2022-2023学年福建省莆田第一中学高二下学期期中考试数学(B卷)试题含解析
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这是一份2022-2023学年福建省莆田第一中学高二下学期期中考试数学(B卷)试题含解析,共20页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,双空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省莆田第一中学高二下学期期中考试数学(B卷)试题 一、单选题1.甲、乙两个元件构成一并联电路,设E=“甲元件故障”,F=“乙元件故障”,则表示电路故障的事件为( )A.EF B.EF C.E D.【答案】B【分析】根据并联电路可得答案.【详解】因为甲、乙两个元件构成一并联电路,所以只有当甲、乙两个元件都故障时,才造成电路故障,所以表示电路故障的事件为.故选:B2.在和两数之间插入个数,使它们与组成等差数列,则该数列的公差为( )A. B.C. D.【答案】A【分析】根据题意结合等差数列性质运算求解. 【详解】在和两数之间插入个数,使它们与组成等差数列,则这个数列共有项,设该数列的公差为,则.故选:A. 3.已知某运动员每次射击击中目标的概率为.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数,指定0,1表示没有击中目标,表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:根据以上数据估计该射击运动员射击4次,至少击中3次的概率为( )A.0.8 B.0.75 C.0.7 D.0.65【答案】B【分析】由题设模拟数据确定击中目标至少3次的随机数组,应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】在20组随机数中含中的数至少3个(含3个或4个),共有15组,即模拟结果中射击4次至少击中3次的频率为.据此估计该运动员射击4次,至少击中3次的概率为0.75.故选:B. 4.某单位入职面试中有三道题目,有三次答题机会,一旦某次答对抽到的题目,则面试通过,否则就一直抽题到第3次为止.若求职者小王答对每道题目的概率都是,则他最终通过面试的概率为( )A. B. C. D.【答案】C【分析】分为三种情况:第一次通过,第二次通过,第三次通过,结合相互独立事件概率乘法公式求解.【详解】由题意知,小王最终通过面试的概率为.故选:C.5.已知双曲线的左焦点为,过点作双曲线的一条渐近线的垂线(垂足为)交另一条渐近线于点,则线段的长度为( )A.1 B. C.2 D.【答案】B【分析】根据已知可推得双曲线的渐近线为,进而得出,即可推得.然后列出直线的方程为,求出点到直线的距离,根据勾股定理得出,即可得出答案.【详解】由已知可得,,,,所以双曲线的渐近线为,所以,所以,所以是线段的垂直平分线,所以.因为,,所以,直线的方程为,即,所以,所以,,所以.故选:B.6.设分别为椭圆的左、右焦点,点在上,若,,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【答案】C【分析】设,根据题意和椭圆的定义求得,得到,利用勾股定理,得到在直角中,列出方程求得,结合离心率的定义,即可求解.【详解】如图所示,设,因为且,则,由椭圆的定义可得,即,又由,所以,所以,可得,所以在直角中,可得,即,得,所以椭圆的离心率为.故选:C.7.如图1所示,抛物面天线是指由抛物面(抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面)反射器和位于焦点上的照射器(馈源,通常采用喇叭天线)组成的单反射面型天线,广泛应用于微波和卫星通讯等领域,具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面,A,B两点关于抛物线的对称轴对称,F是抛物线的焦点,∠AFB是馈源的方向角,记为,焦点F到顶点的距离f与口径d的比值称为抛物面天线的焦径比,它直接影响天线的效率与信噪比等.如果某抛物面天线馈源的方向角满足,,则其焦径比为( )A. B. C. D.【答案】C【分析】建立直角坐标系,设抛物线的标准方程为:,,,代入抛物线方程可得,根据,解得与的关系,即可得出.【详解】如图所示,建立直角坐标系,设抛物线的标准方程为:,,,代入抛物线方程可得:,解得,由于,得或(舍)又,化为:,解得或(舍).故选:C.8.在编号分别为的n名同学中挑选一人参加某项活动,挑选方法如下:抛掷两枚骰子,将两枚骰子的点数之和除以n所得的余数如果恰好为i,则选编号为i的同学.下列哪种情况是不公平的挑选方法( )A. B. C. D.【答案】C【解析】首先求出两枚骰子的点数之和可能的取值对应的概率,再分别讨论四个选项中的取值对应的余数的概率,若每一个余数的概率都相等则是公平的,若不相等则不公平,即可得正确选项.【详解】由题意知两枚骰子的点数之和为,则可能为,, ,,,,,,,,,对于选项A:时,,,所以是公平的,故选项A不正确;对于选项B:时,,,,,所以是公平的,故选项B不正确;对于选项C:时,,,,因为概率不相等,所以不公平,故选项C正确;对于选项D:时,,,,,,,所以是公平的,故选项D不正确,故选:C【点睛】关键点点睛:本题解题的关键点是理解题意,对于所给的值的每一个余数出现的概率相等即为公平,不相等即为不公平. 二、多选题9.设,是两个随机事件,则下列说法正确的是( )A.表示两个事件至少有一个发生B.表示两个事件至少有一个发生C.表示两个事件均不发生D.表示两个事件均不发生【答案】ACD【分析】根据随机事件的表示方法,逐项判断即可.【详解】因为,是两个随机事件,所以表示两个事件至少有一个发生,故A正确;表示两个事件恰有一个发生,故B错误;表示两个事件均不发生,故C正确;表示两个事件均不发生,故D正确.故选:ACD.10.某班级体温检测员对一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计,其结果如图所示,则下列说法正确的有( )A.乙同学体温的极差为B.乙同学体温的众数为,中位数与平均数相等C.甲同学的体温比乙同学的体温稳定D.甲同学体温的第70百分位数为【答案】AB【分析】求出乙同学体温的极差即可判断A,将乙同学体温数据从小到大排列,得到众数、平均数、中位数,即可判断B,根据折线图判断C,根据百分位数计算规则判断D;【详解】对于A,乙同学体温的极差为,故A正确;对于B:乙同学的体温从低到高依次为,故众数为,中位数为,平均数为,故B正确;对于C:从折线图上可以看出,乙同学的体温比甲同学的体温稳定,故C错误;对于D:甲同学的体温从低到高依次为,由,可知数据的第百分位数为第项数据,故D错误.故选:AB11.抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子,记下骰子朝上面的点数.用表示红色骰子的点数,用表示绿色骰子的点数,用表示一次试验的结果.定义事件:“”,事件“为奇数”,事件“”,则下列结论正确的有( )A.与互斥但不对立 B.与对立C.与相互独立 D.与相互独立【答案】AC【分析】由已知得出样本空间包含的样本点的个数为个,列举得出事件包含的样本点,然后根据互斥对立事件的概念以及相互独立,即可得出答案.【详解】由已知可得,样本空间包含的样本点的个数为个.由题可知,“”,“奇数”,“”,对于A、B项,事件包含的样本点有,,,,,,共6个,所以.事件包含的样本点有,,,,,,,,,共9个,所以.所以与互斥但不对立,故A正确,B错误;事件包含的样本点有,,,,,,,,,,,,,,,,,,共18个,所以.事件包含的样本点有,,,共3个,所以,,所以,所以与独立,故C正确;对于D项,事件包含的样本点有,,,共3个,所以,,所以,故D项错误.故选:AC.12.已知抛物线的焦点为,准线交轴于点,直线过且交于不同的两点,且,下列命题正确的有( )A.直线的斜率B.若,则C.若,则D.存在使得平分【答案】ACD【分析】A选项,由判别式可判断选项正误;B选项,由抛物线定义结合可判断选项正误;C选项,如图,过A,B作准线垂线,垂足为,由抛物线定义结合可判断选项正误;D选项,方法1,通过证明,可得,即可得坐标,后由抛物线定义可求得;方法2,设 关于轴的对称点为,通过说明三点共线,可得,后同方法1;方法3,由角平分线定理结合抛物线定义可得,后同方法1;方法4,利用结合,可得,即可得,后同方法1.【详解】由题可得,.设方程为:,,将直线与抛物线方程联立:,消去x得:.由题:,又由韦达定理知:.A选项,由题可得或,则,故A正确;B选项,由抛物线定义可知:,则,得.故B错误;C选项,如图,过A,B作准线垂线,垂足为,因,则,又,则.故C正确.选项D,方法1:如图,过作x轴垂线,垂足为N,M.则,又所以.注意到:,则.则,即存在满足题意,故D正确;方法2:设 关于轴的对称点为,则.注意到:,则三点共线,所以,其余同方法1;方法3:若平分,则由角平分线定理可得,所以,又,.即,下同方法1;方法4:只需,即,注意到,,则,解得或3(舍去),后同方法1.故选:ACD【点睛】关键点睛:应难以直接用坐标表示角度,故角平分线条件常通过角平分线定理,相似,三角函数等转化为与长度,特殊角度相关的条件. 三、填空题13.有5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5从这5张卡片中随机抽取2张,那么取出的2张卡片上的数字之积为偶数的概率为_________.【答案】【分析】写出基本事件个数,再利用古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】从数字标为1,2,3,4,5的5卡片中随机抽取2张,抽取的结果如下:,共有种,其中乘积为偶数的有,共有种,所以取出的2张卡片上的数字之积为偶数的概率为.故答案为:【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式、写基本事件个数,属于基础题.14.袋子中有6个大小质地相同的球,其中3个红球,3个黄球,从中不放回随机取出3个球,则概率大于0且与事件“至多取出一个黄球”互斥不对立的事件可以是__________.【答案】取出2个黄球(答案不唯一)【分析】事件“至多取出一个黄球”互斥不对立的事件,即可得出概率大于0且与事件“至多取出一个黄球”互斥不对立的事件.【详解】由题意,6个球,3个红球,3个黄球,不放回随机取三球,事件“至多取出一个黄球”的对立事件为“至少取出2个黄球”,所以概率大于0且与事件“至多取出一个黄球”互斥不对立的事件可以是“取出2个黄球”或“取出3个黄球”.故答案为:取出2个黄球(答案不唯一). 四、双空题15.在平面直角坐标系中,点满足,则动点的运动轨迹方程为__________;的最小值为__________.【答案】 【分析】设出,由题意列出方程组,化简即可得到点的轨迹方程;【详解】设,由题意可得,整理得,故动点的运动轨迹方程为,如图所示,点的轨迹为以为圆心,为半径的圆,点在圆内部,所以,当且仅当在线段上时等号成立,所以的最小值为,故答案为:; 五、填空题16.若已知30个数的平均数为6,方差为9;现从原30个数中剔除这10个数,且剔除的这10个数的平均数为8,方差为5,则剩余的20个数的方差为___________.【答案】【分析】根据方差定义结合已知条件分析求解【详解】由题意得,,,,所以剩余的20个数的平均数为,,所以剩余的20个数的方差为,故答案为:8 六、解答题17.设等比数列的前项和为,已知,.(1)求数列的通项公式;(2)设,数列的前项和为,求.【答案】(1);(2)【解析】(1)根据,,利用“”法求解.(2)根据,利用分组求和法求解.【详解】(1)由,显然公比.所以解得,所以,,所以.(2)因为所以.【点睛】本题主要考查等比数列的基本运算以及分组求和法求和,还考查了运算求解的能力,属于中档题.18.树人中学为了学生的身心健康,加强食堂用餐质量(简称“美食”)的过程中,后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度,若学生认可系数不低于0.85,“美食”工作按原方案继续实施,否则需进一步整改.为此该部门随机调查了600名学生,根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分,分成,,,,五组,得到如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中的值和第60百分位数;(2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因,该部门从评分低于80分的学生中用分层抽样的方法随机选取30人进行座谈,求应选取评分在的学生人数;(3)根据你所学的统计知识,结合认可系数,判断“美食”工作是否需要进一步整改,并说明理由.【答案】(1),85(2)10人(3)“美食”工作需要进一步整改,理由见解析 【分析】(1)根据频率分布图,求得.然后推得第60百分位数位于区间内,即可根据第百分位数的求法,得出答案;(2)根据分层抽样,即可求得评分在的学生人数;(3)根据频率分布直方图,即可求得平均数,进而得出答案.【详解】(1)由图可知:,解得.因为,内的频率为,内的频率为,所以,第60百分位数位于区间内,设为,则,所以,第60百分位数为85.(2)低于80分的学生中三组学生的人数比例为,则应选取评分在的学生人数为:(人).(3)由图可知,认可程度平均分为:,所以,“美食”工作需要进一步整改.19.已知函数在处取得极值.(1)求实数的值;(2)当时,求函数的值域.【答案】(1);(2).【分析】(1)由题意得,代入求值即可得答案;(2)根据导数研究函数的单调性与极值,求端点函数值,从而求出函数的值域.【详解】(1),函数在处取得极值,所以有即,解得.(2)由(1)可知:,所以,当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,故函数在处取得极大值,因此,,,故函数的值域为.20.在平面直角坐标系中,动点到的距离与它到直线的距离之比为2,记的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)过的直线交曲线于两点(均位于轴右侧),关于原点的对称点为,求的面积的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】(1)根据已知可得,化简整理即可得出答案;(2)设出直线的方程为.联立直线与双曲线的方程可得,进而根据韦达定理得出坐标之间的关系,以及的取值范围.进而表示出,换元可得,即可根据的取值范围得出答案.【详解】(1)设点,依题意有,即,化简得.(2)设,,由题意,直线的斜率不为0,设直线的方程为,联立直线与双曲线的方程,整理可得, 则,.由已知可得,,所以,所以.又,所以.设,则,且,所以.,当时,该式有最小值,所以的面积的取值范围是.21.甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.已知在每场比赛中,甲胜乙和甲胜丙的概率均为,乙胜丙的概率为,各场比赛的结果相互独立.经抽签,第一场比赛甲轮空.(1)求前三场比赛结束后,丙被淘汰的概率;(2)求只需四场比赛就决出冠军的概率.【答案】(1)(2) 【分析】(1)设事件为甲胜乙,为甲胜丙,为乙胜丙,然后得出丙被淘汰可用事件,根据互斥事件的概率公式以及事件的独立性,即可得出答案;(2)分最终的冠军为甲,乙,丙,分别求解出概率,然后根据互斥事件的概率公式,即可得出答案.【详解】(1)记事件为甲胜乙,则,则,事件为甲胜丙,则,,事件为乙胜丙,则,.则丙被淘汰可用事件来表示,所以,前三场比赛结束后,丙被淘汰的概率为.(2)若最终的冠军为甲,则只需四场比赛就决出冠军可用事件来表示,;若最终的冠军为乙,则只需四场比赛就决出冠军可用事件来表示,;若最终的冠军为丙,则只需四场比赛就决出冠军可用事件来表示,.所以,只需四场比赛就决出冠军的概率为.22.已知椭圆,设过点的直线交椭圆于两点,交直线于点,点为直线上不同于点的任意一点.(1)求的最小值;(2)记直线的斜率分别为,问是否存在的某种排列(其中),使得成等差数列或等比数列?若存在,写出结论,并加以证明;若不存在,说明理由.【答案】(1)(2)存在,或成等差数列,证明见解析 【分析】(1)设点,由,利用二次函数性质求解;(2)设点,①若直线斜率为0,直接验证;②直线斜率不为0,设直线,则,与椭圆方程联立,结合韦达定理求解.【详解】(1)解:设点,其中,则,,当时,取最小值.(2)或成等差数列,证明如下:设点.①若直线斜率为0,则点,不妨令点,则,此时的任意排列均不成等比数列,或成等差数列.②直线斜率不为0,设直线,则点,由,得,故,因为,所以,,,所以或成等差数列,综合上述,或成等差数列.【点睛】方法点睛:利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:(1)设直线方程,设交点坐标为;(2)联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于(或)的一元二次方程,必要时计算;(3)列出韦达定理;(4)将所求问题或题中的关系转化为、(或、)的形式;(5)代入韦达定理求解.
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