河北省衡水中学2017届高三下学期第三次摸底考试文数试题

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 河北衡水中学2016-2017学年度高三下学期数学第三次摸底考试（文科）必考部分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知虚数单位，等于（    ）A.     B.     C.     D. 【答案】B【解析】试题分析：根据题意，有 ，故选B．考点：复数的运算．2. 已知集合，则集合等于（    ）A.     B.     C.     D. 【答案】D【解析】 ,选D.3. 已知是上的奇函数，则的值为（    ）A.     B.     C.     D. 【答案】A【解析】因为是上的奇函数，所以，得,..故选A.4. 在面积为的正方形内任意投一点，则点到四边的距离均大于的概率为（    ）A.     B.     C.     D. 【答案】C【解析】易知正方形的边长，到两边距离均大于，则形成的区域为边长为的小正方形，其概率为,故选C.5. 已知，则的值等于（    ）A.     B.     C.     D. 【答案】A【解析】因为,所以.，故选A.6. 已知、分别是双曲线的左、右焦点，以线段为边作正三角形，如果线段的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率等于（    ）学。科。网...A.     B.     C.     D. 2【答案】D【解析】由题意得渐近线斜率为 ，即 ，选D.7. 在中，“ ”是“”的（    ）A. 充分不必要条件    B. 必要不充分条件    C. 充要条件    D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】时，，所以必要性成立； 时，，所以充分性不成立，选B.8. 已知二次函数的两个零点分别在区间和内，则的取值范围是 （    ）A.     B.     C.     D. 【答案】A【解析】由题意得 ，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为 ）：，而 ，所以直线过C取最大值 ，过B点取最小值， 的取值范围是，选A.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9. 如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，若该简单几何体的体积是，则其底面周长为（    ）A.     B.     C.     D. 【答案】C10. 20世纪30年代，德国数学家洛萨---科拉茨提出猜想：任给一个正整数 ，如果是偶数，就将它减半；如果是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，这就是著名的“”猜想.如图是验证“”猜想的一个程序框图，若输出的值为8，则输入正整数的所有可能值的个数为（    ）A. 3    B. 4    C. 6    D. 无法确定【答案】B【解析】由题意得 ；，因此输入正整数的所有可能值的个数为4，选B.11. 已知函数的导数为，若对任意的都有，则的取值范围是（    ）A.     B.     C.     D. 【答案】A【解析】.得：,化简得,不等式两边同除以得：.学。科。网...有，令，,在上单调递增，,所以只需，解得，故选A.利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.12. 已知向量 满足，若，的最大值和最小值分别为，则等于（    ）A.     B. 2    C.     D. 【答案】C【解析】把放入平面直角坐标系，使起点与坐标原点重合，方向与轴正方向一致，则，设，因为，所以，所以，.设，所以,化简得：，即.点可表示圆心在，半径为的圆上的点.，所以最大值，最小值为.因为，所以，解得.所以.故选C.点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上13. 为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：价格8.599.51010.5销售量1211976 由散点图可知，销售量与价格之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则__________．【答案】39.4 【解析】 点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.14. 将函数的图象向右平移个单位（），若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是__________．【答案】【解析】 向右平移个单位得为偶函数，所以，因为，所以 15. 在中，，点在边上，且满足，若，则__________．【答案】【解析】设，得.在中，由正弦定理可得，代入解得，.在中，，所以.由勾股定理可得，化简整理得,.所以,.16. 已知是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，则的值为__________．【答案】【解析】因为，所以 因此，所以 因为 ，所以 ，因此 三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知数列前项和为，等差数列的前项和为，且，.学。科。网...（1）求数列的通项公式；（2）求证：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）利用，求通项；（2）分别求出和，作差比较大小即可.试题解析：（1）因为，所以当时，，所以，即，所以从第二项开始是公比为4的等比数列，即，因为，所以，解得，当时，，解得，则，所以是首项为1公比为4的等比数列，其通项公式为；（2）由（1）知，所以，设数列的公差为，所以，解得，所以，所以，所以．所以．18. 在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；……第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.在选取的40名学生中.（1）求成绩在区间内的学生人数及成绩在区间内平均成绩；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生，求至少有1名学生成绩在区间内的概率.【答案】（1）71.875；（2）.【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图的意义计算即可.（2）用列举法求出从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生的事件个数，查出至少有1名学生成绩在[90，100]的事件个数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解．试题解析：（1）因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间的频率为，所以40名学生中成绩在区间的学生人数为，易知成绩在区间内的人数分别为18，8，4，2，学。科。网...所以成绩在区间内的平均成绩为；（2）设表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，至少有1名学生成绩在区间内”，由已知（1）的结果可知成绩在区间内的学生有4人，记这四个人分别为．成绩在区间内的学生有2人，记这两个人分别为，则选取学生的所有可能结果为：，基本事件数为20．事件“至少有1名学生成绩在区间之间”的可能结果为，基本事件为数16，所以．19. 如图，在长方体中，点在棱的延长线上，且.（1）求的中点到平面的距离；（2）求证：平面平面．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）利用三棱锥等体积法计算距离即可；（2）要证平面平面，只需证平面即可.试题解析：证明：（1）连接，∵，∴四边形是平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面，∴点到平面的距离等于点到平面的距离，由，得，又易知．∴的中点到平面的距离为．（2）由已知得，，则，由长方体的特征可知平面，学。科。网...而平面，面积，∴平面，又平面，∴平面平面．20. 如图，已知为椭圆上的点，且，过点的动直线与圆相交于两点，过点作直线的垂线与椭圆相交于点．（1）求椭圆的离心率；（2）若，求．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据题意列方程组：，解方程组可得，，再根据离心率定义求椭圆的离心率；（2）先根据垂径定理求圆心到直线的距离,再根据点到直线距离公式求直线AB的斜率,根据垂直关系可得直线PQ的斜率,最后联立直线PQ与椭圆方程,利用韦达定理及弦长公式求．试题解析：解：（1）依题知，解得，所以椭圆的离心率；（2）依题知圆的圆心为原点，半径为，所以原点到直线的距离为，因为点坐标为，所以直线的斜率存在，设为．所以直线的方程为，即，所以，解得或．①当时，此时直线的方程为，所以的值为点纵坐标的两倍，即；②当时，直线的方程为，将它代入椭圆的方程，消去并整理，得，设点坐标为，所以，解得，所以．点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.21. 已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对任意及，恒有成立，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）求导得，讨论单调性即可；（2）若对任意及，恒有成立，求的最大值，最小值，解得恒成立，得.试题解析：学。科。网...（1），当时，，令，得或，令，得；当时，得，令，得或，令，得；当时，，综上所述，当时，函数的递减区间为和，递增区间；当时，函数在上单调递减；当时，函数的递减区间为和，递增区间为．（2）由（1）可知，当时，函数在区间上单调递减，当时，函数取最大值；当时，函数取最小值．．∵，整理得．∵， ∴恒成立，∵， ∴， ∴．点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.选考部分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中直线的倾斜角为，且经过点，以坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点，过点的直线与曲线相交于两点，且．（1）平面直角坐标系中，求直线的一般方程和曲线的标准方程；（2）求证：为定值．【答案】（1）一般方程为；曲线的标准方程为；（2）24为定值.【解析】试题分析：（1）根据点斜式可得直线的一般方程，注意讨论斜率不存在的情形；根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，配方化为标准方程.（2）利用直线参数方程几何意义求弦长：先列出直线参数方程，代入圆方程，根据及韦达定理可得，类似可得，相加即得结论.试题解析：解：（1）因为直线的倾斜角为，且经过点，当时，直线垂直于轴，所以其一般方程为，当时，直线的斜率为，所以其方程为，即一般方程为．因为的极坐标方程为，所以，因为，所以．所以曲线的标准方程为．学。科。网...（2）设直线的参数方程为（为参数），代入曲线的标准方程为，可得，即，则，所以，同理，所以．23. 选修4-5：不等式选讲已知实数满足．（1）求的取值范围；（2）若，求证：．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）因为，所以，又，即得的取值范围；（2）因为，而，即证.试题解析：解：（1）因为，所以．①当时，，解得，即；②当时，，解得 ，即，所以，则，而，所以，即；（2）由（1）知，因为当且仅当时取等号，所以 ．