2022-2023学年重庆实验外国语学校七年级（下）期中数学试卷(含解析)

这是一份2022-2023学年重庆实验外国语学校七年级（下）期中数学试卷(含解析)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆实验外国语学校七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．实数﹣2023的相反数是（　　）
A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣
2．不等式2x﹣1＞1的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置，点C落在直线b上．若∠1＝48°，则∠2的度数为（　　）

A．42° B．48° C．52° D．58°
4．下列说法正确的是（　　）
A．在同一平面内，a⊥b，b⊥c，则c⊥a
B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．两点之间，线段最短
5．若x＜y，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．ax＜ay B．x2＜y2 C． D．﹣x+3＞﹣y+3
6．估计的值在（　　）
A．6到7之间 B．5到6之间 C．4到5之间 D．3到4之间
7．当前，九龙坡区正在全力创建全国文明城区（简称“创文”）．某社区积极响应“创文”活动，投入一定资金用于绿化一块闲置空地，购买了甲、乙两种树木，其中甲种树木每棵100元，乙种树木每棵80元，乙种树木比甲种树木小8棵，共用去资金8000元．设甲种树木购买了x棵、乙种树木购买了y棵，根据题意，可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
8．在平面直角坐标系中，已知点A（a﹣1，3），点B（﹣2，a+1），且直线AB∥y轴，则点（﹣a，a+3）位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向右平移1个单位长度，再竖直向上平移1个单位长度得点P1（1，1）；接着水平向左平移2个单位长度，再竖直向下平移2个单位长度得到点P2；接着水平向右平移3个单位长度，再竖直向上平移3个单位长度得到点P3；接着水平向左平移4个单位长度，再竖直向下平移4个单位长度得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2033的坐标为（　　）

A．（﹣1013，﹣1013） B．（1011，1011）
C．（1012，1012） D．（1013，1013）
10．如图，将△ABC沿BA方向平移1cm得到对应的△A′B′C′，延长A′C′，BC交于点E．若∠ABC＝90°，B′A＝4cm，BE＝8cm，A′E＝10cm，P为线段A′E上一动点，连接PB，则PB的最小值为（　　）cm．

A．4.8 B．5 C．5.8 D．6
11．如图，已知点C是线段AB上一点，AC：BC＝8：3，点E是AB的中点，点D是AC的中点．若DE＝9，则AB的长为（　　）

A．48 B．52 C．60 D．66
12．若关于x的方程x+2＝3（x﹣1）+a的解为正整数，且关于y的不等式组的解集为y＜2，则所有满足条件的整数a的值之和为（　　）
A．3 B．4 C．8 D．9
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．已知∠A＝36°，则∠A的补角的度数为 　 　°．
14．（﹣5）2的平方根是　 　．
15．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 　 　．

16．已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程2y﹣x＝4的解，则a的值为 　 　．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A，点B，点C的坐标分别是（﹣4，4），（﹣2，﹣4），（4，﹣2），点D与点A关于y轴对称，顺次连接A，B，C，D四点得到四边形ABCD，点P是四边形ABCD边上的一个动点，连接PB，若PB将四边形ABCD的面积分为1：4的两部分，则点P的坐标为 　 　．

18．材料：对于一个四位正整数，若a+c＝b+d＝11，则称这个数为“尚美数”，并记，．例如：对于四位正整数3586，∵3+8＝11，5+6＝11，∴3586是“尚美数”，且，G（M）＝35﹣86＝﹣51．若一个“尚美数”M的千位数字小于百位数字，且G（M）是7的整数倍，则f（M）的最小值为 　 　．
三、解答题：（本大题共8个小题，23小题8分，其余每小题10分，共78分）
19．计算：
（1）；
（2）．
20．解方程组或不等式组：
（1）解方程组：；
（2）解不等式组：．
21．先化简，再求值：，其中a，b满足|2a﹣1|+（b+4）2＝0．
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（1，﹣2），B（3，4），C（﹣1，2）．若△ABC向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到△A′B′C′，且点A，B，C的对应点分别是A′，B′，C′．
（1）画出△A′B′C′，直接写出点A′的坐标：（ 　 　，　 　），B′的坐标：（ 　 　，　 　），C′的坐标：（ 　 　，　 　）；
（2）若线段BC上有一点Q（m，n）经过上述平移后的对应点为Q′，则点Q′的坐标为（ 　 　，　 　）．
（3）求△A′B′C′的面积．

23．如图，在△ABC中，点D，E，F分别为边AB，BC，AC上的点，点G在CA的延长线上．已知∠1＝∠B，∠2＝∠BAC，∠G＝90°，求证：DE⊥DG．
证明：∵∠1＝∠B，
∴AB∥EF（ 　 　）．
∴∠2＝　 　（两直线平行，内错角相等）
∵∠2＝∠BAC，
∴∠BDE＝∠BAC．
∴　 　（同位角相等，两直线平行）．
∴∠G+∠GDE＝180°（ 　 　）．
∵∠G＝90°，∴∠GDE＝90°．∴DG⊥DE（垂直的定义）．

24．为满足市民对水果的需求，某水果店分别以每千克15元和10元的价格一次性购进了苹果和梨共200千克，苹果按每千克获利40%的价格销售，梨每千克售价是苹果每千克售价的，经过一段时间后，这两种水果都销售完毕，经统计，销售这两种水果共获利1020元．
（1）该水果店此次购进的苹果和梨分别是多少千克？
（2）因为市民对这两种水果仍有需求，于是该水果店又以与上次相同的价格购进了一些苹果和梨，购进苹果的数量比上次减少10千克，购进梨的数量与上次相同．由于市场原因，该水果店调整了这两种水果的销售单价，苹果每千克售价下调了，梨每千克售价上调了，若要求销售完这些苹果和梨的总利润不得低于771元，求a的最大值．
25．如图1，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠DCB，点E是边AD上的一点，连接CE，∠ABC的平分线与∠ECD的平分线相交于点P．

（1）求证：
①AB∥CD；
②2∠P+∠ECB＝180°；
（2）如图2，∠BCP的平分线交AD于点F，若4∠P＝3∠DEC，3∠D＝2∠DFC，求∠PCF的度数．
26．如图1，在平面直角坐标系内，直线AB与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，点C是x轴负半轴上一点，点D是直线AB上位于第四象限内的一点，直线MN经过原点O，且OM平分∠BOC，∠BAC的平分线与直线MN交于点E，∠CAD的平分线与直线MN交于点F．

（1）判断AE与AF的位置关系，并说明理由；
（2）在∠EAF，∠AEF，∠AFE中，如果有一个角是另一个角的4倍，直接写出∠ABO的度数：　 　；
（3）如图2，当∠ABO取（2）结论中的最大值时，过点A作AQ⊥AB交直线MN于点Q，点G是直线MN上一点且∠DAG＝27°，现将∠BAC绕点A逆时针旋转a度，（0＜α＜135）得到∠B'AC'，射线AC'交直线MN于点H，∠HAD的平分线交直线MN于点P，在旋转过程中，是否存在α，使得∠GAH+∠QAB'＝∠QPA，若存在，请直线写出a的值；若不存在，请说明理由．


参考答案
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．实数﹣2023的相反数是（　　）
A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣
【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．
解：实数﹣2023的相反数是2023．
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
2．不等式2x﹣1＞1的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
解：∵2x﹣1＞1，
∴2x＞1+1，
2x＞2，
则x＞1，
故选：B．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
3．已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置，点C落在直线b上．若∠1＝48°，则∠2的度数为（　　）

A．42° B．48° C．52° D．58°
【分析】先利用平角定义求出∠DCA的度数，再根据平行线的性质即可解答．
解：如图：

∵∠1＝48°，∠BCA＝90°，
∴∠DCA＝180°﹣∠1﹣∠BCA＝42°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠DCA＝42°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4．下列说法正确的是（　　）
A．在同一平面内，a⊥b，b⊥c，则c⊥a
B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．两点之间，线段最短
【分析】根据平行线的判定与性质、平行公理、线段的性质等判断求解即可．
解：在同一平面内，a⊥b，b⊥c，则c∥a，故A错误，不符合题意；
两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故B错误，不符合题意；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故C错误，不符合题意；
两点之间，线段最短，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
5．若x＜y，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．ax＜ay B．x2＜y2 C． D．﹣x+3＞﹣y+3
【分析】根据不等式的基本性质对各选项进行分析即可．
解：A、当a＝0时，不等式不成立，不符合题意；
B、当x＜y＜0时，不等式不成立，不符合题意；
C、∵x＜y，∴＜，原变形错误，不符合题意；
D、∵x＜y，∴﹣x＞﹣y，∴﹣x+3＞﹣y+3，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的基本性质是解题的关键．
6．估计的值在（　　）
A．6到7之间 B．5到6之间 C．4到5之间 D．3到4之间
【分析】先估算出的值的范围，从而估算出﹣2的值的范围，即可解答．
解：∵36＜47＜49，
∴6＜＜7，
∴4＜﹣2＜5，
∴估计的值在4到5之间，
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．
7．当前，九龙坡区正在全力创建全国文明城区（简称“创文”）．某社区积极响应“创文”活动，投入一定资金用于绿化一块闲置空地，购买了甲、乙两种树木，其中甲种树木每棵100元，乙种树木每棵80元，乙种树木比甲种树木小8棵，共用去资金8000元．设甲种树木购买了x棵、乙种树木购买了y棵，根据题意，可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用总价＝单价×数量，结合购进两种树苗棵数间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
解：∵购进的乙种树木比甲种树木少8棵，
∴x﹣y＝8；
∵购进这批树木共用去资金8000元，
∴100x+80y＝8000．
∴根据题意可列方程组．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．在平面直角坐标系中，已知点A（a﹣1，3），点B（﹣2，a+1），且直线AB∥y轴，则点（﹣a，a+3）位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据点A（a﹣1，3），点B（﹣2，a+1），且直线AB∥y轴，可知点A和点B的横坐标相等，从而可以得到a﹣1＝﹣2，然后求出a的值即可．
解：∵点A（a﹣1，3），点B（﹣2，a+1），且直线AB∥y轴，
∴a﹣1＝﹣2，
解得a＝﹣1，
∴﹣a＝1，a+3＝2，
∴点（1，2）位于第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确平行于y轴的直线上的点的横坐标都相等．
9．如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向右平移1个单位长度，再竖直向上平移1个单位长度得点P1（1，1）；接着水平向左平移2个单位长度，再竖直向下平移2个单位长度得到点P2；接着水平向右平移3个单位长度，再竖直向上平移3个单位长度得到点P3；接着水平向左平移4个单位长度，再竖直向下平移4个单位长度得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2033的坐标为（　　）

A．（﹣1013，﹣1013） B．（1011，1011）
C．（1012，1012） D．（1013，1013）
【分析】观察图象可知，奇数点在第一象限，由题意得P1（1，1），P3（2，2）…，可得P2n﹣1（n，n），即可求解．
解：由题意得，奇数点在第一象限，
∵动点P从原点O出发，水平向右平移1个单位长度，再竖直向上平移1个单位长度得点P1（1，1）；
接着水平向左平移2个单位长度，再竖直向下平移2个单位长度得到点P2（﹣1，﹣1）；
接着水平向右平移3个单位长度，再竖直向上平移3个单位长度得到点P3（2，2）；
接着水平向左平移4个单位长度，再竖直向下平移4个单位长度得到点P4（﹣2，﹣2）；
…，
∴P2n﹣1（n，n），
∴P2023（1012，1012）．
故选：C．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，规律型等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
10．如图，将△ABC沿BA方向平移1cm得到对应的△A′B′C′，延长A′C′，BC交于点E．若∠ABC＝90°，B′A＝4cm，BE＝8cm，A′E＝10cm，P为线段A′E上一动点，连接PB，则PB的最小值为（　　）cm．

A．4.8 B．5 C．5.8 D．6
【分析】根据平移的性质得A′B＝6cm，当BP⊥A′E时，BP最小，此时有A′B•BE＝A′E•BP，即×6×8＝×10×BP，即可求出答案．
解：∵将△ABC沿BA方向平移1cm得到对应的△A′B′C′，
∴AA′＝BB′＝1cm，
∵B′A＝4cm，
∴A′B＝6cm，
∵∠ABC＝90°，BE＝8cm，A′E＝10cm，
当BP⊥A′E时，BP最小，
此时有A′B•BE＝A′E•BP，
即×6×8＝×10×BP，
∴BP＝4.8（cm），
∴PB的最小值为4.8cm．
故选：A．
【点评】本题考查了平移的性质和垂线段最短，根据平移的性质得到AA′＝BB′＝1cm是解题的关键．
11．如图，已知点C是线段AB上一点，AC：BC＝8：3，点E是AB的中点，点D是AC的中点．若DE＝9，则AB的长为（　　）

A．48 B．52 C．60 D．66
【分析】设AB＝x，根据AC：BC＝8：3，得AC＝x，再根据点E是AB的中点，点D是AC的中点，得AE＝AB＝x，AD＝AC＝x，所以DE＝AE﹣AD＝x﹣x＝9，解得x＝66，可得答案；
解：设AB＝x，
∵AC：BC＝8：3，
∴AC＝x，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝AB＝x，
∵点D是AC的中点，
∴AD＝AC＝x，
∵DE＝9，
∴DE＝AE﹣AD＝x﹣x＝9，
解得x＝66，
∴AB＝66．
故选：D．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出AE＝AB＝x，AD＝AC＝x，是解题关键．
12．若关于x的方程x+2＝3（x﹣1）+a的解为正整数，且关于y的不等式组的解集为y＜2，则所有满足条件的整数a的值之和为（　　）
A．3 B．4 C．8 D．9
【分析】先解方程，得x＝，再根据题意可得a＜5，再解不等式组，根据题意可得6+4a≥2，进一步可得a的取值范围，即可求出满足条件的整数a的和．
解：方程x+2＝3（x﹣1）+a，
解得x＝，
∵解为正整数，
∴＞0，
解得a＜5，
解不等式，得y≤6+4a，
解不等式，得y＜2，
∵不等式组的解集为y＜2，
∴6+4a≥2，
解得a≥﹣1，
∴﹣1≤a＜5且为正整数，
∴整式a的值为﹣1或1或3，
∴整数a的值之和为：﹣1+1+3＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式组的解集等，解题的关键是熟练掌握解方程和不等式组的方法．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
13．已知∠A＝36°，则∠A的补角的度数为 　144　°．
【分析】根据互补两角之和为180°即可求解．
解：∵∠A＝36°，
∴∠A的补角＝180°﹣36°＝144°．
故答案为：144．
【点评】本题考查了补角的知识，掌握互补两角之和等于180°是解题的关键．
14．（﹣5）2的平方根是　±5　．
【分析】先求得（﹣5）2的值，然后依据平方根的性质求解即可．
解：（﹣5）2＝25，25的平方根是±5．
故答案为：±5．
【点评】本题主要考查的是平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．
15．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 　1　．

【分析】根据数轴上点的位置确定出b﹣a，a的正负，原式利用绝对值的代数意义，立方根及算术平方根性质计算即可求出值．
解：根据数轴上点的位置得：﹣1＜b＜0＜1＜a，且|b|＜1，
∴b﹣a＜0，b+1＞0，
则原式＝a﹣b﹣a+b+1＝1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了实数的运算，立方根，以及实数与数轴，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
16．已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程2y﹣x＝4的解，则a的值为 　5　．
【分析】由于方程组的解与二元一次方程的解相同，可得新方程组并求解，然后代入含a的方程求值即可．
解：由题意可得，
由①，得y＝2x﹣1③，
把③代入②，得2（2x﹣1）﹣x＝4，
解这个方程，得x＝2．
把x＝2代入③，得y＝3．
所以该方程组的解为．
把代入3x+y＝2a﹣1，得a＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了二元一次方程组，掌握方程组的解和方程的解的意义及二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A，点B，点C的坐标分别是（﹣4，4），（﹣2，﹣4），（4，﹣2），点D与点A关于y轴对称，顺次连接A，B，C，D四点得到四边形ABCD，点P是四边形ABCD边上的一个动点，连接PB，若PB将四边形ABCD的面积分为1：4的两部分，则点P的坐标为 　（，4）或（4，）　．

【分析】先根据各坐标求出四边形ABCD的面积，再分情况讨论当点P在AD上和CD上的点P坐标．
解：作BH⊥AD于H，
∵点D与点A关于y轴对称，点A（﹣4，4），
∴点D坐标为（4，4），
∵点B，点C的坐标分别是（﹣2，﹣4），（4，﹣2），
∴AH＝2，HD＝6，BH＝8，CD＝6，
S△ABH＝•AH•BH＝×2×8＝8，
S梯形CDHB＝•（CD+BH）•DH＝×（6+8）×6＝42，
S四边形ABCD＝42+8＝50，
如图1，当点P在AD上时，
∵S△ABP：S四边形CDPB＝1：4，
∴S△ABP＝10，
∴•AP•BH＝10，
∴AP＝，
∵4﹣＝，
∴点P坐标为：（，4）；

如图2，当点P在CD上时，
∵S△ACP：S四边形CDPB＝1：4，
∴S△ACP＝10，
∴•CP•DH＝10，
∴CP＝，
∵﹣2＝，
∴点P坐标为：（4，）

综上，点P坐标为（，4）或（4，）．
【点评】本题考查了坐标系中图形的面积的求法，分情况讨论点P的位置是解题关键．
18．材料：对于一个四位正整数，若a+c＝b+d＝11，则称这个数为“尚美数”，并记，．例如：对于四位正整数3586，∵3+8＝11，5+6＝11，∴3586是“尚美数”，且，G（M）＝35﹣86＝﹣51．若一个“尚美数”M的千位数字小于百位数字，且G（M）是7的整数倍，则f（M）的最小值为 　﹣3　．
【分析】设M＝，由“尚美数”的定义，可得出c＝11﹣a，d＝11﹣b，进而可得出G（M）＝20a+2b﹣121，由a，b，c，d之间的关系，可得出a可以是2，3，4，5，6，7，8，代入各a值，结合G（M）是7的整数倍且a＜b，可求出符合题意的b值，结合f（M）＝，可求出各f（M）的值，比较后即可得出结论．
解：设M＝，
∵M是“尚美数”，
∴a+c＝b+d＝11，
∴c＝11﹣a，d＝11﹣b，
∴G（M）＝﹣＝10a+b﹣10c﹣d＝10a+b﹣10（11﹣a）﹣（11﹣b）＝20a+2b﹣121．
∵a+c＝b+d＝11，a，b，c，d均为一位正整数，且a＜b，
∴a可以是2，3，4，5，6，7，8．
当a＝2时，G（M）＝20×2+2b﹣121＝2b﹣81，
∵2b﹣81是7的整数数，b＞a，且b为一位正整数，
∴b＝9，此时f（M）＝＝﹣1；
当a＝3时，G（M）＝20×3+2b﹣121＝2b﹣61，
∵2b﹣61是7的整数倍，b＞a，且b为一位正整数，
∴b＝6，此时f（M）＝＝﹣；
当a＝4时，G（M）＝20×4+2b﹣121＝2b﹣41，
∵2b﹣41是7的整数倍，b＞a，且b为一位正整数，
∴不存在符合题意的b值；
当a＝5时，G（M）＝20×5+2b﹣121＝2b﹣21，
∵2b﹣21是7的整数倍，b＞a，且b为一位正整数，
∴b＝7，此时f（M）＝＝﹣3；
当a＝6时，G（M）＝20×6+2b﹣121＝2b﹣1，
∵2b﹣1是7的倍数，b＞a，且b为一位正整数，
∴不存在符合题意的b值；
当a＝7时，G（M）＝20×7+2b﹣121＝2b+19，
∵2b+19是7的倍数，b＞a，且b为一位正整数，
∴b＝8，此时f（M）＝＝；
当a＝8时，G（M）＝20×8+2b﹣121＝2b+39，
∵2b+39是7的倍数，b＞a，且b为一位正整数，
∴不存在符合题意的b值．
∵﹣3＜﹣1＜﹣＜，
∴f（M）的最小值为﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了整数问题的综合运用，根据各数之间的关系，找出符合题意的a，b的值是解题的关键．
三、解答题：（本大题共8个小题，23小题8分，其余每小题10分，共78分）
19．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答．
解：（1）
＝3+（﹣2）﹣（π﹣2）
＝3﹣2﹣π+2
＝3﹣π；
（2）
＝÷×（﹣）﹣4
＝×9×（﹣）﹣4
＝﹣6﹣4
＝﹣10．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．解方程组或不等式组：
（1）解方程组：；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）根据二元一次方程组的求解方法，采用加减消元法，将二元一次方程组转化为一元一次方程，分别求解x、y即可；
（2）分别求出两个不等式的解集，然后再求不等式组的解集．
解：（1），
①×3﹣②×2，得：5x＝55，
解得x＝11，
将x＝11代入①，得：33+2y＝13，
解得：y＝﹣10．
∴方程组的解为；
（2），
解第一个不等式得x＞﹣5，
解第二个不等式得y≤3．
故不等式组的解集为﹣5＜y≤3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的方法及解一元一次不等式组的方法是解答本题的关键．
21．先化简，再求值：，其中a，b满足|2a﹣1|+（b+4）2＝0．
【分析】利用去括号的法则去掉括号后，合并同类项，利用非负数的意义求得a，b的值，再将a，b的值代入运算即可．
解：∵|2a﹣1|+（b+4）2＝0，|2a﹣1|≥0，（b+4）2≥0，
∴2a﹣1＝0，b+4＝0，
∴a＝，b＝﹣4．
原式＝a3b﹣a2b3﹣2ab+3+2ab﹣2a2b3
＝a3b+，
当a＝，b＝﹣4时，
原式＝（﹣4）+
＝（﹣4）+
＝﹣
＝0．
【点评】本题主要考查了整式的加减，非负数的性质，熟练掌握去括号的法则是解题的关键．
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（1，﹣2），B（3，4），C（﹣1，2）．若△ABC向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到△A′B′C′，且点A，B，C的对应点分别是A′，B′，C′．
（1）画出△A′B′C′，直接写出点A′的坐标：（ 　﹣1　，　1　），B′的坐标：（ 　1　，　7　），C′的坐标：（ 　﹣3　，　5　）；
（2）若线段BC上有一点Q（m，n）经过上述平移后的对应点为Q′，则点Q′的坐标为（ 　m﹣2　，　n+3　）．
（3）求△A′B′C′的面积．

【分析】（1）根据坐标画出图形也可以利用平移的性质画出图形，进而根据平移规律写出坐标即可．
（2）根据平移规律写出坐标即可．
（3）利用分割法把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．
解：（1）如图所示：
点A′的坐标（﹣1，1）；点B′的坐标（1，7），点C′的坐标（﹣3，5）；
故答案为：﹣1，1；1，7：﹣3，5；
（2）由平移规律可知，点Q′的坐标为（m﹣2，n+3），
故答案为：m﹣2，n+3；
（3）△A′B′C′的面积＝＝10．

【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
23．如图，在△ABC中，点D，E，F分别为边AB，BC，AC上的点，点G在CA的延长线上．已知∠1＝∠B，∠2＝∠BAC，∠G＝90°，求证：DE⊥DG．
证明：∵∠1＝∠B，
∴AB∥EF（ 　同位角相等，两直线平行　）．
∴∠2＝　∠BDE　（两直线平行，内错角相等）
∵∠2＝∠BAC，
∴∠BDE＝∠BAC．
∴　DE∥AC　（同位角相等，两直线平行）．
∴∠G+∠GDE＝180°（ 　两直线平行，同旁内角互补　）．
∵∠G＝90°，∴∠GDE＝90°．∴DG⊥DE（垂直的定义）．

【分析】根据平行线的判定与性质判定与性质求解即可．
【解答】证明：∵∠1＝∠B，
∴AB∥EF（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠BDE（两直线平行，内错角相等），
∵∠2＝∠BAC，
∴∠BDE＝∠BAC，
∴DE∥AC（同位角相等，两直线平行），
∴∠G+∠GDE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠G＝90°，
∴∠GDE＝90°，
∴DG⊥DE（垂直的定义），
故答案为：同位角相等，两直线平行；∠BDE；DE∥AC；两直线平行，同旁内角互补．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
24．为满足市民对水果的需求，某水果店分别以每千克15元和10元的价格一次性购进了苹果和梨共200千克，苹果按每千克获利40%的价格销售，梨每千克售价是苹果每千克售价的，经过一段时间后，这两种水果都销售完毕，经统计，销售这两种水果共获利1020元．
（1）该水果店此次购进的苹果和梨分别是多少千克？
（2）因为市民对这两种水果仍有需求，于是该水果店又以与上次相同的价格购进了一些苹果和梨，购进苹果的数量比上次减少10千克，购进梨的数量与上次相同．由于市场原因，该水果店调整了这两种水果的销售单价，苹果每千克售价下调了，梨每千克售价上调了，若要求销售完这些苹果和梨的总利润不得低于771元，求a的最大值．
【分析】（1）设该水果店此次购进苹果x千克，梨y千克，根据“该水果店购进苹果和梨共200千克，且全部售出后共获利1020元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量（购进数量），结合总利润不低于771元，可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
解：（1）设该水果店此次购进苹果x千克，梨y千克，
根据题意得：，
解得：．
答：该水果店此次购进苹果110千克，梨90千克；
（2）根据题意得：[15×（1+40%）×（1﹣a%）﹣15]×（110﹣10）+[15×（1+40%）××（1+a%）﹣10]×90≥771，
整理得：960﹣12.6a≥771，
解得：a≤15，
∴a的最大值为15．
答：a的最大值为15．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25．如图1，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠DCB，点E是边AD上的一点，连接CE，∠ABC的平分线与∠ECD的平分线相交于点P．

（1）求证：
①AB∥CD；
②2∠P+∠ECB＝180°；
（2）如图2，∠BCP的平分线交AD于点F，若4∠P＝3∠DEC，3∠D＝2∠DFC，求∠PCF的度数．
【分析】（1）①根据平行线的性质和等量代换可得：∠ABC+∠DCB＝180°，从而得结论；
②如图1，过点P作PG∥CD，根据平行线的性质得：∠ABP＝∠BPG，∠DCP＝∠CPG，由角平分线的定义，角的和差，三角形的内角和定理可得结论；
（2）如图2，设∠P＝3x，∠DEC＝4x，∠D＝2y，∠DFC＝3y，根据△BPC中三角形的内角和定理可得x的值，由平行线的性质和角平分线的定义表示∠CBP＝y，∠BCP＝2∠BCF＝6y，列方程可得y的值，从而可以解答．
【解答】（1）证明：①∵AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∵∠A＝∠DCB，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，
∴AB∥CD；
②∵BP平分∠ABC，CP平分∠DCE，
∴∠ABP＝∠CBP，∠DCP＝∠ECP，
如图1，过点P作PG∥CD，

∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PG，
∴∠ABP＝∠BPG，∠DCP＝∠CPG，
∴∠BPC＝∠BPG+∠CPG＝∠ABP+∠DCP＝∠PBC+∠ECP，
在△BPC中，∠BPC+∠PBC+∠ECP+∠ECB＝180°，
∴2∠BPC+∠ECB＝180°；
（2）解：如图2，设∠P＝3x，∠DEC＝4x，
∵AD∥BC，
∴∠ECB＝∠DEC＝4x，
由（1）知：2∠P+∠ECB＝180°，
∴6x+4x＝180，
∴x＝18°，
∴∠P＝54°，
∵3∠D＝2∠DFC，
∴设∠D＝2y，∠DFC＝3y，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，∠A+∠D＝180°，∠BCF＝∠DFC＝3y，
∴∠ABC＝∠D＝2y，
∴∠CBP＝y，
∵CF平分∠BCP，
∴∠BCP＝2∠BCF＝6y，
△BCP中，∠CBP+∠P+∠BCP＝180°，
∴y+54°+6y＝180°，
∴y＝18°，
∴∠PCF＝3y＝3×18°＝54°．
【点评】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质与判定，三角形的内角和定理等知识的综合运用，灵活运用相关定义与性质求解角的度数是解题的关键．
26．如图1，在平面直角坐标系内，直线AB与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，点C是x轴负半轴上一点，点D是直线AB上位于第四象限内的一点，直线MN经过原点O，且OM平分∠BOC，∠BAC的平分线与直线MN交于点E，∠CAD的平分线与直线MN交于点F．

（1）判断AE与AF的位置关系，并说明理由；
（2）在∠EAF，∠AEF，∠AFE中，如果有一个角是另一个角的4倍，直接写出∠ABO的度数：　36°或45°　；
（3）如图2，当∠ABO取（2）结论中的最大值时，过点A作AQ⊥AB交直线MN于点Q，点G是直线MN上一点且∠DAG＝27°，现将∠BAC绕点A逆时针旋转a度，（0＜α＜135）得到∠B'AC'，射线AC'交直线MN于点H，∠HAD的平分线交直线MN于点P，在旋转过程中，是否存在α，使得∠GAH+∠QAB'＝∠QPA，若存在，请直线写出a的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由角平分线的性质和平角的性质可求解；
（2）由外角的性质可求∠ABO＝2∠AEO，分四种情况讨论，由三角形内角和定理可求解；
（3）分三种情况讨论，列出方程可求解．
解：（1）AE⊥AF，理由如下：
∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD，
∴∠BAE＝∠CAE，∠CAF＝∠DAF，
∵∠BAC+∠CAD＝180°，
∴∠CAE+∠CAF＝90°，
∴∠EAF＝90°，
∴AE⊥AF；
（2）∵OM平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOE，
∵∠BOC＝∠ABO+∠BAO，∠COE＝∠OAE+∠OEA，
∴∠BOC＝2∠COE＝2∠OAE+2∠OEA＝∠ABO+∠BAO，
∴∠ABO＝2∠AEO，
当∠EAF＝4∠AEF＝90°，
∴∠AEF＝22.5＝∠AEO，
∴∠ABO＝45°；
当∠EAF＝4∠AFE＝90°，
∴∠AFE＝22.5°，
∴∠AEF＝67.5°＝∠AEO，
∴∠ABO＝135°（舍去）；
当∠AFE＝4∠AEF，
∵∠AFE+∠AEF＝90°，
∴∠AEF＝18°＝∠AEO，
∴∠ABO＝36°；
当∠AEF＝4∠AFE，
∵∠AFE+∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝18°，
∴∠AEF＝72°＝∠AEO，
∴∠ABO＝144°（舍去）；
综上所述：∠ABO的度数为36°或45°，
故答案为：36°或45°；
（3）当0＜α≤90°时，
∵∠GAH＝180°﹣45°﹣27°﹣α＝108°﹣α，∠QAB'＝90°﹣α，∠QPA＝∠PAD＝∠HAD＝，
∴108°﹣α+90°﹣α＝，
∴α＝87°；
当90°＜α≤108°时，
∵∠QPA＝∠PAD＝∠HAD＝，∠GAH＝108°﹣α，∠QAB'＝α﹣90°，
∴108°﹣α+α﹣90°＝，
∴α＝99°；
当108°＜α≤135°时，
∵∠QPA＝∠PAD＝∠HAD＝，∠GAH＝α﹣108°，∠QAB'＝α﹣90°，
∴α﹣90°+α﹣108°＝，
∴α＝106.2（舍去）．
综上所述：α的值为87°或99°．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了平行线的性质，角平分线的性质，外角的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．