2023年安徽省合肥名卷中考数学大联考试卷（含答案）

2023年安徽省合肥名卷中考数学大联考试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  据统计，年我国达到万亿元，其中万亿元用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列各式中，计算结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，直线与抛物线和抛物线分别交于点、，直线轴，与抛物线交于、两点，与抛物线交于、两点，则(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，中，，平分，若，，则(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，是的弦，半径与弦交于点，若，，则(    )

A.
B.
C.
D.

8.  有张卡片，正面分别标有数字：，，，，这些卡片除数字外完全相同，从中任意抽取两张，两数相乘，计算结果为有理数的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  函数与的图象如图所示，则函数的大致图象为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在中，，，现以为边在的下方作正方形并连接，则的最大值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  因式分解： ______ ．

12.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围______ ．

13.  如图，矩形的顶点在坐标原点，点和点分别在轴和轴的正半轴上，点位于第一象限，其中反比例函数的图象与边、分别交于点、，若且，则 ______ ．

14.  如图，四边形是正方形，点是正方形内部一点，连接、，点在线段上，连接、，若，且，，完成下列问题：
______ ；
若在正方形的边上找一点，使，这样的点有______ 个

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
我国古代数学著作九章算术中记载了这样一个问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一
雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何？”其大意为：今有只雀、只燕，分别
聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻，将一只雀、一只燕交换位置而放，则衡器两边的总重量相等，
如果只雀和只燕的总重量为一斤问雀、燕每只各重多少斤？

17.  本小题分
如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点网格线的交点．
画出以为对称轴的对称图形C.
作出外接圆的圆心，并求出弦所对的劣弧弧长．

18.  本小题分
观察以下等式：
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，

按照以上规律解决下列问题：
写出第个等式：______ ；
写出你猜想的第个等式用含的式子表示；
计算： ______ ．

19.  本小题分
如图，是外接圆的直径，是延长线上一点，连接、，其中是的切线．
求证：．
若，，求的长．

20.  本小题分
为倡导”低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具，如图所示是一辆自行车的实物图，车架档
与垂直且，，座杆的长为，点、、在同一条直线上，且，，如图．
求车架档的长；
求车座点到车架档的距离结果保留根号
 

21.  本小题分
今年月日，亚洲文明对话大会在北京开幕．为了增进学生对亚洲文化的了解，某学校开展了相关知识的宣传教育活动．为了解这次宣传活动的效果，学校从全校名学生中随机抽取名学生进行知识测试测试满分分，得分均为整数，并根据这人的测试成绩，制作了如下统计图表．
名学生知识测试成绩的频数表

由图表中给出的信息回答下列问题：
______，并补全频数直方图；
小明在这次测试中成绩为分，你认为分一定是这名学生知识测试成绩的中位数吗？请简要说明理由；
如果分以上包括分为优秀，请估计全校名学生中成绩优秀的人数．

22.  本小题分
如图，点、分别是矩形边、上的点，连接、、，且≌，
如图，若，求的度数；
如图，当，时，求的值；
如图，的角平分线交于点，当时，求：的值．
 

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线过、两点，
求抛物线的解析式：
如图，过点作轴于点，连接，将沿翻折使点落在点处，求出点的坐标，并判断点是否在抛物线上；
如图，在的条件下，连接和，其中与交于点，试直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
所给的各数中，最小的数是．
故选：．
首先求出、，然后根据实数大小比较的方法判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：万亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的形状是正确判断的前提．
根据简单组合体体的三视图的定义，画出从左面看所得到的图形即可．
【解答】
解：这个几何体的左视图为，

故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：，，
选项的计算结果不正确，不符合题意；
，
选项的计算结果不正确，不符合题意；
，
选项的计算结果正确，符合题意；
，
选项的计算结果不正确，不符合题意；
故选：．
利用有理数的混合运算的性质，同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方法则和同底数幂的除法法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了有理数的混合运算的性质，同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方法则和同底数幂的除法法则，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：抛物线和抛物线分别交于点、，
，，
，，
设直线为，则，，
由解得，由解得，
，，
，
故选：．
利用待定系数法求得，，设直线为，代入解析式求得即可求得，，从而求得．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，平行线的性质，求得、的长是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：中，，
设，那么，
，
平分，
，
，，
，
，
，
．
故选：．
设，那么，然后利用分别表示，，，最后利用三角形内角和定理建立方程解决问题．
此题主要考查了三角形内角和定理，同时也利用了角平分线的定义，解题的关键是熟练使用三角形内角和定理．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，作于点，于点，
则，

，，
，
，
，，
∽，

，
，
，
．
故选：．
作于点，于点，根据垂径定理得，由已知得，所以，再证明∽，得，即，所以，即可求出．
本题考查了垂径定理以及相似三角形的判定和性质等知识，证明∽是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：画树状图为：

共有种等可能的结果，其中计算结果为有理数的结果数为，
所计算结果为有理数的概率．
故选：．
利用树状图展示所有等可能的结果，再找出计算结果为有理数的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据反比例函数的图象位于一、三象限知，
根据二次函数的图象可知，，
，，
函数的大致图象经过一、三、四象限，
故选：．
首先根据二次函数及反比例函数的图象确定、的符号，然后根据一次函数的性质确定答案即可．
本题考查了函数的图象的知识，解题的关键是了解三种函数的图象的性质，难度不大．
 

10.【答案】 

【解析】解：将绕点逆时针旋转得，连接，

则是等腰直角三角形，，
，
在中，，
的最大值为，
即的最大值为，
故选：．
将绕点逆时针旋转得，连接，则是等腰直角三角形，，再利用三角形三边关系可得答案．
本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形三边关系等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
用提取公因式法分解．
本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法是解决本题的关键．
 

12.【答案】且 

【解析】解：根据题意得且，
解得且，
故答案为：且．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求解不等式即可．
本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设，，
，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
，，
，
反比例函数的图象与边、分别交于点、，
，，
，
，
，
设，
，
，
解得或舍去，
，
．
故答案为：．
设，，则，证明≌，得，，所以，根据反比例函数的图象与边、分别交于点、，得，，所以，，求出，即可得．
此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解本题的关键．
 

14.【答案】   

【解析】解：，
，
四边形是正方形，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
；
故答案为：；
作于，于，

，，
∽，
，，
，
，，
，，，
，，
，，
，
，
到上的最短距离都大于，
点不在上，
，
，
点与点重合，
，
，
还可在上取得，
点一共有个，
故答案为：．
由正方形的性质可得，再根据全等三角形的判定与性质及勾股定理可得答案；
作于，于，根据相似三角形的判定与性质可得答案．
此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
 

15.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

16.【答案】解：设每只雀重斤，每只燕重斤，
根据题意，得，
解得，
答：每只雀重斤，每只燕重斤． 

【解析】根据“五只雀，六只燕共重斤，且四只雀、一只燕的重量和一只雀、五只燕的重量一样重”，即可得出关于，的二元一次方程组，然后解方程组即可求解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

17.【答案】解：过作点的对称点，连接，．
如图，即为所求．
如图，分别作线段，的垂直平分线，交点即为外接圆的圆心．
连接，，
由网格可知，
，
，
弦所对的劣弧弧长为． 

【解析】过作点的对称点，连接，即可．
利用网格，分别作线段，的垂直平分线，交点即为外接圆的圆心；由网格可得，利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式可得答案．
本题考查作图轴对称变换、三角形的外接圆与圆心、弧长公式，熟练掌握轴对称的性质、三角形的外接圆与圆心、弧长公式是解答本题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：根据前个等式反映出的规律，可知第个等式为：，
故答案为：；
根据前个等式反映出的规律，可知第个等式为：
；



．
故答案为：．
观察所给算式，可以发现左边为从开始，序号个连续整数的平方和，等式右边是个数的积，这四个数分别为：、与序号相同的数、比序号大的数、序号的倍加，据此可以写出第个等式；
根据中发现的规律，用代数式表示出这些数，并写出等式即可；
利用中的等式，将写成乘积形式，同样将分母也写成乘积形式，约分即可得到答案．
本题考查数式的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律，并能灵活运用规律解题．
 

19.【答案】证明：如图，连接，
是的直径，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
；
解：，，
，
在中，
，
，
由得，
，
∽，
，
，
设，则，，
又，
即，
解得取正值，
． 

【解析】根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得：：：：，再根据相似三角形的性质可求出答案．
本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
 

20.【答案】解：，
，
，
，
，
，
而，
，
，
即车架档的长为；
过作于点，如图，

在中，，，
，
，
车座点到车架档的距离为． 

【解析】由得到，在中，，，然后根据勾股定理即可计算出；
过作于点，在中，，，根据正弦的定义得到，然后代数计算即可得到的长．
本题考查了解直角三角形的应用：先从实物图中抽象出几何图形，然后构造出直角三角形，利用勾股定理和锐角三角函数的定义进行计算求出未知的线段与角．
 

21.【答案】，频数直方图如下：

不一定是，
理由：将名学生知识测试成绩从小到大排列，第、名的成绩都在分数段中，他们的中位数不一定是分；
估计全校名学生中成绩优秀的人数为人． 

【解析】

解：，
故答案为：；
频数直方图见答案；
见答案；
见答案．
【分析】
由总人数为可得的值，从而补全图形；
根据中位数的定义判断即可得；
利用样本估计总体思想求解可得．
本题考查条形统计图、用样本估计总体、统计量的选择，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．  

22.【答案】解：四边形是矩形，
，
将沿翻折，使点恰好落在边上点处，
，，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
；
矩形中，
，，，
在中，，
≌，
，，
在中，，，，
，
解得，
；
过点作于点，

，
，
，
，
，，
∽，
，
设，
平分，，，
，，
设，则，
，
，
解得，
，
，
，
，
：． 

【解析】由折叠的性质得出，，根据直角三角形的性质得出，可求出答案；
由勾股定理和全等三角形的性质求出，进而得到，
过点作于点，证明∽，，设，设，则，由勾股定理得出，解出，则可求出答案．
本题是相似三角形的综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：抛物线过、两点，
，解得，
抛物线的解析式为；
由翻折得≌，
，轴于点，
，，
设点的坐标为，
，解得或舍去，
点的坐标为，
当时，，
点是在抛物线上；
连接，

由知点的坐标为，
，轴于点，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
． 

【解析】利用待定系数法即可得抛物线的解析式；
由翻折得≌，则，，设点的坐标为，根据两点的距离公式可得，的值，即可判断点是否在抛物线上；
连接，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，求出，的长，即可得出的值．
本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象与性质，求二次函数的解析式，翻折的性质，直角三角形的性质，正切函数的定义，数形结合是解决此题的关键．