2022-2023学年吉林省长春市高二下学期基础教育质量监测能力抽测数学试题含解析

这是一份2022-2023学年吉林省长春市高二下学期基础教育质量监测能力抽测数学试题含解析，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省长春市高二下学期基础教育质量监测能力抽测数学试题一、单选题1．已知复数(其中i是虚数单位)，则z在复平面内对应的点的坐标是（    ）A．(1，1) B．(1，-1) C．(-1，1) D．(-1，-1)【答案】B【分析】利用复数的除法求得复数，然后利用几何意义求得z在复平面内对应的点的坐标.【详解】复数，则z在复平面内对应的点的坐标是(1，-1)，故选：B.2．幂函数的图象过点，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】先求得，然后求得的值.【详解】由于幂函数的图象过点，所以，所以，所以.故选：A3．下列函数定义域为且在定义域内单调递增的是　　A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，依次分析选项中函数的定义域以及单调性，即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A，，为指数函数，其定义域为R，不符合题意；对于B，，为对数函数，定义域为且在定义域内单调递增，符合题意；对于C，，其定义域为，不符合题意；对于D，，为对数函数，定义域为且在定义域内单调递减，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查函数的定义域以及单调性的判定，涉及对数函数的性质，属于基础题．4．若集合，，则下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式求得集合A、B，然后逐一验证所给选项即可．【详解】，，，，选项A正确；，选项B错误；不是的子集，选项C错误；，选项D错误．故选：A．5．为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体，该项目由长方形核心喷泉区（阴影部分）和四周绿化带组成.规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为和（如图所示）.当整个项目占地面积最小时，则核心喷泉区的长度为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，得到的值，进而求得矩形面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最小值，，而根据基本不等式等号成立的条件求得此时的长.【详解】设，则，所以，当且仅当，即时，取“”号，所以当时，最小．故选:B．【点睛】本小题主要考查矩形面积的最小值的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.6．将函数的图象向右平移单位后，所得图象对应的函数解析式为（　　）A． B．C． D．【答案】D【分析】先将函数中x换为x-后化简即可.【详解】化解为故选D【点睛】本题考查三角函数平移问题,属于基础题目,解题中根据左加右减的法则,将x按要求变换.7．设是直线，是两个不同的平面，那么下列判断正确的是（    ）A．若，则. B．若，则.C．若，则. D．若，则.【答案】B【分析】根据各选项中线面、面面的位置关系，结合平面的基本性质判断线面、面面关系即可.【详解】对于A，若，，则可能平行、相交，A错误；对于B，若，过的平面且，则，而即，又，则，B正确；对于C，若，，则或，C错误；对于D，若，，则或或线面相交，D错误.故选：B8．已知向量，，则下列说法正确的是（    ）A． B．向量在向量上的投影向量是C． D．与向量方向相同的单位向量是【答案】D【分析】利用向量平行的坐标表示判断A；根据投影向量定义求向量在向量上的投影向量判断B；应用向量数量积运算律求判断C；由单位向量定义求与向量方向相同的单位向量判断D.【详解】A：由，故不成立，错；B：由，错；C：，则，错；D：与向量方向相同的单位向量是，对.故选：D9．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列结论正确的是A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线CD⊥平面PAC【答案】D【分析】由题意，分别根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可得到答案.【详解】因为AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，所以A答案不正确．过点A作PB的垂线，垂足为H，若平面PAB⊥平面PBC，则AH⊥平面PBC，所以AH⊥BC.又PA⊥BC，所以BC⊥平面PAB，则BC⊥AB，这与底面是正六边形不符，所以B答案不正确．若直线BC∥平面PAE，则BC∥AE，但BC与AE相交，所以C答案不正确．故选D.【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．10．已知函数若方程f（x）=m有4个不同的实根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则（）（x3+x4）=（　　）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】画出f（x）的图象，由对称性可得x3+x4＝8，对数的运算性质可得x1x2＝x1+x2，代入要求的式子，可得所求值．【详解】作出函数f（x）的图象如图，f（x）＝m有四个不同的实根x1，x2，x3，x4且x1＜x2＜x3＜x4，可得x3+x4＝8，且|log2（x1﹣1）|＝|log2（x2﹣1）|，即为log2（x1﹣1）+log2（x2﹣1）＝0，即有（x1﹣1）（x2﹣1）＝1，即为x1x2＝x1+x2，可得（）（x3+x4）＝x3+x4＝8．故选C．【点睛】本题考查分段函数的图象和应用，考查图象的对称性和对数的运算性质，属于中档题． 二、填空题11．求值:______．【答案】.【详解】分析：直接应用正弦函数的二倍角公式即可.详解： 故答案为.点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．一般，，这三者我们成为三姐妹，结合，可以知一求三.12．有一道数学难题，在半小时内，甲、乙能解决的概率都是，丙能解决的概率是，若3人试图独立地在半小时内解决该难题，则该难题得到解决的概率为___．【答案】【分析】根据独立事件的乘法公式和概率的性质求解.【详解】设“在半小时内，甲、乙、丙能解决该难题”分别为事件A，B，C，“在半小时内解该难题得到解决”为事件D，则，，，表示事件“在半小时内没有解决该难题”，，所以，；故答案为：.13．一个圆锥母线长为，侧面积，则这个圆锥的外接球体积为______________．【答案】【分析】由圆锥的侧面积得出圆锥的底面半径，设出球的半径，根据题意得出关系式求出球的半径，进而得出球的体积．【详解】解：设圆锥的底面半径为，因为圆锥母线长为，侧面积，所以，解得，所以，圆锥的高，设球半径为R，球心为，其过圆锥的轴截面如图所示，由题意可得，，即，解得，所以，．故答案为：． 三、双空题14．直线：截圆的弦为，则的最小值为__________，此时的值为__________．【答案】     2     1【分析】设圆心到直线的距离为，则，然后由，可求出，进而利用均值不等式可求解【详解】可化简为，设圆心到直线的距离为，则，可得，当时，有最小值，当时，没有最小值，所以，当且仅当时，等号成立，此时，故答案为：①2；②1【点睛】关键点睛：解题关键在于求出，进而利用均值不等式求出答案，属于中档题 四、解答题15．某校对100名高一学生的某次数学测试成绩进行统计，分成五组，得到如图所示频率分布直方图.(1)求图中a的值；(2)估计该校高一学生这次数学成绩的众数和平均数；(3)估计该校高一学生这次数学成绩的75%分位数.【答案】(1)(2)众数为，平均数为(3) 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解；可得，（2）根据频率分布直方图的中众数的概念和平均数的计算公式，即可求解；（3）因为50到80的频率和为0.65，50到90的频率和为0.9，结合百分数的计算方法，即可求解.【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得，解得.（2）解：根据频率分布直方图的中众数的概念，可得众数为，平均数为.（3）解：因为50到80的频率和为0.65，50到90的频率和为0.9，所以75%分位数为.16．在中，（1）求的值；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用余弦定理可求得的值；（2）利用二倍角的正弦公式求出的值，然后利用正弦定理可求得的值.【详解】（1）因为在中，，所以，；（2）由（1）知，，所以因为，所以又因为，由正弦定理，可得17．设为奇函数，a为常数．（1）求a的值．（2）若，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由奇函数的性质，代入运算后可得，代入验证即可得解；（2）转化条件为对于恒成立，令，结合函数的单调性求得即可得解.【详解】（1）因为为奇函数，则，则，所以即，当时，，不合题意；当时，，由可得或，满足题意；故；（2）由可得，则对于恒成立，令，因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递增，所以在上单调递增，所以，所以.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将恒成立问题转化为求函数的最值.18．如图，在正方体中，棱长为2.（1）证明：；（2）求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）连结交于点O，证明平面，利用线面垂直的性质定理即可证明；（2）连结，证明是二面角的平面角.利用由余弦定理求出的大小即可.【详解】（1）连结交于点O，在正方形中，，平面，平面，，，，平面，平面，又平面，.（2）连结.在正方体中，，O是线段的中点，，在中，，，是二面角的平面角.在中，，，，由余弦定理得:.即二面角的平面角的余弦值为.