江苏省南京师范大学附属实验学校2022-2023高一下学期5月月考数学试卷

这是一份江苏省南京师范大学附属实验学校2022-2023高一下学期5月月考数学试卷，共18页。试卷主要包含了设复数满足，则，若，，，则的值为，下列说法正确的是，下列各式中，值为的是等内容，欢迎下载使用。
2022-2023南京师范大学附属实验学校高一第二学期5月月考卷一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）1．　　A． B． C． D．2．设复数满足，则　　A． B． C． D．3．在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则　　A．5 B． C．4 D．34．若，，，则的值为　　A． B．2 C． D．5．已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为　　A． B． C． D．6．在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的大小为　　A． B． C． D．7．在空间中，、、是三条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是　　A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则8．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为　　A． B． C． D．二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）9．下列说法正确的是　　A．圆柱的所有母线长都相等 B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．棱台的侧棱延长后必交于一点10．下列各式中，值为的是　　A． B． C． D．11．下列命题正确的是　　A． B．已知向量与的夹角是钝角，则的取值范围是 C．向量，能作为平面内所有向量的一组基底 D．若，则在上的投影向量为12．如图，已知正方体中，，分别是，的中点，则下列判断正确的是　　A． B．平面 C．平面 D．三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．平面向量与的夹角为，，，则　　．14．如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正切值为　　．15．设平面平面，，，，，直线与交于点，且点位于平面，之间，，，，则　　．16．已知，则的值是　 　．四．解答题（共6小题，共70分）17．为何实数时，复数是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．18．在中，角、、的对边分别为，，，已知．（1）求角；（2）若，，求的值．19．已知向量，的夹角为，且，，（1）求上的投影；（2）求．20．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，是的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：面面．21．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）设，求点到面的距离．22．如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，点是的中点．（1）证明：直线平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积．
2022-2023南京师范大学附属实验学校高一第二学期5月月考卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．　　A． B． C． D．【解答】解：．故选：．2．设复数满足，则　　A． B． C． D．【解答】解：由，得，．故选：．3．在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则　　A．5 B． C．4 D．3【解答】解：在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则，解得．故选：．4．若，，，则的值为　　A． B．2 C． D．【解答】解：，，，，，，解得．故选：．5．已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为　　A． B． C． D．【解答】解：三角形在其直观图中对应一个边长为2正三角形，直观图的面积是，由斜二测画法中直观图和原图的面积的关系，直观图的面积为，故选：．6．在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的大小为　　A． B． C． D．【解答】解：如下图所示，连接，，，，，，则异面直线与所成角为，，即△为等边三角形，．故选：．7．在空间中，、、是三条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是　　A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则【解答】解：对于选项：若，，则和可能是异面直线，故错误．对于选项：若，，则和不能判定有垂直和平行的关系，故错误．对于选项：若，，，则和可能异面，故错误．对于选项：若，，则，正确．故选：．8．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为　　A． B． C． D．【解答】解：由正八面体的性质，每个面均为等边三角形，在一个顶点外的四个角均为，故一个顶点的曲率等于，故正八面体的总曲率等于．故选：．二．多选题（共4小题）9．下列说法正确的是　　A．圆柱的所有母线长都相等 B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．棱台的侧棱延长后必交于一点【解答】解：对于，由圆柱的结构特征可知，圆柱的所有母线长都相等，故正确；对于，由棱柱的结构特征可知，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故正确；对于，底面是正多边形，且侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥，故错误；对于，由棱台的定义可知，棱台的侧棱延长后必交于一点，故正确．故选：．10．下列各式中，值为的是　　A． B． C． D．【解答】解：．，满足条件．，满足条件，，满足条件，，不满足条件．故选：．11．下列命题正确的是　　A． B．已知向量与的夹角是钝角，则的取值范围是 C．向量，能作为平面内所有向量的一组基底 D．若，则在上的投影向量为【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，，正确；对于，向量与的夹角是钝角，则且，解可得且，即的取值范围为且，错误；对于，向量，满足，两个向量共线，不能作为平面内所有向量的一组基底，错误；对于，若，即与方向相同或相反，则在上的投影向量为，正确．故选：．12．如图，已知正方体中，，分别是，的中点，则下列判断正确的是　　A． B．平面 C．平面 D．【解答】解：在正方体中，，分别是，的中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为2，则，2，，，1，，，2，，，2，，，，，，0，，，，故正确；，0，，，2，，，，，平面，故正确；平面的法向量，0，，，又平面，平面，故正确；，0，，，2，，，2，，与不平行，故错误．故选：．三．填空题（共4小题）13．平面向量与的夹角为，，，则　　．【解答】解：由，则，又，向量与的夹角为，则，则，故答案为：．14．如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正切值为　　．【解答】解：过作，交于，连接．，，而平面平面，是直线与平面所成的角（4分）由题意，得．（8分），．（10分）故答案为．15．设平面平面，，，，，直线与交于点，且点位于平面，之间，，，，则　9　．【解答】解：根据题意做出如下图形：，交于点三点确定一平面，所以设平面为，于是有交于，交于，，平行，，．故答案为：9．16．已知，则的值是　　．【解答】解：，则，故答案为：．四．解答题（共6小题）17．为何实数时，复数是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．【解答】解：复数，（1）实数；可得，解得或2．（2）虚数；可得，解得且．（3）纯虚数可得：并且，解得．18．在中，角、、的对边分别为，，，已知．（1）求角；（2）若，，求的值．【解答】解：（1）在中，由，以及正弦定理可得：，，，，，可得．（2），，，，，在中，由正弦定理，可得，解得．19．已知向量，的夹角为，且，，（1）求上的投影；（2）求．【解答】解：（1）向量，的夹角为，且，上的投影为（2）向量，的夹角为，且，，，则20．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，是的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：面面．【解答】（Ⅰ）证明：连结交于点，则是的中点．（2分）连结，是的中点，．（4分）面，面，面．（6分）（Ⅱ）解：，是的中点，．面，，面，（8分）就是二面角的平面角，即．（9分）面，面面．21．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）设，求点到面的距离．【解答】（Ⅰ）证明：因为，，由余弦定理得．（1分）从而，，（3分）又由底面，面，可得．（4分）所以平面．故．（6分）（Ⅱ）解：作，垂足为．已知底面，则，由（Ⅰ）知，又，所以．故平面，．则平面．（8分）由题设知，，则，，（10分）根据，得，即点到面的距离为．（12分）22．如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，点是的中点．（1）证明：直线平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积．【解答】（1）证明：平面，平面，，，有，且是直角梯形，，即，，，平面，平面．（2）解：由（1）知平面，即为直线与平面所成角，，，则，