人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质同步测试题

点点练16  解三角形及应用　　　　　　　　　　　　　　　　

一   基础小题练透篇

1.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos  C＋c cos  B＝a sin  A，则△ABC的形状为(　　)

A．锐角三角形    B．直角三角形

C．钝角三角形    D．不确定

2．△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c等于(　　)

A．1    B．    C．    D．2

3．在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b＝，B＝，则A等于(　　)

A．    B．    C．    D．

4．在△ABC中，AC＝3，BC＝，AB＝2，则△ABC的面积为(　　)

A．2    B．    C．    D．

5．我国南宋时期数学家秦九韶发现了求三角形面积的“三斜求积”公式：设△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积S＝.若b＝2，a sin B＝2b sin C，则△ABC面积的最大值为(　　)

A．    B．    C．    D．

6．魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”则海岛的高AB＝(　　)

A．＋表高    B．－表高

C．＋表距    D．－表距

7．

如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.

8．在△ABC中，若tan A tan B＝1，AB＝，则△ABC面积的最大值为________．

二   能力小题提升篇

1.[2022·安徽黄山一模]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.△ABC的面积为，且2b cos A＝2c－a，a＋c＝4，则△ABC的周长为(　　)

A．4＋    B．6    C．4＋2    D．8

2．[2022·吉林松原月考]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(sin B＋sin C)2－sin2(B＋C)＝3sinB sin C，且a＝2，则△ABC的面积的最大值是(　　)

A．    B．    C．2    D．4

3．[2022·河南联考]马尔代夫群岛是世界上风景最为优美的群岛之一，如图所示，为了测量A，B两座岛之间的距离，小船从初始位置C出发，已知A在C的北偏西45°的方向上，B在C的北偏东15°的方向上，现在船往东航行2百海里到达E处，此时测得B在E的北偏西30°的方向上，再回到C处，由C向西航行2百海里到达D处，测得A在D的北偏东22.5°的方向上，则AB两座岛之间的距离为(　　)

A．3百海里    B．3百海里

C．4百海里    D．4百海里

4．[2022·湖南怀化月考]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，b＝3c，角A的平分线交BC于点D，且BD＝，则cos ∠ADB的值为(　　)

A．－    B．

C．      D．±

5．[2022·广东佛山模考]已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足b＝2，B＝60°的三角形有两个，则边长a的取值范围是________．

6．[2022·河南郑州一模]在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cos A＝a(－cos C)，c＝2，D为AC上一点，AD∶DC＝1∶3，则△ABC的面积取最大值时，BD＝________．

三    高考小题重现篇

1.[2020·全国卷Ⅲ]在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝(　　)

A．    B．    C．    D．

2．[全国卷Ⅱ]在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)

A．4    B．    C．    D．2

3．[2019·全国卷Ⅰ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－，则＝(　　)

A．6    B．5    C．4    D．3

4．[全国卷Ⅲ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　)

A．    B．    C．    D．

5．[2021·全国乙卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________．

6．[2019·全国卷Ⅱ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________.

四      经典大题强化篇

1.如图，在四边形ABCD中，CD＝3，BC＝，cos ∠CBD＝－.

(1)求∠BDC；

(2)若∠A＝，求△ABD周长的最大值．

2．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cos  A，sin  B)平行．

(1)求A；

(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积．