2022-2023学年湖北省孝感市部分学校高二下学期5月联考数学试题含解析

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  高二数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册、选择性必修第二册、选择性必修第三册至第七章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．从5名老师和10名学生中各选1人组成一个小组，则不同的选法共有（    ）．A．15种 B．50种 C．105种 D．210种2．曲线在处的切线方程为（    ）．A． B． C． D．3．已知向量，，则向量在向量上的投影向量（    ）．A． B． C． D．4．已知随机变量的分布列为（    ）．012Pa若，则（    ）．A． B． C． D．5．在一个5×5宫格中，有如图所示的初始数阵，若从中任意选择个宫格，将其相应的数变为相反数，得出新的数阵，则新的数阵中的所有数字的和所能取到的最小非负整数为（    ）．12345678910111213141516171819202122232425A．1 B．2 C．24 D．25．6．某班书法兴趣小组有6名男生和4名女生，美术兴趣小组有5名男生和5名女生．从书法兴趣小组中任选2人，与原来的美术兴趣小组成员组成新的美术兴趣小组，然后再从新的美术兴趣小组中任选1人，则选中的人是男生的概率为（    ）．A． B． C． D．7．如图，已知双曲线的右焦点为F，过点F的直线与双曲线的两条渐近线相交于M，N两点．若，，，则双曲线的离心率为（    ）．A． B． C．2 D．8．2022年12月3日，南昌市出土了东汉六棱锥体水晶珠灵摆吊坠，如图（1）所示．现在我们通过DIY手工制作一个六棱锥吊坠模型．准备一张圆形纸片，已知圆心为O，半径为，该纸片上的正六边形的中心为O，，，，，，为圆O上的点，如图（2）所示．，，，，，分别是以，，，，，为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以，，，，，为折痕折起，，，，，，使，，，，，重合，得到六棱锥，则六棱锥的体积最大时，正六边形的边长为（    ）．A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若，则，．已知，且，则（    ）．A．  B．C． D．10．已知圆，直线，则下列说法正确的是（    ）．A．直线l过定点B．当时，直线l与圆C相切C．当时，过直线l上一点P向圆C作切线，切点为Q，则的最小值为D．若圆C上只有一个点到直线l的距离为1，则11．如图，这是整齐的正方形道路网，其中小明、小华、小齐分别在道路网的A，B，C的三个交汇处，小明和小华分别随机地选择一条沿道路网的最短路径，以相同的速度同时出发，去往B地和A地，小齐保持原地不动，则下列说法正确的有（    ）．A．小明可以选择的不同路径共有20种B．小明与小齐能相遇的不同路径共有12种C．小明与小华能相遇的不同路径共有164种D．小明、小华、小齐三人能相遇的概率为12．若不等式恒成立（其中e为自然对数的底数），则的值可能为（    ）．A． B． C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知M是抛物线上一点，则点M到直线的最短距离为__________．14．甲、乙等五人在某景区站成一排拍照留念，则甲不站在两端，且甲、乙相邻的不同站法有__________种．15．已知数列满足，，，记，，O为坐标原点，则面积的最大值为__________．16．已知函数，存在两个极值点，，且，则a的取值范围为__________，的取值范围为__________．（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知的展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的和为275．（1）求n的值；（2）求展开式中含项的系数．18．（12分）已知数列，满足，．（1）若是等比数列，且9，，成等差数列，求的通项公式；（2）若是公差为2的等差数列，证明：．19．（12分）如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点．（1）在直线上找一点F，使得直线平面，并说明理由；（2）求二面角的余弦值．20．（12分）2023年2月2日，第27个世界湿地日中国主场宣传活动在杭州西溪国家湿地公园举行，2023年世界湿地日将主题定为“湿地修复”．某校为增强学生保护生态环境的意识，举行了以“要像保护眼睛一样保护自然和生态环境”为主题的知识竞赛，比赛分为三轮，每轮先朗诵一段爱护环境知识，再答3道试题，每答错一道题，用时额外加20秒，最终规定用时最少者获胜．已知甲、乙两人参加比赛，甲每道试题答对的概率均为，乙每道试题答对的概率均为，甲每轮朗诵的时间均比乙少10秒，假设甲、乙两人答题用时相同，且每道试题是否答对互不影响．（1）若甲、乙两人在第一轮和第二轮答对的试题的总数量相等，求最终乙获胜的概率；（2）请用统计学的知识解释甲和乙谁获胜的可能性更大．21．（12分）已知离心率为的椭圆经过点．（1）求椭圆C的方程．（2）不经过点A且斜率为k的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，若直线与直线的斜率之积为，试问k是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．22．（12分）已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）当时，证明：在，上各有一个零点，且这两个零点互为倒数．   高二数学试卷参考答案1．B   根据分步乘法计数原理知，不同的选法共有种．2．D因为，所以，则当时，，，故曲线在处的切线方程为．3．B因为向量，，所以向量在向量上的投影向量．4．B由，得，则，．因为，所以．5．A因为这25个数成等差数列，所以根据等差数列的性质：当时，，可知新的代数和所能取到的最小非负整数为1．6．C记A＝“从新的美术兴趣小组中任选的1人为男生”，“从书法兴趣小组中任选的2人均是男生”，“从书法兴趣小组中任选的2人为1男1女”，“从书法兴趣小组中任选的2人均是女生”，则，，，．7．A设，，因为，所以，．又，所以，则，．因为，所以．又，所以，所以，则，则．8．D连接，交于点H，则．设，则，．因为，所以．六棱锥的高．正六边形的面积，则六棱锥的体积．令函数，，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，正六棱锥的体积最大，此时正六边形的底面边长为．9．AC因为，且，所以，解得．．故选AC．10．BC由，得，即l恒过点，故A错误．由，得或，故B正确．若，则圆心C到直线l的距离．因为，所以，故C正确．若圆C上只有一个点到直线l的距离为1，则圆心C到直线l的距离．由，得，故D错误．11．ACD小明从A到B需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，小明可以选择的不同路径共有种，A正确．小明与小齐相遇，则小明经过C，小明从A经过C需要走3步，其中1步向右走，2步向上走，方法数为，再从C到B也有3种方法，所以小明与小齐能相遇的不同路径共有9种，B不正确．小明与小华的速度相同，故双方相遇时都走了3步，不同路径共有种，C正确．小明从A到B的不同路径共有种，小华从B到A的不同路径共有种，所以一共有400种，则小明、小华、小齐三人相遇的概率，D正确．12．ABD因为，所以，则．令，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增．故，即，从而，当且仅当时，等号成立．又，所以，则，所以．令，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增．故，且当时，，故选ABD．13．设，则点M到直线的距离．14．36   由题意可得满足条件的不同站法有种．15．4因为，所以，即．因为，所以是以4为首项，为公比的等比数列，，所以．因为2，所以．．令函数，则．当时，，所以，且在上单调递减．，故面积的最大值为4．16．；由，，得．因为存在两个极值点，，且，所以，，则，则．令，，则，则，故．17．解：（1）令，则展开式中各项的系数和为，且二项式系数和为，（2分）则，（3分）令，，易知单调递增，且，故．（5分）（2）展开式的通项公式为，（7分）由，得，（8分）则展开式中含项的系数为．（10分）18．（1）解：设的公比为q，因为9，，成等差数列，所以．（1分）又，所以，解得．（3分）由，得．（4分）因为，所以．（6分）（2）证明：因为是首项为1，公差为2的等差数列，所以，．（7分）由，得，（8分）则（10分）．（11分）．（12分）19．解：（1）F为的中点．理由如下：连接，．（1分）因为E，F分别为棱，的中点，所以．（2分）因为，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以．（4分）因为，，所以平面平面．（5分）因为平面，所以平面．（6分）（2）因为，所以以D为原点，，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．（7分）设，则，，，．设平面的法向量为，因为，，（8分）所以，令，得．（9分）设平面的法向量为，因为，，（10分）所以，令，得．（11分）设二面角为，则为锐角，所以，故二面角的余弦值为．（12分）20．解：（1）因为甲、乙两人在第一轮和第二轮答对的试题的总数量相同，且甲每轮朗诵的时间均比乙少10秒，所以第三轮答题中乙要比甲多答对2道题以上才能获胜．（1分）若乙答对2道试题，甲答对0道试题，则，（2分）若乙答对3道试题，甲答对0道试题，则，（3分）若乙答对3道试题，甲答对1道试题，则，（4分）所以乙获胜的概率．（6分）（2）由题意设甲在比赛中答错的题的数量为X，乙在比赛中答错的题的数量为Y，则，，（8分）则，，（9分）则甲因答错试题额外增加的时间的期望值为秒，（10分）乙因答错试题额外增加的时间的期望值为秒．（11分）因为三轮中，甲朗诵的时间比乙少30秒，所以最后甲所用的时间的期望比乙少18秒，所以甲获胜的可能性更大．（12分）21．解：（1）由题可知，，（2分）解得，故椭圆C的方程为．（4分）（2）设直线l的方程为，，，联立方程组，整理得，（5分）则，，．（6分），（8分）整理得．（10分）因为l不经过点A，所以，所以，即，（11分）故k为定值，且该定值为．（12分）22．（1）解：因为，所以，，则．（1分）令，则．（2分）令，得．当时，，单调递减，当时，，单调递增，（3分）所以，即，（4分）故的单调递增区间为，无单调递减区间．（5分）（2）证明：．（6分）令，，则．（7分）因为，所以有两个不相等的实数根，，且，，不妨设．（8分）当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增．（9分）因为，所以，．因为，当时，，当时，，所以在上存在一个零点，在上存在一个零点1，在上存在一个零点．故在，上各有一个零点，分别为，．（10分）由，得，（11分）则，所以两个零点，互为倒数．（12分）