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2022-2023学年山东省青岛市市南区七年级（下）期中数学试卷(含解析)
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这是一份2022-2023学年山东省青岛市市南区七年级（下）期中数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省青岛市市南区七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a3•a4＝a12 C．（a3）4＝a12 D．（ab）2＝ab2
2．把0.00000156用科学记数法表示为（ ）
A．156×108 B．15.6×10﹣7 C．1.56×10﹣5 D．1.56×10﹣6
3．下列说法正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．在同一平面内，平行于同一直线的两条直线互相平行
C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
4．如图，在下列给出的条件中，不能判定AC∥DE的是（ ）
A．∠1＝∠A B．∠A＝∠3 C．∠3＝∠4 D．∠2+∠4＝180°
5．若一个三角形三个内角度数的比为2：3：5，那么这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
6．若（﹣2x+a）（x﹣1）的结果中不含x的一次项，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
7．从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个长方形（如图2），上述操作能验证的等式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+ab＝a（a+b）
8．星期六早晨蕊蕊妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她连续、匀速走了60min后回家，图中的折线段OA﹣AB﹣BC是她出发后所在位置离家的距离s（km）与行走时间t（min）之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．已知2x＝8，4y＝1，那么2x+2y的值是 ．
10．若x2+（m﹣1）x+16是完全平方式，则m的值是 ．
11．一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角余角的度数是 ．
12．如图，AD是△ABC的中线，M是AC边上的中点，连接DM，若△ABC的面积为12cm2，则△ADM的面积为 cm2．
13．如图，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB和直线CD上，点P在两条平行线之间，∠AEP和∠CFP的角平分线交于点H，已知∠P＝78°，则∠H的度数为 ．
14．如图，某品牌自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．
（1）观察图形，填写如表；
链条节数/x（节）
2
3
4
5
…
链条长度/y（cm）
4.2
5.9
7.6
…
（2）如果一辆自行车的链条（安装以后）共由60节链条组成，那么链条的总长度是 cm．
15．如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝52，则图中阴影部分面积是 ．
16．A骑摩托车从甲地去乙地，B开汽车从乙地去甲地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两地间的距离为s（km）与甲行驶的时间为t（h）之间的关系如图所示．
（1）甲、乙两地之间的路程为 千米；
（2）甲出发 小时后甲、乙两地相距80千米．
三．解答题（共72分）
17．作图题．
用圆规，直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：点C为线段AB外一点，求作直线CD，使CD∥AB．
18．（20分）计算：
（1）﹣14+（﹣2）3+（π﹣3.14）0+（﹣）﹣2；
（2）（a2b）•（﹣2ab2）2÷（﹣0.5a4b5）；
（3）用乘法公式计算：20162﹣2018×2014．
（4）（3x+y﹣2）（3x﹣y+2）；
（5）（4ab3﹣a2b﹣ab）÷（ab）；
19．先化简，再求值：[（2x+y）2+（2x+y）（y﹣2x）﹣6y]÷2y，其中x＝，y＝3．
20．已知：如图，△ABC中，AC⊥BC，若D、E在AB边上，点F在AC边上，DG⊥BC于点G，
∠1＝∠2，求证：EF∥CD．将下列推理过程补充完整：
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC，（已知），
∴∠DGB＝∠ACB＝90°（ ）．
∴DG∥AC（ ）．
∴∠2＝ （ ）．
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝ （ ）．
∴EF∥CD（ ）．
21．某经销商销售了一种水果，进价是25元/千克，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系：
每千克售价x（元）
…
38
37
36
35
…
25
每天销量
y（千克）
…
50
52
54
56
…
76
（1）从表格可以看出售价每下调1元销售量就增加 千克，每上涨1元销售量就减少 千克，直接写出每天销量y（千克）与每千克售价x（元）的函数关系式．
（2）求出当售价从38元/千克调整到44元/千克时，求这一天的销售量是多少千克？利润多少元？
22．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．
（1）问AD与CE平行吗？如果平行请说明理由．
（2）若CE⊥AE于E，DA平分∠BDC，∠FAB＝68°，求∠1的度数．
23．某数学兴趣小组在一组课题学习活动中以“钟表上时针与分针的重合时刻”为课题展开了研究．
【问题提出】如图①是某钟表，图②是该钟表的简化平面示意图，设时针、分针所在直线在同一平面内，直线l表示钟表的数轴线．在1：00～1：15之间求时针与分针的重合时刻．
【问题探究】设钟表中心为O，表示“12”的点为A，表示“1”的点为B，表示“3”的点为C，表示“6”的点为D，下面是小颖同学的研究过程：
解题思路：建立函数关系的方法求解．
（1）设自变量x和因变量y：设1：00后再经过xmin（0≤x≤15），时针、分针分别与OA所成夹角度数为y1°，y2°，直接写出y1，y2关于x的关系式．
（2）求解：
【问题解决】请按照小颖的思路解答此问题；
【问题拓展】求该钟表在1：15～1：30之间，时针与分针所在直线互相垂直的时刻．
24．已知直线MN∥PQ，点A在直线MN上，点B，C为平面内两点，AC⊥BC于点C．
（1）如图1，当点B在直线MN上，点C在直线MN上方时，延长CB交直线PQ于点D，则∠CAB和∠CDP之间的数量关系是 ；
（2）如图2，当点C在直线MN上且在点A左侧，点B在直线MN与PQ之间时，过点B作BD⊥AB交直线PQ于点D．为探究∠ABC与∠BDP之间的数量关系，小明过点B作BF∥MN请根据他的思路，写出∠ABC与∠BDP的关系，并说明理由；
（3）请从下面A，B两题中任选一题作答．A．如图3，在（2）的条件下，作∠ABD的平分线交直线MN于点E，当∠AEB＝2∠ABC时直接写出∠ABC的度数；B．如图4，当点C在直线MN上且在点A左侧，点B在直线PQ下方时，过点B作BD⊥AB交直线PQ于点D，作∠ABD的平分线交直线MN于点E，当∠BDP＝2∠BEN时，直接写出∠ABC的度数．
参考答案
一、选择题（每题3分，共24分）
1．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a3•a4＝a12 C．（a3）4＝a12 D．（ab）2＝ab2
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方运算法则求解即可．
解：a2+a2＝2a2，
故A不符合题意；
a3•a4＝a7，
故B不符合题意；
（a3）4＝a12，
故C符合题意；
（ab）2＝a2b2，
故D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握这些知识是解题的关键．
2．把0.00000156用科学记数法表示为（ ）
A．156×108 B．15.6×10﹣7 C．1.56×10﹣5 D．1.56×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.00000156＝1.56×10﹣6，
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．下列说法正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．在同一平面内，平行于同一直线的两条直线互相平行
C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
【分析】根据对顶角性质、平行线的判定与性质判断求解即可．
解：相等的角不一定是对顶角，故A错误，不符合题意；
在同一平面内，不相交的两条直线必平行，故B正确，符合题意；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故C错误，不符合题意；
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故D错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
4．如图，在下列给出的条件中，不能判定AC∥DE的是（ ）
A．∠1＝∠A B．∠A＝∠3 C．∠3＝∠4 D．∠2+∠4＝180°
【分析】根据平行线的判定，逐项进行判断即可．
解：当∠1＝∠A时，可知是DE和AC被AB所截得到的同位角，可得到DE∥AC，故A可以；
当∠A＝∠3时，可知是AB、DF被AC所截得到的同位角，可得AB∥DF，故B不可以；
当∠3＝∠4时，可知是DE和AC被AB所截得到的内错角，可得DE∥AC，故C可以；
当∠2+∠A＝180°时，是一对同旁内角，可得DE∥AC；故D可以；
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的判定方法，掌握平行线的判定方法是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行．
5．若一个三角形三个内角度数的比为2：3：5，那么这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【分析】根据三角形内角和等于180°求出最大内角的度数，再得出选项即可．
解：∵三角形三个内角度数的比为2：3：5，
∴最大内角的度数是180＝90°，
∴此三角形是直角三角形，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，能熟记三角形内角和定理是解此题的关键，注意：三角形内角和等于180°．
6．若（﹣2x+a）（x﹣1）的结果中不含x的一次项，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则进行化简，然后令含x的一次项系数为零即可求出答案．
解：原式＝﹣2x2+（a+2）x﹣a，
∴a+2＝0，
∴a＝﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘多项式运算法则，本题属于基础题型．
7．从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个长方形（如图2），上述操作能验证的等式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+ab＝a（a+b）
【分析】分别求出从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形后剩余部分的面积和拼成的矩形的面积，根据剩余部分的面积相等即可得出算式，即可选出选项
解：∵从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积是：a2﹣b2，
图2拼成的是长为a+b，宽为a﹣b的矩形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
∴根据剩余部分的面积相等得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式的运用，解此题的关键是用算式表示图形的面积，用的数学思想是转化思想，即把实际问题转化成用数学式子表示出来．
8．星期六早晨蕊蕊妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她连续、匀速走了60min后回家，图中的折线段OA﹣AB﹣BC是她出发后所在位置离家的距离s（km）与行走时间t（min）之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据给定s关于t的函数图象，分析AB段可得出该段时间蕊蕊妈妈绕以家为圆心的圆弧进行运动，由此即可得出结论．
解：观察s关于t的函数图象，发现：
在图象AB段，该时间段蕊蕊妈妈离家的距离相等，即绕以家为圆心的圆弧进行运动，
∴可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是B．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的图象，解题的关键是分析函数图象的AB段．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象分析出大致的运动路径是关键．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．已知2x＝8，4y＝1，那么2x+2y的值是 8 ．
【分析】利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
解：∵2x＝8，4y＝1，
2x+2y
＝2x×22y
＝2x×4y
＝8×1
＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10．若x2+（m﹣1）x+16是完全平方式，则m的值是 9或﹣7 ．
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
解：∵x2+（m﹣1）x+16＝（x±4）2＝x2±8x+16，
∴m﹣1＝±8，
∴m＝9或﹣7．
故答案为：9或﹣7．
【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
11．一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角余角的度数是 30° ．
【分析】根据补角和余角的定义，利用“一个角的补角是它的余角的度数的3倍”作为相等关系列方程求解即可得出结果．
解：设这个角的度数是x，
则180°﹣x＝4（90°﹣x），
解得x＝60°．
∴这个角的余角＝90°﹣60°＝30．
答：这个角的余角度数是30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查余角和补角的知识，设出未知数是解决本题的关键，要掌握解答此类问题的方法．
12．如图，AD是△ABC的中线，M是AC边上的中点，连接DM，若△ABC的面积为12cm2，则△ADM的面积为 3 cm2．
【分析】根据三角形中线平分三角形面积进行求解即可．
解：∵AD是△ABC的中线，△ABC的面积为12cm2，
∴S△ACD＝S△ABC＝6cm2，
∵M是AC边上的中点，
∴S△ADM＝S△ACD＝3cm2．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了三角形的面积，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．
13．如图，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB和直线CD上，点P在两条平行线之间，∠AEP和∠CFP的角平分线交于点H，已知∠P＝78°，则∠H的度数为 141° ．
【分析】过点P作PQ∥AB，过点H作HG//AB．根据平行线的性质得到∠EPF＝∠BEP+∠DFP＝78°，结合角平分线的定义得到∠AEH+∠CFH，同理可得∠EHF＝∠AEH+∠CFH
解：过点P作PQ//AB，过点H作HG//AB．
∵AB//CD，
∴PQ//CD，HG//CD，
∴∠BEP＝∠QPE，∠DFP＝∠QPF，
∵∠EPF＝∠QPE+∠QPF＝78°，
∴∠BEP+∠DFP＝78°，
∴∠AEP+∠CFP＝360°﹣78＝282°，
∵EH平分∠AEP，HF平分∠CFP，
∴∠AEH+∠CFH＝282°÷2＝141°．
故答案为：141°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线构造内错角，利用两直线平行，内错角相等得出结论．
14．如图，某品牌自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．
（1）观察图形，填写如表；
链条节数/x（节）
2
3
4
5
…
链条长度/y（cm）
4.2
5.9
7.6
9.3
…
（2）如果一辆自行车的链条（安装以后）共由60节链条组成，那么链条的总长度是 102.8 cm．
【分析】（1）根据表格可知y与x的关系式，可知x＝5时，y的值；
（2）将x＝60代入（1）中函数关系式即可．
解：（1）根据题意，得y＝2.5+（2.5﹣0.8）（x﹣1）＝1.7x+0.8，
当x＝5时，y＝1.7×5+0.8＝9.3，
故答案为：9.3；
（2）当x＝60时，y＝1.7×60+0.8＝102.8（cm），
故答案为：102.8．
【点评】本题考查了图形的变化规律，函数关系式，根据表格信息表示出函数关系式是解题的关键．
15．如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝52，则图中阴影部分面积是 12 ．
【分析】设两个正方形的边长分别为a、b，则a+b＝10，由S1+S2＝52可得a2+b2＝52，根据（a+b）2＝a2+b2+2ab代入求出ab的值即可．
解：设AC＝a，BC＝b，则a+b＝AB＝10，
∵S1+S2＝52，
∴a2+b2＝52，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴102＝52+2ab，
∴ab＝24，
∴阴影部分的面积为ab＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
16．A骑摩托车从甲地去乙地，B开汽车从乙地去甲地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两地间的距离为s（km）与甲行驶的时间为t（h）之间的关系如图所示．
（1）甲、乙两地之间的路程为 240 千米；
（2）甲出发 或 小时后甲、乙两地相距80千米．
【分析】（1）由图象直接可得甲，乙两地之间的路程为240千米；（2）求出A的速度为：240÷6＝40（千米/小时），B的速度为：240÷2﹣40＝80（千米/小时），设A出发t小时，A，B相距80千米，分两种情况列方程，可解得答案．
解：（1）由图象可得，当x＝0时，y＝240，
∴甲，乙两地之间的路程为240千米；
故答案为：240；
（2）由图象可得：A的速度为：240÷6＝40（千米/小时），B的速度为：240÷2﹣40＝80（千米/小时），
设A出发t小时，A，B相距80千米，由题意得：
相遇前：80t+40t+80＝240，
解得t＝，
相遇后：80（t﹣2）+40（t﹣2）＝80，
解得t＝，
综上所述，A出发小时或小时后，A、B两人相距80千米．
故答案为：或．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想和数形结合的思想解答．
三．解答题（共72分）
17．作图题．
用圆规，直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：点C为线段AB外一点，求作直线CD，使CD∥AB．
【分析】过点C作直线CE交AB于点E，作∠TCE＝∠CDB即可．
解：如图，直线CD即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．（20分）计算：
（1）﹣14+（﹣2）3+（π﹣3.14）0+（﹣）﹣2；
（2）（a2b）•（﹣2ab2）2÷（﹣0.5a4b5）；
（3）用乘法公式计算：20162﹣2018×2014．
（4）（3x+y﹣2）（3x﹣y+2）；
（5）（4ab3﹣a2b﹣ab）÷（ab）；
【分析】（1）先算乘方，零指数幂，负整数指数幂，再算加减即可；
（2）先算积的乘方，再算单项式乘单项式，最后算整式的除法即可；
（3）利用平方差公式进行运算即可；
（4）利用平方差公式及完全平方公式进行运算即可；
（5）利用整式的除法的法则进行运算即可．
解：（1）﹣14+（﹣2）3+（π﹣3.14）0+（﹣）﹣2
＝﹣1﹣8+1+9
＝1；
（2）（a2b）•（﹣2ab2）2÷（﹣0.5a4b5）
＝（a2b）•（4a2b4）÷（﹣0.5a4b5）
＝a4b5÷（﹣0.5a4b5）
＝﹣2；
（3）20162﹣2018×2014
＝20162﹣（2016+2）×（2016﹣2）
＝20162﹣（20162﹣4）
＝20162﹣20162+4
＝4；
（4）（3x+y﹣2）（3x﹣y+2）
＝[3x+（y﹣2）][3x﹣（y﹣2）]
＝（3x）2﹣（y﹣2）2
＝9x2﹣（y2﹣4y+4）
＝9x2﹣y2+4y﹣4；
（5）（4ab3﹣a2b﹣ab）÷（ab）
＝4ab3÷（ab）﹣a2b÷（ab）﹣ab÷（ab）
＝8b2﹣2a﹣1．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
19．先化简，再求值：[（2x+y）2+（2x+y）（y﹣2x）﹣6y]÷2y，其中x＝，y＝3．
【分析】先利用完全平方公式和平方差公式计算，进一步合并，最后代入求得数值即可．
解：原式＝（4x2+4xy+y2﹣4x2+y2﹣6y）÷2y
＝（2y2+4xy﹣6y）÷2y
＝y+2x﹣3
当x＝，y＝3时，
原式＝3+1﹣3＝1．
【点评】此题考查整式的化简求值，掌握计算公式和运算方法是解决问题的关键．
20．已知：如图，△ABC中，AC⊥BC，若D、E在AB边上，点F在AC边上，DG⊥BC于点G，
∠1＝∠2，求证：EF∥CD．将下列推理过程补充完整：
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC，（已知），
∴∠DGB＝∠ACB＝90°（ 垂直定义 ）．
∴DG∥AC（ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴∠2＝ ∠DCA （ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝ ∠DCA （ 等量代换 ）．
∴EF∥CD（ 同位角相等，两直线平行 ）．
【分析】首先证明∠2＝∠DCA，然后根据∠1＝∠2，可得∠DCA＝∠1，再根据同位角相等，两直线平行可判定出EF∥DC．
【解答】证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC，（已知），
∴∠DGC＝∠ABC＝90° （垂直定义），
∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠DCA（两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠DCA（等量代换），
∴EF∥CD （同位角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直定义；同位角相等，两直线平行；∠DCA；两直线平行，内错角相等；∠DCA；等量代换；同位角相等，两直线平行．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质定理，掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系是解题的关键．
21．某经销商销售了一种水果，进价是25元/千克，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系：
每千克售价x（元）
…
38
37
36
35
…
25
每天销量
y（千克）
…
50
52
54
56
…
76
（1）从表格可以看出售价每下调1元销售量就增加 2 千克，每上涨1元销售量就减少 2 千克，直接写出每天销量y（千克）与每千克售价x（元）的函数关系式．
（2）求出当售价从38元/千克调整到44元/千克时，求这一天的销售量是多少千克？利润多少元？
【分析】（1）根据表格中的数据可得售价每下调1元销售量就增加2千克，每上涨1元销售量就增减少2千克，根据此关系可得当售价从38元/千克下调到x元/千克时，得出其销售量y，以此即可得到y与x的函数关系式；
（2）将x＝44代入（1）中求得的函数关系式中，求出这一天的销售量，再根据“利润＝（售价﹣成本）×销售量”即可解答
解：（1）从表格可以看出售价每下调1元销售量就增加2千克，每上涨1元销售量就增减少2千克，
当售价从38元/千克下调到x元/千克时，y＝50+2（38﹣x）＝126﹣2x，
∴每天销量y（千克）与每千克售价x（元）的函数关系式为y＝126﹣2x；
故答案为：2，2；
（2）当售价从38元/千克调整到44元/千克时，y＝126﹣2×44＝38，
∴这一天的销售量是38kg，
∵这种水果进价是25元/千克
∴利润为（44﹣25）×38＝722（元）．
∴这一天的销售量是38kg，利润722元．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，解题关键是从表格中得出售价每下调1元销售量就增加2千克，每上涨1元销售量就增减少2千克．
22．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．
（1）问AD与CE平行吗？如果平行请说明理由．
（2）若CE⊥AE于E，DA平分∠BDC，∠FAB＝68°，求∠1的度数．
【分析】（1）利用已知可得AB∥CD，从而可得∠2＝∠ADC，进而可得∠3+∠ADC＝180°，然后利用同旁内角互补，两直线平行可得AD∥CE，即可解答；
（2）根据垂直定义可得∠CEA＝90°，再利用（1）的结论可得∠CEA＝∠DAF＝90°，从而可得∠2＝22°，然后利用（1）的结论可得∠2＝∠ADC＝22°，再利用角平分线的定义可得∠CDF＝2∠ADC＝44°，即可解答．
解：（1）AD∥CE，
理由：∵∠1＝∠BDC，
∴AB∥CD，
∴∠2＝∠ADC，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠3+∠ADC＝180°，
∴AD∥CE；
（2）∵CE⊥AE，
∴∠CEA＝90°，
∵CE∥AD，
∴∠CEA＝∠DAF＝90°，
∵∠FAB＝68°，
∴∠2＝∠DAF﹣∠FAB＝22°，
∴∠2＝∠ADC＝22°，
∵DA平分∠CDF，
∴∠CDF＝2∠ADC＝44°，
∴∠1＝∠CDF＝44°，
∴∠1的度数为44°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
23．某数学兴趣小组在一组课题学习活动中以“钟表上时针与分针的重合时刻”为课题展开了研究．
【问题提出】如图①是某钟表，图②是该钟表的简化平面示意图，设时针、分针所在直线在同一平面内，直线l表示钟表的数轴线．在1：00～1：15之间求时针与分针的重合时刻．
【问题探究】设钟表中心为O，表示“12”的点为A，表示“1”的点为B，表示“3”的点为C，表示“6”的点为D，下面是小颖同学的研究过程：
解题思路：建立函数关系的方法求解．
（1）设自变量x和因变量y：设1：00后再经过xmin（0≤x≤15），时针、分针分别与OA所成夹角度数为y1°，y2°，直接写出y1，y2关于x的关系式．
（2）求解：
【问题解决】请按照小颖的思路解答此问题；
【问题拓展】求该钟表在1：15～1：30之间，时针与分针所在直线互相垂直的时刻．
【分析】（1）根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，根据题意列函数关系式，
（2）根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，根据题意列方程求解，
（3）根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，根据题意列方程求解．
解：（1）y1＝30+x；y2＝6x．
（2）根据题意得：6x＝30+x，解得x＝．
答：在1：00到1：15之间时针秘分针重合时刻为1点分钟．
（3）根据题意得：6x＝30+x+90，解得x＝．
答：在1：15到1：30之间时针与分针所在直线互相垂直的时刻为1点分钟．
【点评】本题考查了函数的图象和钟面角，一元一次方程的应用，数形结合思想是解题的关键．
24．已知直线MN∥PQ，点A在直线MN上，点B，C为平面内两点，AC⊥BC于点C．
（1）如图1，当点B在直线MN上，点C在直线MN上方时，延长CB交直线PQ于点D，则∠CAB和∠CDP之间的数量关系是 ∠CAB+∠CDP＝90° ；
（2）如图2，当点C在直线MN上且在点A左侧，点B在直线MN与PQ之间时，过点B作BD⊥AB交直线PQ于点D．为探究∠ABC与∠BDP之间的数量关系，小明过点B作BF∥MN请根据他的思路，写出∠ABC与∠BDP的关系，并说明理由；
（3）请从下面A，B两题中任选一题作答．A．如图3，在（2）的条件下，作∠ABD的平分线交直线MN于点E，当∠AEB＝2∠ABC时直接写出∠ABC的度数；B．如图4，当点C在直线MN上且在点A左侧，点B在直线PQ下方时，过点B作BD⊥AB交直线PQ于点D，作∠ABD的平分线交直线MN于点E，当∠BDP＝2∠BEN时，直接写出∠ABC的度数．
【分析】（1）利用平行线的性质即可得出结论；
（2）利用平行线的性质和角度的计算即可得出结论；
（3）A题需要作出辅助线BF∥MN，即可求解；B题利用平行线的性质，用∠ABC表示出∠BDP，然后放在△ABC和△ABE中求解即可．
解：（1）∵AC⊥BC，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵MN∥PQ，
∴∠CBA＝∠CDP，
∴∠CAB+∠CDP＝90°，
故答案为：∠CAB+∠CDP＝90°；
（2）∠ABC＝∠BDP，理由如下：
∵BF∥MN，MN∥PQ，
∴BF∥PQ，
∴∠NCB+∠CBF＝180°，∠FBD＝∠BDP，
∵AC⊥BC，
∴∠CBF＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABC+∠ABF＝90°，
∵BD⊥AB，
∴∠ABF+∠DBF＝90°，
∴∠ABC＝∠FBD，
∴∠ABC＝∠BDP，
（3）选择A，
如图，过点B作BF∥MN，
设∠ABC＝x，则：
∠AEB＝∠EBF＝2x，
由（2）可得∠BDP＝∠ABC＝x，
∴∠DBF＝x，
∠EBD＝∠EBF+∠DBF＝3x，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABD＝6x，
∵AB⊥BD，
∴6x＝90°，
解得：x＝15°，
∴∠ABC＝15°；
选择B，
设∠ABC＝x，
∵BA⊥AC，MN∥PQ，BC⊥PQ，
∴∠QDB+∠DBC＝90°，
∵AB⊥BD，
∴∠ABC+∠DBC＝90°，
∴∠ABC＝∠QDB＝x，
∴∠BDP＝180°﹣x，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝∠DBE＝45°，
在△ABC中，∠CAB＝90°﹣x，
在△ABE中，
∠ABE＝180°﹣∠ABE﹣∠CAB＝180°﹣45°﹣（90°﹣x）＝45°+x，
∠BEN＝45°+x，
∵∠BDP＝2∠BEN，
∴180°﹣x＝2（45°+x），
解得：x＝30°，
∴∠ABC＝30°．
【点评】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，本题的难点在于第三问A题中辅助线的做法．
2022-2023学年山东省青岛市市南区七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a3•a4＝a12 C．（a3）4＝a12 D．（ab）2＝ab2
2．把0.00000156用科学记数法表示为（ ）
A．156×108 B．15.6×10﹣7 C．1.56×10﹣5 D．1.56×10﹣6
3．下列说法正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．在同一平面内，平行于同一直线的两条直线互相平行
C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
4．如图，在下列给出的条件中，不能判定AC∥DE的是（ ）
A．∠1＝∠A B．∠A＝∠3 C．∠3＝∠4 D．∠2+∠4＝180°
5．若一个三角形三个内角度数的比为2：3：5，那么这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
6．若（﹣2x+a）（x﹣1）的结果中不含x的一次项，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
7．从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个长方形（如图2），上述操作能验证的等式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+ab＝a（a+b）
8．星期六早晨蕊蕊妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她连续、匀速走了60min后回家，图中的折线段OA﹣AB﹣BC是她出发后所在位置离家的距离s（km）与行走时间t（min）之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．已知2x＝8，4y＝1，那么2x+2y的值是 ．
10．若x2+（m﹣1）x+16是完全平方式，则m的值是 ．
11．一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角余角的度数是 ．
12．如图，AD是△ABC的中线，M是AC边上的中点，连接DM，若△ABC的面积为12cm2，则△ADM的面积为 cm2．
13．如图，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB和直线CD上，点P在两条平行线之间，∠AEP和∠CFP的角平分线交于点H，已知∠P＝78°，则∠H的度数为 ．
14．如图，某品牌自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．
（1）观察图形，填写如表；
链条节数/x（节）
2
3
4
5
…
链条长度/y（cm）
4.2
5.9
7.6
…
（2）如果一辆自行车的链条（安装以后）共由60节链条组成，那么链条的总长度是 cm．
15．如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝52，则图中阴影部分面积是 ．
16．A骑摩托车从甲地去乙地，B开汽车从乙地去甲地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两地间的距离为s（km）与甲行驶的时间为t（h）之间的关系如图所示．
（1）甲、乙两地之间的路程为 千米；
（2）甲出发 小时后甲、乙两地相距80千米．
三．解答题（共72分）
17．作图题．
用圆规，直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：点C为线段AB外一点，求作直线CD，使CD∥AB．
18．（20分）计算：
（1）﹣14+（﹣2）3+（π﹣3.14）0+（﹣）﹣2；
（2）（a2b）•（﹣2ab2）2÷（﹣0.5a4b5）；
（3）用乘法公式计算：20162﹣2018×2014．
（4）（3x+y﹣2）（3x﹣y+2）；
（5）（4ab3﹣a2b﹣ab）÷（ab）；
19．先化简，再求值：[（2x+y）2+（2x+y）（y﹣2x）﹣6y]÷2y，其中x＝，y＝3．
20．已知：如图，△ABC中，AC⊥BC，若D、E在AB边上，点F在AC边上，DG⊥BC于点G，
∠1＝∠2，求证：EF∥CD．将下列推理过程补充完整：
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC，（已知），
∴∠DGB＝∠ACB＝90°（ ）．
∴DG∥AC（ ）．
∴∠2＝ （ ）．
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝ （ ）．
∴EF∥CD（ ）．
21．某经销商销售了一种水果，进价是25元/千克，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系：
每千克售价x（元）
…
38
37
36
35
…
25
每天销量
y（千克）
…
50
52
54
56
…
76
（1）从表格可以看出售价每下调1元销售量就增加 千克，每上涨1元销售量就减少 千克，直接写出每天销量y（千克）与每千克售价x（元）的函数关系式．
（2）求出当售价从38元/千克调整到44元/千克时，求这一天的销售量是多少千克？利润多少元？
22．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．
（1）问AD与CE平行吗？如果平行请说明理由．
（2）若CE⊥AE于E，DA平分∠BDC，∠FAB＝68°，求∠1的度数．
23．某数学兴趣小组在一组课题学习活动中以“钟表上时针与分针的重合时刻”为课题展开了研究．
【问题提出】如图①是某钟表，图②是该钟表的简化平面示意图，设时针、分针所在直线在同一平面内，直线l表示钟表的数轴线．在1：00～1：15之间求时针与分针的重合时刻．
【问题探究】设钟表中心为O，表示“12”的点为A，表示“1”的点为B，表示“3”的点为C，表示“6”的点为D，下面是小颖同学的研究过程：
解题思路：建立函数关系的方法求解．
（1）设自变量x和因变量y：设1：00后再经过xmin（0≤x≤15），时针、分针分别与OA所成夹角度数为y1°，y2°，直接写出y1，y2关于x的关系式．
（2）求解：
【问题解决】请按照小颖的思路解答此问题；
【问题拓展】求该钟表在1：15～1：30之间，时针与分针所在直线互相垂直的时刻．
24．已知直线MN∥PQ，点A在直线MN上，点B，C为平面内两点，AC⊥BC于点C．
（1）如图1，当点B在直线MN上，点C在直线MN上方时，延长CB交直线PQ于点D，则∠CAB和∠CDP之间的数量关系是 ；
（2）如图2，当点C在直线MN上且在点A左侧，点B在直线MN与PQ之间时，过点B作BD⊥AB交直线PQ于点D．为探究∠ABC与∠BDP之间的数量关系，小明过点B作BF∥MN请根据他的思路，写出∠ABC与∠BDP的关系，并说明理由；
（3）请从下面A，B两题中任选一题作答．A．如图3，在（2）的条件下，作∠ABD的平分线交直线MN于点E，当∠AEB＝2∠ABC时直接写出∠ABC的度数；B．如图4，当点C在直线MN上且在点A左侧，点B在直线PQ下方时，过点B作BD⊥AB交直线PQ于点D，作∠ABD的平分线交直线MN于点E，当∠BDP＝2∠BEN时，直接写出∠ABC的度数．
参考答案
一、选择题（每题3分，共24分）
1．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a3•a4＝a12 C．（a3）4＝a12 D．（ab）2＝ab2
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方运算法则求解即可．
解：a2+a2＝2a2，
故A不符合题意；
a3•a4＝a7，
故B不符合题意；
（a3）4＝a12，
故C符合题意；
（ab）2＝a2b2，
故D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握这些知识是解题的关键．
2．把0.00000156用科学记数法表示为（ ）
A．156×108 B．15.6×10﹣7 C．1.56×10﹣5 D．1.56×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.00000156＝1.56×10﹣6，
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．下列说法正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．在同一平面内，平行于同一直线的两条直线互相平行
C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
【分析】根据对顶角性质、平行线的判定与性质判断求解即可．
解：相等的角不一定是对顶角，故A错误，不符合题意；
在同一平面内，不相交的两条直线必平行，故B正确，符合题意；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故C错误，不符合题意；
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故D错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
4．如图，在下列给出的条件中，不能判定AC∥DE的是（ ）
A．∠1＝∠A B．∠A＝∠3 C．∠3＝∠4 D．∠2+∠4＝180°
【分析】根据平行线的判定，逐项进行判断即可．
解：当∠1＝∠A时，可知是DE和AC被AB所截得到的同位角，可得到DE∥AC，故A可以；
当∠A＝∠3时，可知是AB、DF被AC所截得到的同位角，可得AB∥DF，故B不可以；
当∠3＝∠4时，可知是DE和AC被AB所截得到的内错角，可得DE∥AC，故C可以；
当∠2+∠A＝180°时，是一对同旁内角，可得DE∥AC；故D可以；
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的判定方法，掌握平行线的判定方法是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行．
5．若一个三角形三个内角度数的比为2：3：5，那么这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【分析】根据三角形内角和等于180°求出最大内角的度数，再得出选项即可．
解：∵三角形三个内角度数的比为2：3：5，
∴最大内角的度数是180＝90°，
∴此三角形是直角三角形，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，能熟记三角形内角和定理是解此题的关键，注意：三角形内角和等于180°．
6．若（﹣2x+a）（x﹣1）的结果中不含x的一次项，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则进行化简，然后令含x的一次项系数为零即可求出答案．
解：原式＝﹣2x2+（a+2）x﹣a，
∴a+2＝0，
∴a＝﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘多项式运算法则，本题属于基础题型．
7．从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个长方形（如图2），上述操作能验证的等式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+ab＝a（a+b）
【分析】分别求出从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形后剩余部分的面积和拼成的矩形的面积，根据剩余部分的面积相等即可得出算式，即可选出选项
解：∵从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积是：a2﹣b2，
图2拼成的是长为a+b，宽为a﹣b的矩形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
∴根据剩余部分的面积相等得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式的运用，解此题的关键是用算式表示图形的面积，用的数学思想是转化思想，即把实际问题转化成用数学式子表示出来．
8．星期六早晨蕊蕊妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她连续、匀速走了60min后回家，图中的折线段OA﹣AB﹣BC是她出发后所在位置离家的距离s（km）与行走时间t（min）之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据给定s关于t的函数图象，分析AB段可得出该段时间蕊蕊妈妈绕以家为圆心的圆弧进行运动，由此即可得出结论．
解：观察s关于t的函数图象，发现：
在图象AB段，该时间段蕊蕊妈妈离家的距离相等，即绕以家为圆心的圆弧进行运动，
∴可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是B．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的图象，解题的关键是分析函数图象的AB段．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象分析出大致的运动路径是关键．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．已知2x＝8，4y＝1，那么2x+2y的值是 8 ．
【分析】利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
解：∵2x＝8，4y＝1，
2x+2y
＝2x×22y
＝2x×4y
＝8×1
＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10．若x2+（m﹣1）x+16是完全平方式，则m的值是 9或﹣7 ．
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
解：∵x2+（m﹣1）x+16＝（x±4）2＝x2±8x+16，
∴m﹣1＝±8，
∴m＝9或﹣7．
故答案为：9或﹣7．
【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
11．一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角余角的度数是 30° ．
【分析】根据补角和余角的定义，利用“一个角的补角是它的余角的度数的3倍”作为相等关系列方程求解即可得出结果．
解：设这个角的度数是x，
则180°﹣x＝4（90°﹣x），
解得x＝60°．
∴这个角的余角＝90°﹣60°＝30．
答：这个角的余角度数是30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查余角和补角的知识，设出未知数是解决本题的关键，要掌握解答此类问题的方法．
12．如图，AD是△ABC的中线，M是AC边上的中点，连接DM，若△ABC的面积为12cm2，则△ADM的面积为 3 cm2．
【分析】根据三角形中线平分三角形面积进行求解即可．
解：∵AD是△ABC的中线，△ABC的面积为12cm2，
∴S△ACD＝S△ABC＝6cm2，
∵M是AC边上的中点，
∴S△ADM＝S△ACD＝3cm2．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了三角形的面积，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．
13．如图，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB和直线CD上，点P在两条平行线之间，∠AEP和∠CFP的角平分线交于点H，已知∠P＝78°，则∠H的度数为 141° ．
【分析】过点P作PQ∥AB，过点H作HG//AB．根据平行线的性质得到∠EPF＝∠BEP+∠DFP＝78°，结合角平分线的定义得到∠AEH+∠CFH，同理可得∠EHF＝∠AEH+∠CFH
解：过点P作PQ//AB，过点H作HG//AB．
∵AB//CD，
∴PQ//CD，HG//CD，
∴∠BEP＝∠QPE，∠DFP＝∠QPF，
∵∠EPF＝∠QPE+∠QPF＝78°，
∴∠BEP+∠DFP＝78°，
∴∠AEP+∠CFP＝360°﹣78＝282°，
∵EH平分∠AEP，HF平分∠CFP，
∴∠AEH+∠CFH＝282°÷2＝141°．
故答案为：141°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线构造内错角，利用两直线平行，内错角相等得出结论．
14．如图，某品牌自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．
（1）观察图形，填写如表；
链条节数/x（节）
2
3
4
5
…
链条长度/y（cm）
4.2
5.9
7.6
9.3
…
（2）如果一辆自行车的链条（安装以后）共由60节链条组成，那么链条的总长度是 102.8 cm．
【分析】（1）根据表格可知y与x的关系式，可知x＝5时，y的值；
（2）将x＝60代入（1）中函数关系式即可．
解：（1）根据题意，得y＝2.5+（2.5﹣0.8）（x﹣1）＝1.7x+0.8，
当x＝5时，y＝1.7×5+0.8＝9.3，
故答案为：9.3；
（2）当x＝60时，y＝1.7×60+0.8＝102.8（cm），
故答案为：102.8．
【点评】本题考查了图形的变化规律，函数关系式，根据表格信息表示出函数关系式是解题的关键．
15．如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝10，两正方形的面积和S1+S2＝52，则图中阴影部分面积是 12 ．
【分析】设两个正方形的边长分别为a、b，则a+b＝10，由S1+S2＝52可得a2+b2＝52，根据（a+b）2＝a2+b2+2ab代入求出ab的值即可．
解：设AC＝a，BC＝b，则a+b＝AB＝10，
∵S1+S2＝52，
∴a2+b2＝52，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴102＝52+2ab，
∴ab＝24，
∴阴影部分的面积为ab＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
16．A骑摩托车从甲地去乙地，B开汽车从乙地去甲地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两地间的距离为s（km）与甲行驶的时间为t（h）之间的关系如图所示．
（1）甲、乙两地之间的路程为 240 千米；
（2）甲出发 或 小时后甲、乙两地相距80千米．
【分析】（1）由图象直接可得甲，乙两地之间的路程为240千米；（2）求出A的速度为：240÷6＝40（千米/小时），B的速度为：240÷2﹣40＝80（千米/小时），设A出发t小时，A，B相距80千米，分两种情况列方程，可解得答案．
解：（1）由图象可得，当x＝0时，y＝240，
∴甲，乙两地之间的路程为240千米；
故答案为：240；
（2）由图象可得：A的速度为：240÷6＝40（千米/小时），B的速度为：240÷2﹣40＝80（千米/小时），
设A出发t小时，A，B相距80千米，由题意得：
相遇前：80t+40t+80＝240，
解得t＝，
相遇后：80（t﹣2）+40（t﹣2）＝80，
解得t＝，
综上所述，A出发小时或小时后，A、B两人相距80千米．
故答案为：或．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想和数形结合的思想解答．
三．解答题（共72分）
17．作图题．
用圆规，直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：点C为线段AB外一点，求作直线CD，使CD∥AB．
【分析】过点C作直线CE交AB于点E，作∠TCE＝∠CDB即可．
解：如图，直线CD即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．（20分）计算：
（1）﹣14+（﹣2）3+（π﹣3.14）0+（﹣）﹣2；
（2）（a2b）•（﹣2ab2）2÷（﹣0.5a4b5）；
（3）用乘法公式计算：20162﹣2018×2014．
（4）（3x+y﹣2）（3x﹣y+2）；
（5）（4ab3﹣a2b﹣ab）÷（ab）；
【分析】（1）先算乘方，零指数幂，负整数指数幂，再算加减即可；
（2）先算积的乘方，再算单项式乘单项式，最后算整式的除法即可；
（3）利用平方差公式进行运算即可；
（4）利用平方差公式及完全平方公式进行运算即可；
（5）利用整式的除法的法则进行运算即可．
解：（1）﹣14+（﹣2）3+（π﹣3.14）0+（﹣）﹣2
＝﹣1﹣8+1+9
＝1；
（2）（a2b）•（﹣2ab2）2÷（﹣0.5a4b5）
＝（a2b）•（4a2b4）÷（﹣0.5a4b5）
＝a4b5÷（﹣0.5a4b5）
＝﹣2；
（3）20162﹣2018×2014
＝20162﹣（2016+2）×（2016﹣2）
＝20162﹣（20162﹣4）
＝20162﹣20162+4
＝4；
（4）（3x+y﹣2）（3x﹣y+2）
＝[3x+（y﹣2）][3x﹣（y﹣2）]
＝（3x）2﹣（y﹣2）2
＝9x2﹣（y2﹣4y+4）
＝9x2﹣y2+4y﹣4；
（5）（4ab3﹣a2b﹣ab）÷（ab）
＝4ab3÷（ab）﹣a2b÷（ab）﹣ab÷（ab）
＝8b2﹣2a﹣1．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
19．先化简，再求值：[（2x+y）2+（2x+y）（y﹣2x）﹣6y]÷2y，其中x＝，y＝3．
【分析】先利用完全平方公式和平方差公式计算，进一步合并，最后代入求得数值即可．
解：原式＝（4x2+4xy+y2﹣4x2+y2﹣6y）÷2y
＝（2y2+4xy﹣6y）÷2y
＝y+2x﹣3
当x＝，y＝3时，
原式＝3+1﹣3＝1．
【点评】此题考查整式的化简求值，掌握计算公式和运算方法是解决问题的关键．
20．已知：如图，△ABC中，AC⊥BC，若D、E在AB边上，点F在AC边上，DG⊥BC于点G，
∠1＝∠2，求证：EF∥CD．将下列推理过程补充完整：
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC，（已知），
∴∠DGB＝∠ACB＝90°（ 垂直定义 ）．
∴DG∥AC（ 同位角相等，两直线平行 ）．
∴∠2＝ ∠DCA （ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝ ∠DCA （ 等量代换 ）．
∴EF∥CD（ 同位角相等，两直线平行 ）．
【分析】首先证明∠2＝∠DCA，然后根据∠1＝∠2，可得∠DCA＝∠1，再根据同位角相等，两直线平行可判定出EF∥DC．
【解答】证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC，（已知），
∴∠DGC＝∠ABC＝90° （垂直定义），
∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠DCA（两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠DCA（等量代换），
∴EF∥CD （同位角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直定义；同位角相等，两直线平行；∠DCA；两直线平行，内错角相等；∠DCA；等量代换；同位角相等，两直线平行．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质定理，掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系是解题的关键．
21．某经销商销售了一种水果，进价是25元/千克，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系：
每千克售价x（元）
…
38
37
36
35
…
25
每天销量
y（千克）
…
50
52
54
56
…
76
（1）从表格可以看出售价每下调1元销售量就增加 2 千克，每上涨1元销售量就减少 2 千克，直接写出每天销量y（千克）与每千克售价x（元）的函数关系式．
（2）求出当售价从38元/千克调整到44元/千克时，求这一天的销售量是多少千克？利润多少元？
【分析】（1）根据表格中的数据可得售价每下调1元销售量就增加2千克，每上涨1元销售量就增减少2千克，根据此关系可得当售价从38元/千克下调到x元/千克时，得出其销售量y，以此即可得到y与x的函数关系式；
（2）将x＝44代入（1）中求得的函数关系式中，求出这一天的销售量，再根据“利润＝（售价﹣成本）×销售量”即可解答
解：（1）从表格可以看出售价每下调1元销售量就增加2千克，每上涨1元销售量就增减少2千克，
当售价从38元/千克下调到x元/千克时，y＝50+2（38﹣x）＝126﹣2x，
∴每天销量y（千克）与每千克售价x（元）的函数关系式为y＝126﹣2x；
故答案为：2，2；
（2）当售价从38元/千克调整到44元/千克时，y＝126﹣2×44＝38，
∴这一天的销售量是38kg，
∵这种水果进价是25元/千克
∴利润为（44﹣25）×38＝722（元）．
∴这一天的销售量是38kg，利润722元．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，解题关键是从表格中得出售价每下调1元销售量就增加2千克，每上涨1元销售量就增减少2千克．
22．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．
（1）问AD与CE平行吗？如果平行请说明理由．
（2）若CE⊥AE于E，DA平分∠BDC，∠FAB＝68°，求∠1的度数．
【分析】（1）利用已知可得AB∥CD，从而可得∠2＝∠ADC，进而可得∠3+∠ADC＝180°，然后利用同旁内角互补，两直线平行可得AD∥CE，即可解答；
（2）根据垂直定义可得∠CEA＝90°，再利用（1）的结论可得∠CEA＝∠DAF＝90°，从而可得∠2＝22°，然后利用（1）的结论可得∠2＝∠ADC＝22°，再利用角平分线的定义可得∠CDF＝2∠ADC＝44°，即可解答．
解：（1）AD∥CE，
理由：∵∠1＝∠BDC，
∴AB∥CD，
∴∠2＝∠ADC，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠3+∠ADC＝180°，
∴AD∥CE；
（2）∵CE⊥AE，
∴∠CEA＝90°，
∵CE∥AD，
∴∠CEA＝∠DAF＝90°，
∵∠FAB＝68°，
∴∠2＝∠DAF﹣∠FAB＝22°，
∴∠2＝∠ADC＝22°，
∵DA平分∠CDF，
∴∠CDF＝2∠ADC＝44°，
∴∠1＝∠CDF＝44°，
∴∠1的度数为44°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
23．某数学兴趣小组在一组课题学习活动中以“钟表上时针与分针的重合时刻”为课题展开了研究．
【问题提出】如图①是某钟表，图②是该钟表的简化平面示意图，设时针、分针所在直线在同一平面内，直线l表示钟表的数轴线．在1：00～1：15之间求时针与分针的重合时刻．
【问题探究】设钟表中心为O，表示“12”的点为A，表示“1”的点为B，表示“3”的点为C，表示“6”的点为D，下面是小颖同学的研究过程：
解题思路：建立函数关系的方法求解．
（1）设自变量x和因变量y：设1：00后再经过xmin（0≤x≤15），时针、分针分别与OA所成夹角度数为y1°，y2°，直接写出y1，y2关于x的关系式．
（2）求解：
【问题解决】请按照小颖的思路解答此问题；
【问题拓展】求该钟表在1：15～1：30之间，时针与分针所在直线互相垂直的时刻．
【分析】（1）根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，根据题意列函数关系式，
（2）根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，根据题意列方程求解，
（3）根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，根据题意列方程求解．
解：（1）y1＝30+x；y2＝6x．
（2）根据题意得：6x＝30+x，解得x＝．
答：在1：00到1：15之间时针秘分针重合时刻为1点分钟．
（3）根据题意得：6x＝30+x+90，解得x＝．
答：在1：15到1：30之间时针与分针所在直线互相垂直的时刻为1点分钟．
【点评】本题考查了函数的图象和钟面角，一元一次方程的应用，数形结合思想是解题的关键．
24．已知直线MN∥PQ，点A在直线MN上，点B，C为平面内两点，AC⊥BC于点C．
（1）如图1，当点B在直线MN上，点C在直线MN上方时，延长CB交直线PQ于点D，则∠CAB和∠CDP之间的数量关系是 ∠CAB+∠CDP＝90° ；
（2）如图2，当点C在直线MN上且在点A左侧，点B在直线MN与PQ之间时，过点B作BD⊥AB交直线PQ于点D．为探究∠ABC与∠BDP之间的数量关系，小明过点B作BF∥MN请根据他的思路，写出∠ABC与∠BDP的关系，并说明理由；
（3）请从下面A，B两题中任选一题作答．A．如图3，在（2）的条件下，作∠ABD的平分线交直线MN于点E，当∠AEB＝2∠ABC时直接写出∠ABC的度数；B．如图4，当点C在直线MN上且在点A左侧，点B在直线PQ下方时，过点B作BD⊥AB交直线PQ于点D，作∠ABD的平分线交直线MN于点E，当∠BDP＝2∠BEN时，直接写出∠ABC的度数．
【分析】（1）利用平行线的性质即可得出结论；
（2）利用平行线的性质和角度的计算即可得出结论；
（3）A题需要作出辅助线BF∥MN，即可求解；B题利用平行线的性质，用∠ABC表示出∠BDP，然后放在△ABC和△ABE中求解即可．
解：（1）∵AC⊥BC，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵MN∥PQ，
∴∠CBA＝∠CDP，
∴∠CAB+∠CDP＝90°，
故答案为：∠CAB+∠CDP＝90°；
（2）∠ABC＝∠BDP，理由如下：
∵BF∥MN，MN∥PQ，
∴BF∥PQ，
∴∠NCB+∠CBF＝180°，∠FBD＝∠BDP，
∵AC⊥BC，
∴∠CBF＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABC+∠ABF＝90°，
∵BD⊥AB，
∴∠ABF+∠DBF＝90°，
∴∠ABC＝∠FBD，
∴∠ABC＝∠BDP，
（3）选择A，
如图，过点B作BF∥MN，
设∠ABC＝x，则：
∠AEB＝∠EBF＝2x，
由（2）可得∠BDP＝∠ABC＝x，
∴∠DBF＝x，
∠EBD＝∠EBF+∠DBF＝3x，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABD＝6x，
∵AB⊥BD，
∴6x＝90°，
解得：x＝15°，
∴∠ABC＝15°；
选择B，
设∠ABC＝x，
∵BA⊥AC，MN∥PQ，BC⊥PQ，
∴∠QDB+∠DBC＝90°，
∵AB⊥BD，
∴∠ABC+∠DBC＝90°，
∴∠ABC＝∠QDB＝x，
∴∠BDP＝180°﹣x，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝∠DBE＝45°，
在△ABC中，∠CAB＝90°﹣x，
在△ABE中，
∠ABE＝180°﹣∠ABE﹣∠CAB＝180°﹣45°﹣（90°﹣x）＝45°+x，
∠BEN＝45°+x，
∵∠BDP＝2∠BEN，
∴180°﹣x＝2（45°+x），
解得：x＝30°，
∴∠ABC＝30°．
【点评】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，本题的难点在于第三问A题中辅助线的做法．
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