2022-2023学年广东省广州市圆玄中学高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年广东省广州市圆玄中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（    ）

A．7 B．9 C．12 D．16

【答案】C

【分析】先确定从A地到C地有3种不同的走法，再确定从C地到B地有4种不同的走法，最后求从A地到B地不同的走法种数.

【详解】解：根据题意分两步完成任务：

第一步：从A地到C地，有3种不同的走法；

第二步：从C地到B地，有4种不同的走法，

根据分步乘法计数原理，从A地到B地不同的走法种数：种，

故选：C.

【点睛】本题考查分步乘法计数原理，是基础题.

2．已知函数的图象如图所示.设函数从－1到1的平均变化率为，从1到2的平均变化率为，则与的大小关系为（    ）

A． B． C． D．不能确定

【答案】C

【分析】根据平均变化率的计算公式即可得出结果．

【详解】记，，

由图易知，所以．

故选：C．

3．若数列满足：，且，则数列的前5项和为（    ）

A．7 B．10 C．19 D．22

【答案】D

【分析】根据题意求，进而可得结果.

【详解】根据题意可得：，

故前5项和为.

故选：D.

4．设函数的导函数为，若，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】对函数求导后，令即可求解.

【详解】因为，

所以，令，则，

解得：.

故选：C.

5．甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（    ）

A．24种 B．48种 C．72种 D．96种

【答案】C

【分析】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个，再安排乙丙2人，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧；安排在甲有3个位置的一侧，最后安排其余3人，综上可得答案.

【详解】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个安排有种方法，而甲站好后一边有2个位置，另一边有3个位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相邻，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧有种方法；安排在甲有3个位置的一侧有种方法，最后安排其余3人有种方法，综上，不同的排队方法有：种.

故选：C.

6．用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有（    ）种不同的涂色方案．

A．180 B．360 C．64 D．25

【答案】A

【分析】采用分步乘法计数原理进行分析即可.

【详解】第一步涂A，有种涂法，

第二步涂B，和A不同色，有种涂法，

第三步涂C，和AB不同色，有种涂法，

第四步涂D，和BC不同色，有种涂法，

由分步乘法技术原理可知，一共有种涂色方案，

故选：A.

7．已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到点的距离为，则点到原点的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由抛物线的定义，将抛物线上一点到焦点的距离转化为到准线的距离，列方程求出点的坐标，进而得出点到原点的距离．

【详解】抛物线的准线为，

由题意，设，，，，

则点P到原点的距离为，

故选：D

8．已知是定义在上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】构造函数，利用导数与函数单调性的关系即可求得.

【详解】由题意，构造函数，

则

因为不等式恒成立，

所以，即在上单调递增，

对于A选项，因为，即，即，故A选项错误

对于B选项，因为，即，即，故B选项正确

对于C选项，因为，即，即，故C选项错误

对于D选项，因为，即，即，故D选项错误

故选：B

二、多选题

9．定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（    ）

A．-3是的一个极小值点；

B．-2和-1都是的极大值点；

C．的单调递增区间是；

D．的单调递减区间是．

【答案】ACD

【解析】由导函数与单调性、极值的关系判断．

【详解】当时，，时，

∴是极小值点，无极大值点，增区间是，减区间是．

故选：ACD.

【点睛】本题考查导数与函数单调性、极值的关系，一定要注意极值点两侧导数的符号相反．

10．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（    ）

A．若任意选择三门课程，则选法种数为35

B．若物理和化学至少选一门，则选法种数为30

C．若物理和历史不能同时选，则选法种数为30

D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，则选法种数为20

【答案】ACD

【分析】A选项，直接利用组合知识进行求解；

B选项，分物理和化学选一门和物理、化学都选，两种情况下利用组合知识求出选法，求和即可；

C选项，先求出物理和历史同时选的选法，从而求出物理和历史不能同时选的选法；

D选项，只选物理，不选化学，只选化学，不选物理，物理、化学都选，三种情况下的选法求和即可.

【详解】对于A，选法种数为，故A正确．

对于B，若物理和化学选一门，其余两门从剩余的五门中选，有种选法；若物理和化学都选，剩下一门从剩余的五门中选，有种选法．故共有种选法，故B错误．

对于C，物理和历史同时选，有种选法，故不同时选的选法种数为，故C正确．

对于D，只选物理，不选化学，则历史也不选，有种选法；只选化学，不选物理，有种选法；若物理、化学都选，则历史不选，有种选法．故共有种选法，故D正确．

故选：ACD．

11．在的展开式中,下列说法正确的是(   )

A．常数项是 B．第四项和第六项的系数相等

C．各项的二项式系数之和为 D．各项的系数之和为

【答案】AC

【分析】根据二项式定理,的通项公式为,对于A,令进行判断;对于B,令和计算判断即可;对于C,因为,所以各项的二项式系数之和为可进行判断;对于D,令即可进行判断.

【详解】根据二项式定理,的通项公式为,

对于A,常数项为,故A正确;

对于B,第四项的系数为,第六项的系数为,故B错误;

对于C,因为,所以各项的二项式系数之和为,故C正确;

对于D,令,各项的系数之和为,故D错误.

故选:AC.

12．已知函数，则（    ）

A．的值域为

B．直线是曲线的一条切线

C．图象的对称中心为

D．方程有三个实数根

【答案】BCD

【分析】分两种情况求函数的范围判断A，利用导数求函数的切线，判断选项B，利用平移得出函数的对称中心判断C，首先求的值，再求解方程的实数根判断D.

【详解】对A，时，，当时等号成立，

当时，，当时等号成立，故A错误；

对B，令，得，

，所以图象在点处的切线方程是，得，

，所以图象在点处的切线方程是，得，故B正确；

对C， 的对称中心是，所以的对称中心是，向右平移1个单位得，对称中心是，故C正确；

对D， ，解得：或，

当，得，，1个实根，

当时，得或，2个实根，所以共3个实根，故D正确.

故选：BCD

三、填空题

13．曲线在处的切线方程为__________.

【答案】

【分析】根据导数的几何意义，先求导得，代入，求得切线斜率，再利用时，结合直线方程即可得解.

【详解】首先求导可得，

所以曲线在处的切线斜率，

又可得，

所以曲线在处的切线为，

即.

故答案为：

14．900的正因数有__________ 个（用数字作答）

【答案】27

【分析】依题意，设的正因数为，其中，按照分步乘法计数原理计算可得.

【详解】解：，设的正因数为，其中，

使用分步乘法计数原理，分三步，第一步计算，有种情况，

第二步计算，有种情况，

第三步计算，有种情况，

所以共有种情况，所以有个正因数．

故答案为：

15．写出与直线 和圆都相切的一个圆的方程________．

【答案】 （答案不唯一，只需满足与直线 和圆都相切即可）.

【分析】根据相切关系，列出圆心和半径应该满足的条件即可.

【详解】设圆的方程为:

和直线相切可以得：

和圆相切得：或

若则

此时圆的方程：

故答案为： （答案不唯一，只需满足与直线 和圆都相切即可）.

16．展开式中含项的系数为______．

【答案】－60

【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.

【详解】，

设该二项式的通项公式为，

因为的次数为，所以令，

二项式的通项公式为，

令，

所以项的系数为，

故答案为：

四、解答题

17．在的展开式中，求：

（1）第4项的二项式系数；

（2）常数项.

【答案】（1）20；（2）240.

【分析】（1）由二项式写出展开式通项，即可知的二项式系数.

（2）由（1）知常数项为求，写出常数项即可.

【详解】（1）

∴第4项的二项式系数为.

（2）由（1），令，解得，

∴常数项为.

18．已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，成等差数列，．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用，，成等差数列以及求出首项和公比，再利用等比数列的通项公式写出即可；

（2）由（1）将数列的通项公式代入中化简，再利用错位相减法求和即可.

【详解】（1）设数列的公比为，

因为，，成等差数列，

所以，

即，

解得或，

因为各项均为正数，

所以，

所以，

由，

得，

解得，

所以.

（2）由（1）知，，

则，

所以，

两式相减可得，

整理可得．

19．如图，在直三棱柱中，，，，，为的中点.

(1)求点到平面的距离；

(2)求二面角的正弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）证明后，建立空间直角坐标系，然后用点到面的距离公式即可;

（2）通过法向量，算出二面角的余弦值，然后再求解正弦值即可.

【详解】（1）在中，由余弦定理得：

∴，∴，∴，

又∵平面，

∴以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系：

∵，，，，，，

∴，，，

设平面的法向量为，

∴，， ，

不妨取，，，∴，

∴点到平面的距离；

（2）设平面的法向量为,

∴，，

且, ，

取，则，，则平面的法向量为，

设平面的法向量为，

∴，，且,，

，取，则，，则

∴，

设二面角对应的平面角为，

∴

20．某服装厂主要从事服装加工生产，依据以往的数据分析，若加工产品订单的金额为x万元，可获得的加工费为万元，其中．

(1)若，为确保企业获得的加工费随加工产品订单的金额x的增长而增长，则该企业加工产品订单的金额x（单位：万元）应在什么范围内？

(2)若该企业加工产品订单的金额为x万元时共需要的生产成本为万元，已知该企业加工生产能力为（其中x为产品订单的金额），试问m在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）令，求导，解即可求出结果；

（2）该企业加工生产将不会出现亏损，即恒成立，参变分离得到，构造函数，求出的最小值即可.

【详解】（1）当时，，所以，令，即，又因为，因此，所以该企业加工产品订单的金额x（单位：万元）应在；

（2）令，该企业加工生产将不会出现亏损，即恒成立，

所以，即，设，则，

令，

则，

所以在上单调递减，且，所以在上，即在上恒成立，故，所以，故，

因此当时，该企业加工生产将不会出现亏损.

21．已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求的单调区间和极值.

(3)若关于的方程有唯一的实数根，直接写出实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2)递减区间为，；递增区间为；极小值，极大值；

(3)或.

【分析】（1）根据给定条件，利用导数的几何意义求出切线方程作答.

（2）利用导数求出函数的单调区间及极值作答.

（3）利用导数探讨函数的性质，再结合图形求出k的范围作答.

【详解】（1）函数，求导得：，则，而，由直线点斜式方程得：，

所以曲线在点处的切线方程为.

（2）函数的定义域为R，由（1）知，当或时，，当时，，

所以函数的单调递减区间为，，单调递增区间为，

函数在处取得极小值，在处取得极大值.

（3）由（2）知，函数在上单调递增，在上单调递减，，恒有，

当时，递减，恒有，因此，，而函数在内的值域为，

因此函数在内的值域为，函数的大致图象如图，

方程的实数根，即函数的图象与直线交点的横坐标，

观察图形知，当或时，函数的图象与直线有一个公共点，

所以关于的方程有唯一的实数根，实数的取值范围是或.

22．已知椭圆经过点，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆相交于两点，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据题意得，，再结合即可求得答案；

（2）联立直线、椭圆方程可得两点坐标，由向量的数量积坐标运算公式可得答案.

【详解】（1）椭圆经过点，所以，

因为离心率为，所以，所以，

所以椭圆的方程为.

（2）由得，解得，

所以，或，

可得，，或者，，

所以.