四星）的频率；(2)以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立．（ⅰ）若从全国所有观众中随机选取3名，求恰有2名评价为五星1名评价为一星的概率；（ⅱ）若从全国所有观众中随机选取5名，记评价为五星的人数为，求的数学期望和方差．【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ），. 【分析】（1）从表格中找出评价为四星和五星的人数之和，再除以总数可得出所求频率；（2）（ⅰ）记事件恰有2名评价为五星1名评价为一星，然后利用独立重复试验的概率可求出事件的概率；（ⅱ）由题意得出，然后利用二项分布的方差公式可得出、的值．【详解】（1）由给出的数据可得，评价为四星的人数为，评价为五星的人数是，故评价在四星以上(包括四星)的人数为， 故可估计观众对《流浪地球》的评价在四星以上(包括四星)的频率为；（2）(i)依题意评价为五星的概率为，评价为一星的概率为，记“恰有2名评价为五星1名评价为一星”为事件，则；（ⅱ）由题可知，故，.22．已知数列的前n项和为,（n∈N*）．（1）证明数列是等比数列，求出数列的通项公式；（2）数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出一组符合条件的项；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析，；(2)不存在【分析】(1)由可求出、以及，即可证明数列是等比数列，进而写出的通项公式；(2)假设数列中存在三项构成等差数列：，、、，由等差中项性质，结合(1)的通项公式有即出现矛盾，即不存在【详解】(1)当时，，即当时，，即所以数列是首项为6，公比为2的等比数列∴数列的通项公式为(2)若存在，令，、、三项成等差数列∴，即，∵，即，且、∴是偶数，而是奇数，故不成立故数列中不存在三项构成等差数列【点睛】本题考查了利用与的关系式求数列通项公式，注意时，求通项公式时需要验证是否也符合公式；应用等差中项的性质证法证明数列中三项构成等差数列的存在性.23．若集合（）满足：对任意（），均存在（），使得，则称具有性质．(1)判断集合，是否具有性质；（只需写出结论）(2)已知集合（）具有性质．（）求；（）证明：．【答案】(1)集合具有性质；集合不具有性质；(2)（）；（）证明见解析. 【分析】(1)判断集合是否具有性质P，只要找出一个反例就可以说明不具备性质P；(2)（）由积为零，可以得到至少有一个因式为零；（）找出与的关系即可.【详解】（1）集合具有性质；集合不具有性质，只需要找到一个反例即可，如 ．（2）（）取，由题知，存在（），使得成立，即，又，故必有．又因为，所以．（）由（）得，当时，存在（）使得成立，又因为，故，即．所以．又，所以，故，相加得：，即．