湖南省郴州市九校联盟2023届高三数学高考适应性考试试卷（Word版附答案）

郴州九校联盟2023届适应性测试

数学试题

本试卷共8页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数满足，则在复平面上对应的点在（    ）

A.第一象限    B.第二象限

C.第三象限    D.第四象限

2.已知集合，则集合的真子集的个数为（    ）

A.3    B.7    C.15    D.31

3.若双曲线的离心率是方程的一个根，则（    ）

A.2    B.或2    C.    D.2或

4.已知向量满足，则向量的夹角为（    ）

A.    B.    C.    D.

5.古希腊亚历山大时期的数学家帕普斯在《数学汇编》第3卷中记载着一个确定重心的定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即（表示平面图形绕旋转轴旋转的体积，表示平面图形的面积，表示重心绕旋转轴旋转一周的周长）.如图，等腰梯形，已知，则其重心到的距离为（    ）

A.    B.    C.    D.

6.经过抛物线的焦点，作斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则（    ）

A.    B.或3    C.或2    D.3

7.已知，则的大小关系为（    ）

A.    B.

C.    D.

8.若存在直线与曲线都相切，则的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.为了了解学生对于高中数学重要性的认识，进行了一个问卷调查.用分层随机抽样法从某校高三年级2000名学生的问卷成绩（满分150分）中抽取一个容量为120的样本，将这120个学生的成绩分为6组，绘制得到如图所示的频率分布直方图（每组数据以区间的中点值为代表），下列说法正确的是（    ）

A.学生成绩的样本数据在内的频率为0.015

B.学生成绩的样本数据的众数为100

C.学生成绩的样本数据的第75百分位数为118

D.根据样本可以估计全体高三学生问卷成绩在110分以上的学生为840名

10.电子通讯和互联网中，信号的传输､处理和傅里叶变换有关.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和或余弦函数）的线性组合.例如函数的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，则（    ）

A.为周期函数，且最小正周期为

B.为奇函数

C.的图象关于直线对称

D.的导函数的最大值为7

11.已知点分别是直线和圆上的动点，则（    ）

A.点到直线的最大距离为7

B.当直线被圆所截得的弦长最大时，的值为1

C.若直线与圆相切，则的值为

D.若直线与被圆截得的弦长为，则的值为

12.已知边长为2的菱形，沿对角线折起，使点不在平面内，为的中点，在翻折过程中，则（    ）

A.在任何位置，都存在

B.若，当平面平面时，异面直线与所成角的余弦值为

C.若，当二面角为时，三棱锥的体积为

D.若，当二面角为时，三棱锥的外接球的体积为

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知，且，则的最小值为__________.

14.已知某种商品的直播平台支出（单位：万元）与农产品销售额（单位：万元）之间有如下对应数据：

根据上表可得线性回归方程，但由于操作员不慎，导致一个数据丢失，但可以知道在函数的图象上，据此估计，可以得到的值为__________；当投入12万元时，销售额大约为__________万元.

15.已知多项式，则的值为__________.

16.已知定义在上的函数在上单调递增，且函数为奇函数，则的解集为__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知的内角的对边分别为，且.

（1）求角；

（2）若的外接圆半径为1，求的周长的最大值.

18.（本小题满分12分）

已知数列的前项和为.

（1）求数列的通项公式；

（2）已知数列的前项和为（取整函数表示不超过的整数，如），求数列的前100项的和.

19.（本小题满分12分）

在三棱锥中，已知为正三角形，.

（1）求证：；

（2）若，求二面角的正弦值.

20.（本小题满分12分）

第19届亚运会组委会消息，亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行.为此某校举办了以“迎亚运”为主题的篮球和排球比赛，每个学生只能报名参加一项，某调研组在校内参加报名的学生中随机选取了男生､女生各100人进行了采访，其中参加排球比赛的归为甲组，参加篮球比赛的归为乙组，调查发现甲组成员96人，其中男生36人.

（1）根据以上数据，补充上述列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢排球还是篮球是否与“性别”有关；

（2）现从调查的男生中，按分层抽样选出25人，从这25人中再随机抽取3人发放礼品，发放礼品的3人在甲组中的人数为，求的分布列及数学期望.

参考公式：.

参考数据：

21.（本小题满分12分）

已知椭圆的离心率，直线与椭圆交于两点.当直线的方程为时，经过椭圆长轴的一个顶点.

（1）求的方程；

（2）坐标原点为，在上有异于的一点，满足，试判断的面积是否为定值？如果为定值，求出定值；如果不为定值，请说明理由.

22.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）若，判断的零点个数；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

郴州九校联盟2023届适应性测试

数学参考答案

一､选择题

1.A  【解析】，

所以其对应的点在第一象限.故选A.

2.A  【解析】，

集合的真子集的个数为.故选A.

3.A  【解析】由题意可知是方程的根，则或，即应舍去，.故选A.

4.B  【解析】，

，又，，

又.故选B.

5.C  【解析】分别过点，点作于点于点，

等腰梯形绕底边旋转一周所得的几何体的体积；等腰梯形的面积，

记重心到的距离为，则重心绕旋转轴旋转一周的周长为，

根据题意可知，则.故选C.

6.C  【解析】由题意可知直线的方程为，

由可得，解得或，或者.故选C.

7.B  【解析】，

令，则，所以当时，

函数单调递增，，即，

即，从而可知.故选B.

8.D  【解析】设该直线与相切于点，

因为，所以，

所以该切线方程为，即.

设该直线与相切于点，

因为，所以，所以该切线方程为，即，

所以，所以，

令；

当时，；当时，在上单调递减；在，上单调递增；又-1，所以，所以，解得，所以的取值范围为.故选D.

二､多选题

9.BC  【解析】学生问卷成绩在内的频率为1，故错误；

由图可得，学生问卷成绩的众数为，故B正确；

学生问卷成绩的样本数据的第75百分位数为，故C正确；

样本中110分以上的学生的频率为0.35，则全体高三学生问卷成绩110分以上学生为名，故D错误.故选BC.

10.BCD  【解析】.对于A，不是的周期，故错误；对于，的定义域为为奇函数，故正确；

对于，，且为奇函数，的图象关于直线对称，故C正确；对于D，，当时，，取最大值7，故D正确.故选BCD.

11.ACD  【解析】由题意可知直线过定点，

圆的圆心为坐标原点，半径为2，设圆心到直线的距离为，

当时，，当与直线不垂直时，，

从而可知点到直线的最大距离为，故A正确；若直线被圆所截得的弦长最大，则直线经过圆心，则，解得，故B错误；若直线与圆相切，

则，解得，故C正确；若直线被圆截得的弦长为，

则圆心到直线的距离为，

解得，故D正确.故选ACD.

12.AB  【解析】连接，则，对于平面，故A正确；对于：由题目条件可知，，为二面角的平面角，平面平面，取的中点的中点，连接，，则，

且，

（或其补角）为异面直线与所成的角，，

在中，，，异面直线与所成角的余弦值为，故B正确；

对于：由上面的推导可知为二面角的平面角，

，由（2）可知，当时，，又平面三棱锥的体积为，故C错误；对于D：由上面的推导可知为二面角的平面角，所以，且平面，外接圆的半径为.

设为外接圆的圆心，则，

所以三棱锥的外接球的球心在过点且与平行的直线上，

设，则由得，得，

所以，所以外接球的体积为，故D错误.故选AB.

三､填空题

13.  【解析】，且，

当且仅当时等号成立.故答案为.

14.19.5，67  【解析】由上表可知：在函数的图象上，，解得19.5，又满足线性回归方程，则，当时，（万元）.故答案为.（第一空2分第二空3分）

15.80  【解析】令，则.故答案为80.

16.  【解析】函数为奇函数，函数关于中心对称，又在上单调递增，在单调递增，从而可化为，原不等式的解集为.故答案为.

四､解答题

17.解：（1），

由正弦定理可得，

，

又.

（2），

由余弦定理得，即，

当且仅当时等号成立，

的周长为，

当且仅当时取等号，

即的周长的最大值.

18.解：（1），

，

即，

当时，，又适合上式，所以当时，，

所以当时，，

当时，，符合上式，.

（2），

，

则，

，

.

19.解：（1）如图，取的中点，连接，

为正三角形，，

，又平面平面平面，

又平面.

（2）为正三角形，，

又，又，

，又两两互相垂直，

如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，

平面的法向量为，又，

设平面的一个法向量为，则，

即，令，则，

设二面角的大小为，

则，

，

二面角的正弦值为.

20.解：（1）列联表补充如下：

零假设为：学生选择排球还是篮球与性别无关.

根据列联表中的数据，经计算得到

.

，

依据小概率值的独立性检验，推断不成立，

即认为学生喜欢排球还是篮球与“性别”有关.

（2）按分层抽样，甲组中男生9人，乙组中男生16人，则的可能取值为，

，

的分布列为

数学期望

21.解：（1）直线的方程为，令，得，

由题意可知，又所求的的方程为

（2）的面积为定值，定值为.

设，

.

由直线的方程和椭圆方程联立，

可得，

，

由韦达定理可得，

，

又点在椭圆上，，

化简可得，

，

点到直线的距离，

.

的面积为定值.

22.解：（1），

令，可得，设，则，

令，得在上单调递增；

令，得，

在上单调递减，

.当时，；

当时，，从而可画出的大致图象，

①当或时，没有零点；

②当或时，有一个零点；

③当时，有两个零点.

（2）当时，不等式恒成立，

可化为在上恒成立，

该问题等价于在上恒成立，

即在上恒成立，

令，则，

当时，单调递减；

当时，单调递增，

，

即，即

①当时，，不等式恒成立；

②当时，令，显然单调递增，且，故存在，使得，所以，

即，而，此时不满足，所以实数不存在.

综上可知，使得恒成立的实数的取值范围为.