宁夏回族自治区银川一中2022-2023高三数学（文）三模试题（Word版附解析）

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2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题卷（银川一中第三次模拟考试）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知，复数是实数，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由复数运算法则和实数定义可构造方程求得结果.【详解】为实数，，解得：.故选：A.2. 设集合，，则中元素的个数是（    ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定【答案】C【解析】【分析】根据题意，解方程组求出解得个数，即可得到结果.【详解】由题意可得，联立，解得或，所以的元素个数是2个.故选：C3. 某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示.现以5为组距，将数据分组，各组均为左 闭右开区间，最后一组为闭区间.则下列频率分布直方图正确的是（    ）  A.    B.   C.    D.   【答案】A【解析】【分析】解法一：根据题中数据分别计算各组的频数，频率及，观察各选项的频率分布直方图即可得解.解法二：选项C，D中组距不符合要求，由茎叶图知落在区间与上的频数相等，故频率、也分别相等，比较选项A，B即可得解.【详解】解法一：由题意知样本容量为20，组距为5，列表如下:分组频数频率10.0110.0140.0420.0240.0430.0330.0320.02合计201 观察各选项的频率分布直方图知A正确.解法二：选项C，D中组距不符合要求，由茎叶图知落在区间与上的频数相等，故频率、也分别相等，比较选项A，B知A正确.故选：A.4. 命题“有一个偶数是素数”的否定是（    ）A. 任意一个奇数是素数 B. 任意一个偶数都不是素数C. 存在一个奇数不是素数 D. 存在一个偶数不是素数【答案】B【解析】【分析】根据存在量词命题，否定为，即可解得正确结果.【详解】由于存在量词命题，否定为.所以命题“有一个偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”.故选：B5. 下图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入白色部分的有175个点，据此可估计黑色部分的面积为（    ）A. 7 B. 8 C. 9 D. 10【答案】C【解析】【分析】设黑色部分的面积为，利用几何概型概率计算公式列出方程能估计黑色部分的面积.【详解】设黑色部分的面积为,边长为4的正方形二维码， 在正方形区域内随机投掷400个点,其中落入黑色部分的有225个点,，解得，据此可估计黑色部分的面积为9.故选：C .6. 设，，，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，由对数的运算可知，即可得到结果.【详解】因为，，且，所以.故选：C7. 灯罩的更新换代比较快，而且灯具大部分都是设计师精心设计，对于灯来说，不用将灯整个都换掉，只需要把灯具的外部灯罩进行替换就可以改变灯的风格.杰斯决定更换卧室内的两个灯罩来换换氛围，已知该灯罩呈圆台结构，上下底皆挖空，上底半径为10，下底半径为18，母线长为17，侧面计划选用丝绸材质布料制作，若不计做工布料的浪费，则更换两个灯罩需要的丝绸材质布料面积为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】运用圆台的侧面积公式计算即可.【详解】由题意可得更换两个灯罩需要的丝绸材质布料面积.故选：B.8. 如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，将△POA的面积表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[﹣π，π]上的图象大致为  A.      B.     C.      D.    【答案】A【解析】【详解】试题分析：注意长度、距离为正，再根据三角形的面积公式即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择解：在直角三角形OMP中，OP=0A=1，∠POA=x，∴s△POA=×1×1sinx=|sinx|，∴f（x）=|sinx|，其周期为T=π，最大值为，最小值为0，故选；A．考点：函数的图象．9. 若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ）A.  B. C.  D. m>1【答案】B【解析】【详解】首先求出的定义域和极值点，由题意得极值点在区间内，且，得出关于的不等式组，求解即可．【分析】函数定义域为，且，令，得，因为在区间上不单调，所以，解得：故选：B.10. 已知数列满足，，，，则数列的前10项和（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据等差中项的应用可知数列是首项为1，公差为1的等差数列，求出数列的通项公式，得，利用裂项相消法求和即可.【详解】∵，，，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，∴，∴．∴，∴数列的前10项和为．故选：C．11. 设、分别为双曲线的左右焦点，O为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点E，与双曲线右支交于点P，且为等腰三角形，则双曲线的离心率为（    ）A.  B. 2 C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，确定，结合圆的切线性质及双曲线定义列式计算作答.【详解】因为直线与圆切于点E，则，而为等腰三角形，必有，E为的中点，而O为中点，于是，有，且，令双曲线焦距为2c，由，得，即，有，所以双曲线的离心率.故选：A12. 如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点E，F（E在F的左边），且.下列说法不正确的是（    ）A. 异面直线与所成角为B. 当E，F运动时，平面 平面C. 当E，F运动时，存在点E，F使得D. 当E，F运动时，三棱锥体积不变【答案】C【解析】【分析】对于A，将异面直线通过平移作出其平面角即可得 为异面直线与所成的平面角为；对于B，利用线面垂直的性质和线面垂直的判定定理即可证明平面，再由面面垂直的判定定理即可得平面 平面；对于C，假设存在点E，F使得，显然由线面平行判定定理可得平面，这与平面矛盾，即不存在点E，F使得；对于D，利用等体积法可知，即三棱锥体积不变.【详解】对于A，如下图所示：将平移到，连接，易知在中， 即为异面直线与所成的平面角，由正方体的棱长为2，利用勾股定理可知，即为正三角形，所以异面直线与所成角为，即A正确；对于B，连接，如下图所示：由为正方体即可得，平面，而平面所以，又在线段上，所以；又为正方形，所以，即，又，平面，所以平面，又平面 ，所以平面 平面，即B正确；对于C，易知点不在平面内，假设，又平面，平面，所以平面，显然这与平面矛盾，所以假设不成立，即C错误；对于D，当E，F运动时，由等体积法可知三棱锥体积与三棱锥的体积相等，即；易知三棱锥的底面积，易知平面，所以点A到平面的距离为，所以，即当E，F运动时，三棱锥体积不变，即D正确.故选：C二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知向量，且 ，则______.【答案】【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示，即可求解，再由向量模的公式求解.【详解】因为，所以，解得：，所以故答案为：14. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学．“更相减损术”便是《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如下流程框图，若输入的分别为，则输出的________．【答案】【解析】【分析】更相减损术实际上是为了求两数的最大公约数，据此原理可以直接得出答案，或者按照程序流程一步一步推出结果.【详解】由程序框图可知当，时，满足，则，当，时，满足，则，当，时，满足，则，当，时，满足，则，当，时，满足，则.故答案：15. 若圆（）被直线平分，则的最小值为_____．【答案】##【解析】【分析】由题意可得直线过圆的圆心，故有，然后利用“1”的妙用进行求解即可【详解】由，所以该圆的圆心坐标为，因为圆被直线平分，所以圆心在直线上，因此有，所以，当且仅当即时，取等号故答案为：16. 在各项均为正数的等比数列中公比，若，，记数列的前n项和为，则的最大值为_______【答案】18【解析】【分析】根据题意和等比数列的性质，求得，，进而求得等比数列的通项公式，得到，在由等差数列的求和公式，得到，再结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】因为为各项均为正数的等比数列，且公比，由，可得，为方程的两根，又由，所以，，得，即，所以，由，所以为等差数列，所以，则，即数列也为等差数列，所以，结合二次函数的图象与性质，可得当或9时，最大，最大值为18．故答案为：18．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17. 习近平总书记在党史学习教育动员大会上强调：“回望过往的奋斗路，眺望前方的奋进路，必须把党的历史学习好、总结好，把党的成功经验传承好、发扬好.”为庆祝建党100周年，某市积极开展“青春心向党，建功新时代”系列主题活动.该市某中学为了解学生对党史的认知情况，举行了一次党史知识竞赛，全校高一和高二共选拔100名学生参加，其中高一年级50人，高二年级50人.并规定将分数不低于135分的得分者称为“党史学习之星”，这100名学生的成绩（满分为150分）情况如下表所示. 获得“党史学习之星”未获得“党史学习之星”总计高一年级401050高二年级203050总计6040100 （1）能否有99%的把握认为学生获得“党史学习之星”与年级有关？（2）获得“党史学习之星”的这60名学生中，按高一和高二年级采用分层抽样﹐随机抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人代表学校参加区里的党史知识竞赛，求这2人中至少有一人是高二年级的概率.参考公式：，其中.0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828 【答案】（1）有 的把握认为学生得“党史学习之星”与年级有关    （2）【解析】【分析】（1）计算，进行独立性检验；（2）由分层抽样结合概率公式求解即可.【小问1详解】根据列联表代入计算可得：，所以有 的把握认为学生得“党史学习之星”与年级有关.【小问2详解】由题意可知，所抽取的6名学生高一年级有4人，记为，，，高二年级有2人，设为甲、乙.从这6人中随机抽取2人的所有基本事件有，，， {，甲}，{，乙}，，，{，甲}，{，乙}，，{，甲}，{，乙}，{，甲}，{，乙}，{甲，乙}，共15个，其中至少有一人是高二年级基本事件有{，甲}，{，甲}，{，甲}，{，甲}，{甲，乙}，{，乙}，{，乙}， {，乙}， {，乙}，共9个. 故至少有一人是高二年级的概率.18. 已知函数．（1）求函数在上的单调递增区间；（2）在中，角，，的对边分别为，，，且，，，求的值．【答案】（1）单调递增区间为，    （2）【解析】【分析】（1）先化简，再令，令和与取交即可得出答案；（2）由求出，再由余弦定理求解即可.【小问1详解】已知函数，
则，令，
则，因为，令，则；令，则，
即函数的单调递增区间为，.【小问2详解】已知，即，即，
又，则，即，
又，
由余弦定理可得，
又，则，则，.19. 如图，矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，，，，，，，分别是，的中点，H是AB边上一动点.  （1）是否存在点使得平面平面，若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.（2）求多面体的体积.【答案】（1）存在，的中点，证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）利用面面平行的判定定理即可证明，当为的中点时，满足平面平面；（2）将多面体分割成四棱锥和三棱锥，分别求得两部分体积相加即可求得结果.【小问1详解】证明：取的中点，连接，，如图所示.  因为是的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面又因为是的中点，所以，又因为平面，平面所以平面.又因为，平面所以平面平面，【小问2详解】连接，因为平面平面，平面平面，，所以平面，由题意易得直角梯形的面积为，所以在中，易知，由余弦定理得，所以，所以.因为平面平面，平面平面，所以平面，所以，所以多面体的体积为.20. 已知椭圆的右焦点为，有两个不同的点P、在椭圆上运动，且的最小值为，椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆在第一象限交于点A，若的内角平分线的斜率不存在.探究：直线的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）    （2）直线的斜率为定值，理由见解析【解析】【分析】（1）由的最小值为，结合离心率为，可得，即可得椭圆方程；（2）由的内角平分线的斜率不存在，可得该角平分线与轴垂直，设直线的斜率为，则直线的斜率为，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理可得坐标关于的表达式，即可得答案.【小问1详解】设椭圆的左、右顶点坐标分别为，，又，.解得，即椭圆方程为.【小问2详解】联立或（舍）. 所以.由题意知的内角平分线的斜率不存在，即该角平分线与轴垂直，设直线的斜率为，则直线的斜率为，设，，直线的方程为，即，消去联立直线AP与椭圆方程，消去y得：，因为，A为直线与椭圆的交点，由韦达定理：，，把换为得，所以，所以，所以直线的斜率，即直线的斜率为定值.21. 已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若函数有两个极值点，且，求的取值范围．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而根据点斜式即可得出结果；（2）求出，可得，化简，构造函数，利用单调性即可求得答案.【小问1详解】，曲线在点处的切线方程为，即.【小问2详解】，则函数的定义域为，若函数有两个极值点，且．则方程的判别式，且，．．设，则在上恒成立．故在单调递减，从而．因此，的取值范围是．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22. 下图所示形如花瓣的曲线称为四叶玫瑰线，并在极坐标系中，其极坐标方程为．（1）若射线：与相交于异于极点的点，与极轴的交点为，求；（2）若，为上的两点，且，求面积的最大值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据已知得到、两点的极坐标，代入距离公式即可；（2）设， ，根据极坐标方程求出、，将三角形面积表示为的三角函数，根据三角恒等变换求三角函数的最大值.【小问1详解】将代入方程，得， ，则的极坐标为.又与极轴的交点为的极坐标为.则.【小问2详解】不妨设，，则，所以，的面积
 所以，当，即时，所以，面积最大值为.[选修4-5：不等式选讲]23. 设函数．（1）解不等式；（2）令的最小值为，正数，，满足，证明：．【答案】（1）    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）将函数写成分段函数，再分类讨论，分别求出不等式的解集，从而得解；（2）由（1）可得函数图象，即可求出函数最小值，再利用基本不等式证明即可.【小问1详解】解：因为，所以不等式，即或或，解得或或，综上可得原不等式的解集为.【小问2详解】解：由（1）可得函数的图象如下所示：所以，即，所以，又，，，所以，当且仅当时取等号，所以.