2022-2023学年广东省佛山市荣山中学高二下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年广东省佛山市荣山中学高二下学期期中数学试题含解析，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省佛山市荣山中学高二下学期期中数学试题 一、单选题1．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的动漫书，第3层放有2本不同的地理书，从书架上任取1本书，不同的取法总数为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分类加法计算原理即可求解．【详解】根据题意可得从书架上任取1本书，有种不同的取法．故选：C．2．函数在R上可导，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用导数的定义求解作答.【详解】依题意，.故选：A3．从名同学中选出正、副组长各名，不同的选法总数为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】依次考虑正、副组长的人选，结合分步乘法计数原理可得结果.【详解】从名同学中选出正、副组长各名，则正组长有种选择，副组长有种选择，因此，不同的选法种数为种.故选：A.4．函数在处的瞬时变化率为，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函数的导数，利用导数的意义可求得实数的值.【详解】因为，则，因为函数在处的瞬时变化率为，则，解得.故选：D.5．下列函数中，既是奇函数，又在R上单调递增的函数有（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函数奇偶性排除选项AB；由定义域排除选项D；再求导判断单调性判断C作答.【详解】对于A，令，其定义域为R，而，即函数是偶函数，A错误；对于B，函数的定义域为R，是非奇非偶函数，B错误；对于C，令，其定义域为R，，即是奇函数，，当且仅当时取等号，因此函数在R上单调递增，C正确；对于D，函数的定义域为，不符合题意，D错误.故选：C6．已知是数列的前项和，，，数列是公比为的等比数列，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析可知数列的奇数项和偶数项分别成以为公比的等比数列，结合等比数列的求和公式可求得的值.【详解】因为数列是公比为的等比数列，则对任意的，，所以，，所以，数列的奇数项和偶数项分别成以为公比的等比数列，又因为，，则.故选：D.7．已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由得，两式相减得，把分别代入，用累乘法得，，再验证也成立，即可得到.【详解】由得，两式相减得: ,即，即，即，.所以，，，…，.相乘得：……，即，因为，所以，.当时，，所以.故选：B8．已知定义在上的函数满足，且，则的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由导数公式得出，从而得出函数的单调性，将不等式可化为，利用单调性解不等式即可.【详解】因为，所以函数在区间上单调递减，不等式可化为，即，解得.故选：A 二、多选题9．以下函数求导正确的有（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用基本初等函数的求导公式及运算法则即可逐一求导得出结论.【详解】, A正确；，常数的导数为0，B错误；，C错误；，D正确.故选：AD.10．在和之间插入（）个数，使这个数成等差数列，则该等差数列的公差可以是（    ）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根据给定条件，用n表示出等差数列的公差，再分析判断作答.【详解】依题意，这个等差数列的公差，当时，，B符合；当时，，A符合；显然不存在正整数n，使得取5和取3，CD不符合.故选：AB11．在正项等比数列中，公比为，已知，下列说法正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据给定条件，利用等比数列的通项公式及性质计算判断作答.【详解】正项等比数列的公比为，则，由，得，B正确；而，于是，即，A错误；而，则，C错误；由，得，即，因为，因此，显然，所以，解得，D正确.故选：BD12．若A，，，，五个人在某风景点前站成一排拍合照，则下列说法正确的是（    ）A．若A，，站在一起时，有12种不同的站法B．若A，不相邻时，有72种不同的站法C．若A在左边时，有60种不同的站法D．若A不站在最左边，不站最右边时，有78种不同的站法【答案】BCD【分析】利用捆绑法，可判断A的正误；根据插空法，可判断B的正误；根据全排列及对称性，可判断C的正误；先分析特殊元素（位置），再进行全排列，可判断D的正误，即可得答案.【详解】对于A：先将A，，排列，再看成一个元素，和剩余的2人，一共3个元素进行全排列，由分步原理可知共有种，所以A不正确；对于B：先将A，之外的3人全排列，产生4个空，再将A，两元素插空，所以共有种，所以B正确；对于C：5人全排列，而其中A在的左边和A在的右边是等可能的，所以A在的左边的排法有种，所以C正确；对于D：对A分两种情况：一是若A站在最右边，则剩下的4人全排列有种，另一个是A不在最左边也不在最右边，则A从中间的3个位置中任选1个，然后从除最右边的3个位置中任选1个，最后剩下3人全排列即可，由分类加法原理可知共有种，所以D正确．故选：BCD． 三、填空题13．已知，则______.【答案】【分析】根据排列数公式可得出关于的等式，分析可知且，即可解得的值.【详解】因为，则且，则，即，解得.故答案为：.14．设等差数列的前项和为，若，则_______.【答案】5【分析】由等差数列的前项和公式得到，再由等差中项的性质得到，即可得到.【详解】因为等差数列中，，所以，所以.故答案为：15．数列的前项和为_____________.【答案】【分析】利用错位相减法可求得.【详解】由题意，可得，①所以，②①②，可得，因此，.故答案为：.16．函数，则________.【答案】【分析】根据给定条件，利用导数的运算法则求出导数，再赋值计算作答.【详解】函数，求导得，于是，解得，即有，所以.故答案为： 四、解答题17．求下列函数的导函数：(1)；(2).【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用函数求导的除法法则运算即可；（2）利用函数求导的乘法法则运算即可；【详解】（1），（2）18．设等比数列的前项和为，公比，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和为.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用基本量法，即可求解.（2）利用分组求和即可求解.【详解】（1）解：，解得，；（2）                                                         .19．已知函数.(1)求这个函数的图像在处的切线方程；(2)求这个函数在上的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】(1)先求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，再用点斜式写出切线方程.(2)分别令导数大于0和小于0求出函数的单调性，从而得出函数在处取得最小值，把代入函数计算即可.【详解】（1）因为，所以，                          ，                                       所以所求切线方程为，即.（2）令解得，令解得，故函数在上的单调性为：在区间上单调递增，在区间上单调递减，    所以.20．已知数列满足，.(1)设，证明：是等差数列；(2)设数列的前项和为，求.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由等差数列的定义即可证明；（2）由（1）可算得，用裂项相消法即可求解【详解】（1）因为         所以数列是以1为公差的等差数列（2）因为，所以                       由得                                         故                                         所以，                                 21．已知函数．(1)若是的极大值点，求a的值；(2)若过点可以作曲线的三条切线，求a的取值范围．【答案】(1)3；(2). 【分析】（1）根据给定的极值点，求出a值，再验证即可作答.（2）设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，再构造函数，借助导数探讨三次函数有3个零点作答.【详解】（1），由解得或，当时，，由得或，由得，即在，上单调递增，在上单调递减，则函数在处取得极小值，不符合题意，舍去，当时，，由得或，由得，即函数在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，所以.（2）设过点作曲线的切线的切点为，则切线方程为，将点的坐标代入，整理得，令，依题意，有三个零点，，当时，在上单调递增，则只有一个零点，当时，由得或，由得，即在上递增，在上递减，函数在处取极大值，在处取极小值，而，则只有一个零点，当时，由得或，由得，即在上递增，在上递减，函数在处取极大值，在处取极小值，而，要使有三个零点，当且仅当，解得，所以a的取值范围是．22．已知数列满足，.(1)记，写出、，并求数列的通项公式；(2)求的前项和.【答案】(1)，，(2) 【分析】（1）利用数列的递推公式以及可写出、的值，推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式；（2）对分偶数和奇数两种情况讨论，在为偶数时，设，计算出的表达式，结合等差数列的求和公式可求得的表达式；在为奇数时，设，由可求得的表达式.综合可得出的表达式.【详解】（1）解：因为数列满足，，所以，，， ，即，                             所以，数列是公差为，首项为的等差数列，因此，.（2）当为偶数时，设，则，，所以，，此时，；当为奇数时，设，则，则.综上所述，.