2022-2023学年广东省江门市新会陈经纶中学高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年广东省江门市新会陈经纶中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．下列导数运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用求导公式和法则逐个分析判断即可

【详解】因为，，，，

所以选项A，B，C均不正确，选项D正确，

故选：D.

2．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（    ）

A．甲赢三局

B．甲赢一局输两局

C．甲、乙平局三次

D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次

【答案】D

【分析】列举出ξ=3的所有可能的情况，由此可得出合适的选项.

【详解】解：甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，

所以有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．

故选：D．

3．在等比数列中，则（    ）

A．16 B．16或－16

C．32 D．32或－32

【答案】A

【分析】根据等比数列通项公式基本量计算出公比，从而求出.

【详解】设公比为，则，解得：，所以.

故选：A

4．3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同的选法有（    ）

A．243 B．125 C．128 D．264

【答案】B

【分析】由分步计数原理直接得结论.

【详解】解：因为第1个班有5种选法，第2个班有5种选法，第3个班有5种选法，

所以由分步计数原理可得，不同的选法有种，

故选：B

【点睛】此题主要考查分步计数原理的运用，属于基础题.

5．从10种不同的作物种子中选出6种分别放入6个不同的瓶子中展出，每瓶不空，如果甲、乙两种种子都不许放入1号瓶子内，那么不同的放法共有（    ）

A．种 B．种

C．种 D．种

【答案】C

【分析】先从其他8种种子中选取1种放入1号瓶，再从剩下的9种种子中选5种放到剩余的个瓶子中即可.

【详解】分两步：第1步，可在其他8种种子中选取1种放入1号瓶，则有种选法；

第2步，在剩下的9种种子中选5种作全排列，则有种选法.

故共有种不同的放法.

故选：C.

6．如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（    ）

A．在区间上，是增函数

B．当时，取到极小值

C．在区间上，是减函数

D．在区间上，是增函数

【答案】D

【分析】对于ACD,根据导数的正负和原函数单调性之间的联系进行判断即可;

对于B，根据极值点处左右两边的单调性进行判断.

【详解】由导函数图象知，在时，，递减，A错；时，取得极大值（函数是先增后减），B错；时，，递增，C错；时，，递增，D正确．

故选：D.

7．二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨度克·牛顿于1664年~1665年间提出，据考证，我国至迟在11世纪，北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则．在的二项式展开式中，的系数为（    ）

A．10 B． C． D．

【答案】B

【分析】利用二项式定理展开计算即可.

【详解】设的二项式展开式通项为，

即：，令，则，故的系数为.

故选:B

8．关于函数，下列判断正确的是（    ）

①是的极大值点

②函数有且只有1个零点    

③存在正实数，使得成立    

④对任意两个正实数，且，若，则

A．①④ B．②③ C．②④ D．①③

【答案】C

【分析】对于①，根据极大值点的定义，求导，研究导数与零的大小关系，可得答案；

对于②，构造函数，求导研究其单调性，根据零点存在定理，可得答案；

对于③，采用变量分离，构造函数，研究单调性与最值，可得答案；

对于④，以直线为对称轴，构造函数，求导研究其单调性和最值，可得答案.

【详解】解：对于①，由，求导得，

令，解得，可得下表：

则为函数的极小值点，故①错误；

对于②，由，

求导得：，

则函数在上单调递减，

当时，，

当时，，

由，故函数有且只有1个零点，故②正确；

对于③，由题意，等价于存在正实数，使得，

令，求导得，

令，则，

在上，，函数单调递增；

在上，，函数单调递减，

，，

在上单调递减，无最小值，

不存在正实数，使得恒成立，故③错误；

对于④，令，则，，

令，

则，

在上单调递减，则，即，

令，由，且函数在上单调递增，得，

则，当时，显然成立，故④正确.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了导数得应用，涉及函数的单调性和极值，函数零点个数的判断，以及构造法证明不等式，运算量较大，有一定的难度.

二、多选题

9．已知曲线.则曲线过点P（1，3）的切线方程为.（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】设切点为，写出切线方程，切线过点（1，3），求得即可.

【详解】解：设切点为，

则，

所以，

所以切线方程为，

因为切线过点（1，3），

所以，即，

即，

解得或，

所以切线方程为或，

故选：AB

10．已知等比数列{}中，满足，，则（    ）

A．数列{}是等比数列 B．数列是递增数列

C．数列是等差数列 D．数列{}中，仍成等比数列

【答案】AC

【分析】先利用等比数列通项公式求出，从而得到，利用等比数列的定义判断A选项；得到，判断出为递减数列；求出，利用等差数列定义判断C选项，计算出，利用得到不成等比数列.

【详解】由题意得：，所以，则，

所以数列{}是等比数列，A正确；

，所以，且，故数列是递减数列，B错误；

，所以，C正确；

，

因为，故数列{}中，不成等比数列，D错误.

故选：AC

11．关于的说法，正确的是（    ）

A．展开式中的二项式系数之和为2048

B．展开式中只有第6项的二项式系数最大

C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大

D．展开式中第6项的系数最大

【答案】AC

【解析】根据二项展开式的二项式系数的性质进行分析可知正确，不正确，正确，根据项的系数的符号可知不正确.

【详解】的展开式中的二项式系数之和为，所以正确；

因为为奇数，所以展开式中有项，中间两项（第6项和第7项）的二项式系数相等且最大，所以不正确，正确；

展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以不正确.

故选：AC

【点睛】本题考查了二项展开式的二项式系数的性质，考查了二项展开式中项的系数的最值问题，属于基础题.

12．已知曲线的方程为（且)，，分别为与轴的左、右交点，为上任意一点(不与，重合)，则（    ）

A．若，则为双曲线，且渐近线方程为

B．若点坐标为，则为焦点在轴上的椭圆

C．若点的坐标为，线段与轴垂直，则

D．若直线，的斜率分别为，，则

【答案】BD

【分析】根据方程的特征和椭圆与双曲线的性质逐项进行分析即可判断.

【详解】对于，若，则为双曲线，其双曲线的渐近线方程为：，故选项错误；

对于，因为点在曲线上，所以，所以，则曲线为椭圆，又因为，所以为焦点在轴上的椭圆，故选项正确；

对于，因为点的坐标为，所以过点与轴垂直的直线方程为，代入曲线方程可得：，若，则有，

若，则有，故选项错误；

对于，由题意可知：，，设点，

则，，所以，

又因为点在曲线上，所以，

所以，故选项正确，

故选：.

三、填空题

13．等差数列中，，，则＝__.

【答案】38

【分析】由等差数列的性质求得结果.

【详解】根据等差数列的性质：.

故答案为:38.

14．若，，则______.

【答案】/

【分析】根据条件概率计算公式，计算出所求概率.

【详解】.

故答案为：

15．由数字1，2，3，4，5可以组成_____个没有重复数字的五位奇数．

【答案】

【分析】根据特殊位置法，先从1，3，5中任选一个数字作为个位数，再将其余4个数字排到十位，百位，千位，万位上，最后结合分步乘法原理求解即可.

【详解】解：根据题意，先排个位数，从1，3，5中任选一个数字作为个位数，有种，

再将剩余的四个数字排到十位，百位，千位，万位上，有种，

综上，由分步乘法原理，共有个没有重复的五位奇数.

故答案为：

16．已知函数，在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为_______．

【答案】

【分析】根据题意得函数在区间内单调递增，利用导函数与单调性的关系即可得恒成立，即可求解.

【详解】不妨设，则由，

可得，即，

设，

则在区间内单调递增，

，

则在区间内恒成立，

即，也即，

因为二次函数在单调递减，

所以，

所以，

故答案为: .

四、解答题

17．已知数列是等差数列,其前项和为,.

（1）求数列的通项公式；

（2）求和： .

【答案】（1）.（2）

【分析】(1) 设等差数列的公差为d,再根据等差数列的性质求解得,进而得到公差与首项,从而得到通项公式.

(2)根据等差数列的通项公式可求得,再裂项求和即可.

【详解】（1）设等差数列的公差为d,则有：,,,

所以数列的通项公式为：.

（2）由（1）可知：,

∴,

∴

【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解以及裂项求和的方法,属于基础题.

18．如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，，平面．

(1)求证：；

(2)求二面角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）利用余弦定理证得，再结合线面垂直的性质和判定推理作答.

（2）以点D为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的余弦计算作答.

【详解】（1）在中，，，由余弦定理得：

，则，即，有，

因平面，平面，则，而，平面，

于是得平面，又平面，

所以．

（2）因为平面，平面，则，由（1）知，射线两两垂直，

以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，

设为平面的一个法向量，则，令，得，

设是平面的一个法向量，则，令，得，

设二面角的大小为，则，

所以二面角的正弦值为．

19．一批同型号的螺钉由编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的三台机器共同生产，各台机器生产的螺钉占这批螺钉的百分率分别为35%，40%，25%，各台机器生产的螺钉次品率分别为3%，2%和1%.

(1)求从这批螺钉中任取一件是次品的概率；.

(2)现从这批螺钉中抽到一颗次品，求该次品来自Ⅱ号机器生产的概率.

【答案】(1)0.021

(2)

【分析】（1）根据条件概率的计算公式求解即可；

（2）结合（1）中结论，再根据条件概率的计算公式求解即可；

【详解】（1）设A表示“螺钉是次品”，B1表示“螺钉由Ⅰ号机器生产”，B2表示“螺钉由Ⅱ号机器生产”，B3表示“螺钉由Ⅲ号机器生产”，则P（B1）=0.35，P（B2）=0.4，P（B3）=0.25，

P（A|B1）=0.03，P（A|B2）=0.02，P（A|B3）=0.01，

P（A）=P（AB1）+P（AB2）+P（AB3）=P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）+P（A|B3）P（B3）=0.03×0.35+0.02×0.4+0.01×0.25=0.021，

（2）由（1），结合题意可得P（B2|A）===.

20．甲、乙两人决定各购置一辆纯电动汽车.经了解，目前市场上销售的主流纯电动汽车按行驶里程数R （单位:km）可分为三类车型.A类:，B类:，C类:.甲从A，B，C三类车型中挑选，乙从B，C两类车型中挑选，甲，乙二人选择各类车型的概率如下表:

若甲、乙都选C类车型的概率为.

(1)求p，q的值;

(2)求甲、乙选择不同车型的概率;

(3)某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表:

记甲、乙两人购车所获得的补贴和为X万元，求X的分布列.

【答案】(1),，

(2)

(3)答案见解析

【分析】（1）根据独立事件同时发生的概率乘法公式即可求解；

（2）根据独立事件的概率乘法公式求解；

（3）根据独立事件的概率乘法公式求出概率，进而可列分布列；

【详解】（1）由题表中数据及题意，得，  所以,

又， 所以.

（2）设事件 “甲、乙选择不同车型”，

则 .

（3）根据题意，X的可能取值为7，8，9，10，

则,

,

所以X的分布列为

21．已知函数.

（1）若，求的最小值；

（2）求函数的单调区间.

【答案】（1） ；（2）答案见解析.

【分析】（1）若，利用导数得出在的单调性即可求解.

（2）再讨论、、、函数的单调区间即可.

【详解】（1）若，定义域为，

，

由可得，

由可得，

所以在单调递减，在单调递增，

所以的最小值为；

（2）

①当时，，由可得，

由可得，

此时的单调递减区间为，单调递增区间为，

②当时，由可得或

由可得，

此时的单调递减区间为，单调递增区间为和，

③当时，恒成立，此时的单调递增区间为，

④当时，由可得或，

由可得，

此时的单调递减区间为，单调递增区间为和，

综上所述：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，

当时，的单调递减区间为，单调递增区间为和，

当时， 的单调递增区间为，

当时，的单调递减区间为，单调递增区间为和，

【点睛】思路点睛：利用导数研究函数的单调性的步骤：

①写定义域，对函数求导；

②在定义域内，解不等式和

③写出单调区间.

22．已知椭圆的焦距为，离心率为，直线与交于不同的两点.

(1)求的方程；

(2)设点，直线与分别交于点.

①判段直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点.请说明理由：

②记直线的倾斜角分别为，当取得最大值时，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)①过定点，定点，②

【分析】（1）由题意得，解方程即可得出答案.

（2）①设，，联立直线和椭圆的方程，得到韦达定理结合直线的方程表示出点的坐标，即可求出直线的方程，即可证明直线定点；

②由分析知，当取得最大值时，取得最大值，由两角差的正切公式结合基本不等式求解即可.

【详解】（1）由题意得，解得，所以，

所以的方程为.

（2）①由题意得整理得，设，

，直线的方程为，

代入整理得，，

设，则，所以，

，即，同理.

，

所以直线的方程为，即，所以直线过定点.

②因为，所以与正负相同，且，所以，

当取得最大值时，取得最大值.

由时，；

所以当且仅当时等号成立，取得最大值，取得最大值，

此时直线的方程为.