2023年山东省济南市济阳区中考数学二模试卷（含解析）

2023年山东省济南市济阳区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  中国人使用负数最早可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  从今年两会传来的数据看新时代中国发展之变截至年底，我国累计建设开通基站个，实现“县县通”“村村通宽带”，将这个数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，于，，若，等于(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，、两点在数轴上表示的数分别是、，则下列式子中一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，若要从“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中抽取两张，则恰好抽到“立春”“秋分”两张邮票的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若，则代数式的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于、两点，作直线交于点，若，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知二次函数经过点当时，的取值范围为，则下列四个值中有可能为的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  分解因式：______．

12.  若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．

13.  菱形的两条对角线分别为和，则菱形的周长为        ．

14.  如图，一块飞镖游戏板由四个全等的直角三角形和一个正方形构成，若，游戏板随机投掷一枚飞镖飞镖每次都落在游戏板上，击中阴影部分的概率______ ．

15.  一列慢车从地驶往地，一列快车从地驶往地，两车同时出发，分别驶向目的地后停止．如图，折线表示两车之间的距离千米与慢车行驶时间小时之间的关系，求当快车到达地时，慢车与地的距离为______千米．

16.  如图，矩形中，，，点是中点，连接将沿折叠，点落在点处，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组，并求其正整数的解．

19.  本小题分
如图，，是▱的对角线上两点，且，求证：．

20.  本小题分
我区某学校举行了数学计算能力比赛，李老师从七、八年级各随机抽取了名学生的比赛成绩整理分析，成绩得分用表示为整数，共分为四组：：：：七年级名学生的成绩是：，，，，，，，，，八年级名学生的成绩在组中的数据是：，，．

根据以上信息，解答下列问题：
______ ， ______ ， ______ ， ______ ；
扇形的圆心角度数为______ ；
学校八年级参加数学计算能力比赛的学生有人，请你估计成绩超过分的学生有多少人？

21.  本小题分
如图，在中，，点在斜边上，以为圆心，的长为半径的圆交于点，交于点，为的切线．
求证：；
若，，求的半径的长．

22.  本小题分
海中有一小岛，该岛周围内有暗礁今有快艇以的速度向正北航行，在处看小岛在船的北偏东方向，航行分钟后到达处，在处看小岛在船的北偏东方向．
到的距离是______ ；
求该快艇继续向北航行有触礁危险吗？说明理由参考数据：，，

23.  本小题分
某校实践社团计划制作甲、乙两类手工产品共个，准备在“爱心义卖”活动中出售，所获收入全部捐给山区小学建图书角若售出个甲类产品和个乙类产品收入元，售出个甲类产品和个乙类产品收入元．
求甲、乙两类手工产品的售价各是多少元；
已知甲类产品个数不超过乙类产品的倍，则制作甲、乙类两种产品各多少个的时候总收入最多？请说明理由．

24.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
求，的值；
点在反比例函数图象上，直线与轴交于点，，连接，求的面积；
点在轴上，点是坐标系内一点，当四边形为矩形时，求点的坐标．
 

25.  本小题分
有公共顶点的两个等腰直角三角形按如图所示放置，点在边上．

连接，请直接写出值为______ ；
如图，，分别为，的中点，连接，求值；
如图，为的中点，连接，，求值

26.  本小题分
抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

求抛物线的解析式；
如图，连接，是线段上一点，，作射线交抛物线于点，是抛物线上一点，连接，若平分，求点的坐标；
在的条件下，如图，过点作垂直于轴于点，在直线上存在点，使得，请直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数为
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：从几何体的左边看有两层，底层两个正方形，上层左边一个正方形．
故选：．
找到从几何体的左边看所得到的图形即可．
此题主要考查了简单几何体的三视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
 

3.【答案】 

【解析】解：用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为，其中是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
．
，
，
，
故选：．
由平行线的性质即可求出的度数，由垂直的定义得到．
本题考查平行线的性质，垂线，掌握垂直的定义，平行线的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

6.【答案】 

【解析】解；由数轴可得，
，，，
若，则，故选项A正确；
若，则，故选项B错误；
若，则，故选项C错误；
若，则，故选项D错误；
故选A．
根据数轴可以得到、的正负和范围，从而可以分别假设选项中的式子成立，退过推理看与通过数轴得到的结论是否一致，即可得到哪个选项是正确的．
本题考查数轴、绝对值，解题的关键是明确数轴的特点，不等式的性质，利用数形结合的思想解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：设立春用表示，立夏用表示，秋分用表示，大寒用表示，列表如下，

由表可得，一共有种等可能性的结果，
其中抽到的两张邮票恰好是“立春”“秋分”的可能性有种，
抽到的两张邮票恰好是“立春”“秋分”的概率是，
故选：．
根据题意，可以列出表格，从而可以得到抽到的两张邮票恰好是“立春”、“秋分”的概率．
本题考查列表法与画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，列出表格．
 

8.【答案】 

【解析】解：


，
当时，原式，
故选：．
先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，
由作法得垂直平分线，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
的面积．
故选：．
连接，由作法得垂直平分线，由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证得，由三角形外角的性质得到，根据含度直角三角形的性质和勾股定理求出，，根据三角形的面积公式即可求出的面积．
本题考查了作图复杂作图，线段垂直平分线的性质，含度直角三角形的性质和勾股定理等知识，熟悉基基本作图和线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：当时，，的取值范围为，
，为抛物线上的点，且抛物线开口向上，
对称轴为，
，
，
，
，
，
将代入解析式中得，，
，
，
解得或，
故选：．
由当时，，的取值范围为，得到对称轴为，从而，将代入解析式中得，，用含的式子表示，由，得，进而求出的范围即可得答案．
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象上点的坐标特征．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
利用平方差公式进行分解．
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：．
满足，得到有关的方程即可求出的值．
此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，

菱形中，，，
，，，
，
菱形的周长是．
故答案为：．
由菱形的两条对角线相交于，若，，可求得与的长，然后由勾股定理求得边的长，继而求得答案．
此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意掌握菱形的对角线互相垂直且平分定理的应用是解此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：正方形面积为，其中阴影部分面积为，
击中阴影部分的概率是．
故答案为：．
根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
 

15.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
慢车的速度为：千米小时，
快车的速度为：千米小时，
则快车到达地的所用的时间为：小时，
故当快车到达地时，慢车与地的距离为：千米，
故答案为：．
根据题意和函数图象中的数据可以计算出慢车和快车的速度，从而可以计算出快车到达所用的时间，进而得到当快车到达地时，慢车与地的距离．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图所示，过作的垂线，交于，交于，则，

由折叠可得，，
，
∽，
，
由折叠可得，
，点为的中点，
，
设，则，
，即，
中，，
，
解得，即，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
先过作的垂线，交于，交于，则，设，则，根据∽，即可得到，在中，，列方程即可得到，进而得到的值．
本题主要考查了折叠问题，相似三角形的判定与性质，解直角三角形以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是：设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开平方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

18.【答案】解：解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
正整数有：，． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求正整数解即可．
本题考查了解一元一次不等式组，掌握同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
． 

【解析】证≌，得，则，再由平行线的判定即可得出结论．
本题考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质以及平行线的性质与判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

20.【答案】         

【解析】解：由题意可知，，
；
把七年级名学生的成绩从小到大排列为：，，，，，，，，，，
排在中间的两个数分别是，，故中位数；
七年级名学生的成绩中出现的次数最多，故众数；
把八年级名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是，，故中位数．
故答案为：，，，；
扇形的圆心角度数为：，
故答案为：；
人，
答：估计成绩超过分的学生大约有人．
用“”分别减去其他三组的百分百可得的值；根据中位数的定义可得与的值，根据众数的定义可得的值；
用乘组所占百分百即可；
用总人数乘以样本中成绩超过分的学生人数对应的百分比即可．
本题考查了中位数、众数、用样本估计总体以及扇形统计图，从统计图中获取数量之间的关系是解决问题的关键．
 

21.【答案】证明：连接，如图，
为的切线，
，
，
．
，
，
．
，
，
．
解：，，
∽，
，
，
．
过点作于点，则，
，，
∽，
，
，
．
的半径的长为． 

【解析】连接，利用圆的切线的性质定理，直角三角形的两个锐角互余，同角的余角相等得到，利用同圆的半径相等，等腰三角形的性质即可得出结论；
通过证明∽求得线段的长，过点作于点，利用垂径定理则，证得∽，可求得线段，利用勾股定理即可求得结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
 

22.【答案】 

【解析】解：由速度、时间、路程之间的关系可得，
，
故答案为：；
过点作于，
由题意得，，，
，
设，
在中，，
即，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
该快艇继续向北航行没有触礁危险．
根据速度、时间、路程之间的关系即可求解；
过点作于，由题意得，，，设，在中求出即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，掌握锐角三角形函数的定义并灵活运用是解题的关键．
 

23.【答案】解：设甲类手工产品的售价是元，乙类手工产品的售价是元，
根据题意得：，
解得，
甲类手工产品的售价是元，乙类手工产品的售价是元；
设制作甲类产品个，则制作乙类产品个，若总收入为元，
甲类产品个数不超过乙类产品的倍，
，
解得，
根据题意，
，
随的增大而增大，
时，取最大值，最大值为，
此时，
制作甲类产品个，制作乙类产品个，总收入最多为元． 

【解析】设甲类手工产品的售价是元，乙类手工产品的售价是元，可得：，即可解得甲类手工产品的售价是元，乙类手工产品的售价是元；
设制作甲类产品个，则制作乙类产品个，若总收入为元，根据甲类产品个数不超过乙类产品的倍，可得，而，由一次函数性质可得答案．
本题考查一次函数，二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意列方程组和函数关系式．
 

24.【答案】解：将点的坐标代入一次函数表达式得：，
解得：，
将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
解得：；

点，点的纵坐标是，，
点的纵坐标是，
把代入得，
，
如图，

作轴于，交于，
当时，，
，
，
，
；
如图，，
一次函数的解析式为，
当时，，
，
四边形为矩形，

，
过作轴于，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
解得或，
或． 

【解析】用待定系数法即可求解；
求出，根据三角形的面积公式，即可求解；
解方程得到，根据矩形的性质得到，过作轴于，求得，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题是综合题，主要考查了求反比例函数的解析式，相似三角形的判定和性质，结合一次函数的解析式求点的坐标，结合矩形的性质求点的坐标等知识，解决问题的关键是画出图形，全面分类．
 

25.【答案】 

【解析】解：，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故答案为：；
如图，连接，，

和是等腰直角三角形，，分别为，的中点，
，，
，
∽，
；
如图，取的中点，连接，

为的中点，点是的中点，
，，，
，，，
，
，
，，
∽，
．
由“”可证≌，可得，即可求解；
通过证明∽，可得；
通过证明∽，可求．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
 

26.【答案】解：将、代入解析式得：
；解得：．
解析式为：．
 当时，得．
设，由可得：
；解得：，即．
直线解析式为：．
记与交点，作交轴与．

，；
平分，即；
；
．
，
．
．
，解得：舍，．

的解析式为：．
为抛物线与的交点：
 ；解得： 舍，；
即：．
 是抛物线与射线的交点：
；解得：舍；；即：．
设，以为对角线做正方形，则，如图．

当在上时，；
即：；解得：舍；；
当在上时，；
即：；解得：舍；；
； 

【解析】将、两点从标代入易求解析式；
是的平分线，用角平分线定理，可求得．
满足，可构造圆，利用圆周角定理求得．
本题考查了二次函数、一次函数的性质，借助几何知识灵活应用角平分线，才能顺利解题．