广西南宁市第三中学邕衡金卷2022-2023学年高三数学（文）一模试卷（Word版附答案）

邕衡金卷・南宁三中2023届高三校一模

文科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知函数，那么（    ）

A．7 B．6 C．5 D．4

3．已知直线是曲线的切线，则（    ）

A．－1 B．－2 C．1 D．2

4．被誉为“东方模板”的“七巧板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向此正方形内抛一粒种子，则种子落入小正方形（阴影）部分的概率为（    ）

A． B． C． D．

5．已知成等比数列，1和4是其中的两项，则的最小值为（    ）

A．－64 B．－8 C． D．

6．在平面直角坐标系中，角与的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，它们的终边关于原点对称，且，则（    ）

A． B． C． D．

7．有下列四个命题，其中是假命题的是（    ）

A．已知，其在复平面上对应的点落在第四象限

B．“全等三角形的面积相等”的否命题

C．在中，“”是“”的必要不充分条件

D．命题“，”的否定是“，”

8．已知，则！被5除所得余数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

9．如图，网格纸上用粗实线绘制了一个几何体的三视图，每一个小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

10．已知抛物线的焦点为，过点作两条互相垂直的直线，且直线分别与抛物线交于和，则四边形面积的最小值是（    ）

A．32 B．64 C．128 D．256

11．若，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（    ）

A．5 B．4 C．3 D．0

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量，，若与方向相反，则______．

14．设实数满足约束条件，在点取得最大值，写出满足条件的一个的值______．

15．已知数列满足，，则数列的通项公式为______．

16．设双曲线的右焦点为，点满足，点在双曲线上，且．若直线的斜率之积为，则双曲线的离心率为______．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22~23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．如图，在四棱锥中，平面平面，底面为菱形，为等边三角形，且，，为的中点．

（1）若为线段上动点，证明：；

（2）求点与平面的距离．

18．数据显示中国车载音乐已步入快速发展期，随着车载音乐的商业化模式进一步完善，市场将持续扩大，下表为2018－2022年中国车载音乐市场规模（单位：十亿元），其中年份2018—2022对应的代码分别为1-5．

（1）由上表数据知，可用指数函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程；

（2）根据上述数据求得关于的回归方程后，预测2024年的中国车载音乐市场规模．

参考数据：

其中，．

参考公式：对于一组数据，，……，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．

19．在中，角的对边分别为，已知，且．

（1）求的外接圆半径；

（2）求内切圆半径的取值范围．

20．设函数，，为的导函数．

（1）当时，过点作曲线的切线，求切点坐标；

（2）若，，且和的零点均在集合中，求的极小值．

21．已知是椭圆的右焦点，动直线过点交椭圆于两点，已知的最大值为8，且在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）当都异于点时，为直线上一点．设直线的斜率分别为，若成等差数列，证明：点的横坐标为定值．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数且与轴、轴分别交于两点，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求；

（2）求上的点到直线距离的最小值．

23．已知．

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围．

高三校一模文科数学参考答案

1．C【详解】集合，又因为集合，由交集的定义可得，，故选：C．

2．D【详解】因为，所以，

所以，故选：D．

3．C【详解】函数，求导得，令直线与曲线相切的切点为，于是且，所以．故选：C．

4．D【详解】设小正方形的边长为1，则其面积，从而得大正方形的对角线长为4，则大正方形的边长为，其面积，所以种子落入小正方形部分的概率．故选：D．

5．B【详解】由题意，要使最小，则都是负数，则和选择1和4，设等比数列的公比为，当时，，，所以，当时，，，所以，故选：B．

6．C【详解】由题意，角与的顶点在原点，终边关于原点对称，所以，所以，又，所以，故选：C．

7．B【详解】对于A：，所以对应的点为，在第四象限，故A正确；对于C：在中，，由，可得，所以“”是“”的必要不充分条件．故C正确；对于D：命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“，”的否定是：“，”．故D正确；对于B：“全等三角形的面积相等”的否命题是，不全等三角形的面积不相等，这显然是假命题．

8．C【详解】∵被5除所得余数为3，而的均能被5整除，

∴！被5除所得余数为3．

9．B【详解】由三视图知，该几何体是由一个棱长为4的正方体截去两个相同三棱柱与两个相同圆柱而得到的，其中三棱柱的底面是腰长为2的等腰直角三角形，圆柱的底面半径为2，所以该几何体的体积为．

10．A【详解】由题意抛物线的焦点为，显然斜率存在且不为0，设直线方程为，设，，由，得，则，即，设直线的方程为，设

，，则，即，

∴，当且仅当，

即时等号成立．故选：A．

11．A【详解】设，则为增函数，因为，

所以，

所以，所以，

当时，，此时，有，当时，，此时，有，所以C、D错误．故选A．

12．B【详解】∵，∴以为对称中心∵即，∴为偶函数，以轴为对称轴．∴的周期为4，∴的周期为4，．

13．－2【详解】由共线，得，即，又与相反方向，故．

14．中任意一个实数都可【详解】作出不等式组

所表示的可行域如下图所示：

联立可得，即点，化直线方程

当，且，点过有最大的纵截距，

当，且，点过有最大的纵截距，∴．

15．【详解】，两边同除得，，所以，即，

化简得，∵，∴．

16．【详解】如图，取的中点为，连接，，

则由题意可得，，，

所以，相似，所以，

因为直线，的斜率之积为，所以，

设，，则有，两式相减可得，

即，即，即，

所以双曲线的离心率为．

17．【解析】（1）取中点，连接．

∵为等边三角形，∴，，

又平面平面，平面平面，

平面，∴平面

又∵平面，∴

∵，，∴

又∵，平面，平面，，∴平面

又∵平面，∴

（2）由（1）知平面，∴．

∴，，

∴中，，

∴中，，

∴中，由余弦定理得

设点到平面的距离为，

则即，

，∴．

18．【详解】（1）解：因为，所以两边同时取常用对数，得，

设，所以，

设，，则，

因为，，

所以，

，所以，，

所以，，所以

（2）把2024年代码代入方程，

得（十亿元）

故预测2024年的中国车载音乐市场规模45.628（十亿元）

19．【详解】（1）因为，由正弦定理得即

由余弦定理，得，

又，所以，

因为，所以

（2）由正弦定理得，所以，，

由余弦定理，得，所以，

则，

因为，所以，

所以，所以

20．【详解】（1）解：设切点为，由，所以，所以，

所以切线方程为，即，因为切线过点，

所以，解得或，切点坐标为，

（2）设，，

从而．令，得或．

因为，，都在集合中，且，

所以，，．

此时，．

令，得或．列表如下：

所以的极小值为．

21．（1）由的最大值为8，知，即

将点代入，可得，，因，则

所以椭圆的方程为．

（2）由可知，，则椭圆的右焦点坐标为．

设直线的方程为，点的坐标为

设，，将直线的方程与椭圆的方程联立得：

恒成立，

由韦达定理知，，

又，，

所以

因为，则，

所以，解得，

即点的横坐标为定值．

22．【详解】（1）令，则，解得，或（舍），

则，即，

令，则，解得，或（舍），

则，即，

∴；

（2）由，得的普通方程为，

设上点的坐标为，由（1）知直线的方程为，

则上的点到直线的距离，

当时，取最小值．

23．【详解】（1）

当时，，得，故；

当时，，得，此时无解；

当时，由，得，故

综上所述：原不等式的解集是或；

（2）不等式的解集为，即

当时，；当时，；当时，，所以

∴解得，∴的取值范围是．