2023年江苏省常州市金坛区中考数学二模试卷（含解析）

2023年江苏省常州市金坛区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若式子有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  某几何体的三视图如图所示，则该几何体是(    )

A. 三棱柱
B. 三棱锥
C. 四棱柱
D. 圆锥

4.  已知三角形的两边长分别为和，则第三边的长可以是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知圆锥的底面半径是，母线长为，则圆锥的侧面积是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  一辆汽车油箱中剩余的油量与已行驶的路程的对应关系如图所示．如果这辆汽车每千米的耗油量相同，当油箱中剩余的油量为时，那么该汽车已行驶的路程为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，将向右平移到的位置，点、、依次与点、、对应点，是的中点，若反比例函数的图象经过点和点，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

9.  ______．

10.  计算： ______ ．

11.  分解因式：______．

12.  年月日，“天宫课堂”正式开课，我国航天员在中国空间站首次进太空授课，本次授课结束时，网络在线观看人数累计超过人次．把“”用科学记数法表示为______．

13.  如图，数轴上的点、分别表示实数、，则 ______ 填写“”、“”或“”．

14.  若二次函数的图象开口向下，则实数的取值范围是______ ．

15.  如图，在中，，点，，分别在边，，上，，，则四边形的周长是______ ．

16.  如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为______．

17.  如图，平分，点是上一点，点是上一点，，若，，则点到的距离是______ ．

18.  如图，正方形的边长为，是边的中点，是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接当最小时，它的长是______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：
；
．

20.  本小题分
解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

21.  本小题分
双减政策实施后，学校为了了解八年级学生每日完成书面作业所需时长单位：小时的情况，在全校范围内随机抽取了八年级若干名学生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如所示的两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题．
求统计表中，的值；
已知该校八年级学生有人，试估计该校八年级学生中每日完成书面作业所需时长满足的人数．

22.  本小题分
一只不透明的袋子中装有个红球，个白球，这些球除颜色外都相同．
搅匀后从中任意摸出个球，这个球是红球的概率是______ ；
搅匀后从中任意摸出个球，不放回，再从袋子中任意摸出个球，求两次摸到的球恰好是个红球和个白球的概率．

23.  本小题分
学校开展大课间活动，某班需要购买，两种跳绳，已知购买根型跳绳和根型跳绳共需元；购买根型跳绳和根型跳绳共需元．
购买根型跳绳和根型跳绳各需多少元？
若班级计划购买，两型跳绳共根，型跳绳个数不少于型跳绳个数的倍，设购买型跳绳根，求购买跳绳所需最少费用是多少元？

24.  本小题分
如图，已知．
在图中用直尺和圆规作的角平分线，作，使得，射线交于点不写作法，保留作图痕迹；
在的条件下，判断的形状，并证明你的结论．

25.  本小题分
如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，，点在线段上，且．
求的值及线段的长；
点为点上方轴上一点，当与的面积相等时，请求出点的坐标．

26.  本小题分
对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“最小距离”，记作已知点，，连接．
填空：点， ______ ；
的半径是，若，直接写出的取值范围；
的半径是，若将点绕点顺时针旋转，得到点．
当时，，求此时的值；
对于取定的值，若存在两个不同的值使得，直接写出的取值范围．
 

27.  本小题分
如图，二次函数的图象与轴交于点，点在点的左侧，且，与轴交于点，点是第四象限抛物线上一点，过点作轴，垂足为，交直线于点．
填空： ______ ；
若是以为底边的等腰三角形，求点的坐标；
连接，过点作直线交轴正半轴于点若，求点的横坐标．
 

28.  本小题分
如图，已知中，，，，是边上一点点与点、不重合，平分，交边于点．
如图，若是边的中点，求的长；
如图，过点作，垂足为．
若与相似，求的值；
若的面积是面积的倍，直接写出此时的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是．
根据相反数的意义，的相反数即是在的前面加负号．
【解答】
解：根据相反数的概念及意义可知：的相反数是．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：式子有意义，
，
解得．
故选：．
根据二次根式中的被开方数是非负数得出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
 

3.【答案】 

【解析】解：由三视图可知，这个几何体是三棱柱．
故选：．
从三视图的俯视图看是一个三角形，而主视图是一个矩形，左视图为矩形，可知这是一个三棱柱．
本题考查了由三视图判断几何体的知识，由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助．
 

4.【答案】 

【解析】解：三角形的两边长分别为和，
第三边的长度范围为：．
故选：．
由三角形的两边长分别为和，可得第三边的长度范围即可得出答案．
此题考查了三角形的三边关系．注意已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于这两边的和．
 

5.【答案】 

【解析】解：、与，无法合并，故此选项错误；
B、，故此选项正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：．
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：底面周长是，
则圆锥的侧面积是：
故选：．
已知底面半径即可求得底面周长，即展开图中，扇形的弧长，然后根据扇形的面积公式即可求解．
本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
 

7.【答案】 

【解析】解：当油箱中剩余的油量为时，那么该汽车已行驶的路程为：，
故选：．
由图象可知，汽车行驶耗油，据此解答即可．
本题考查了函数的图象，由题意得出汽车行驶耗油是解答本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，轴于点，过点作轴于点，如图所示，
根据题意可知，，
设，
四边形的面积为，
为的中点，轴，轴，
为的中位线，
，，
四边形的面积为，
，
解得：，
．
故选：．
根据反比例函数的几何意义构造出矩形，利用方程思想解答即可．
本题主要考查了反比例函数中的几何意义，正确作出辅助线构造出矩形是解决本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
的算术平方根是，即．
故答案为：．
利用算术平方根定义计算即可求出值．
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：


，
故答案为：．
运用同分母分式相加减，分母不变分子相加减进行运算．
此题考查了分式加减的运算能力，关键是能准确理解并运用该计算法则进行正确地计算．
 

11.【答案】 

【解析】直接利用完全平方公式分解因式即可．
解：，
故答案为：．
本题考查了运用公式法分解因式，熟记公式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

13.【答案】 

【解析】解：且，，
则．
故答案为：．
由数轴上的数右边的数总是大于左边的数可以知道：且根据有理数的运算法则即可判断．
本题主要考查了利用数轴比较数的大小的方法，以及有理数的运算法则．
 

14.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象开口向下，
．
故答案为：．
直接根据二次函数的图象与系数的关系解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，熟知二次函数中，当时，抛物线向下开口是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
四边形是平行四边形，，，
，
，
，，
，，
四边形的周长，
四边形的周长，
，
四边形的周长．
故答案为：．
由，，得四边形是平行四边形，，，再由和等量代换，即可求得四边形的周长．
本题考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
四边形内接于，
，
由圆周角定理，得，
故答案为：．
根据邻补角的概念求出，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理解答即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：作于，于，
平分，
，
，，，
，
的面积，
，
，
，
点到的距离是．
故答案为：．
由角平分线的性质定理，推出，由三角形面积公式求出的长，即可得到点到的距离．
本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质定理，推出，由三角形面积公式求出的长．
 

18.【答案】 

【解析】解：连接，

正方形的边长为，
，，
点是边的中点，
，
，
将沿翻折得到，
，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，
当点、、三点共线时，最小，
．
故答案为：．
根据正方形的性质和勾股定理可得的长，再由翻折知，得点在以为圆心，为半径的圆上运动，可知当点、、三点共线时，最小．
本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，确定当点、、三点共线时，最小是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】利用二次根式的性质，零指数幂的意义和负整数指数幂的意义化简运算即可；
利用完全平方公式和单项式乘多项式的法则化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，次根式的性质，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，完全平方公式和单项式乘多项式的法则，熟练掌握上述法则与公式是解题的关键．
 

20.【答案】解：解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集是，
解集在数轴上表示如下：
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

21.【答案】解：被调查总人数：人，
，
；
．
故可估计该校八年级学生中每日完成书图作业所需时长满足的人数是人． 

【解析】先求出被调查总人数，再根据扇形统计图求出，用总人数减去、、的人数，即可得的值；
利用样本估计总体的思想，用乘以样本中每日完成书面作业所需时长满足的人数所占的百分比即可得到答案．
本题考查了扇形统计图和频数统计表，解题的关键是掌握从图表中寻找“完整信息”从而求出被调查的总数．
 

22.【答案】 

【解析】解：搅匀后从中任意摸出个球，这个球是红球的概率是，
故答案为：；
树状图略

所有等可能结果共有种，其中两次摸到的球恰好是个红球和个白球共有种，
两次摸到的球恰好是个红球和个白球，
答：是两次摸到的球恰好是个红球和个白球的概率．
直接根据概率公式求解即可；
画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好摸出个红球、个白球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

23.【答案】解：设购买根型跳绳需要元，根型跳绳需要元，
根据题意得：，
解得：．
答：购买根型跳绳需要元，根型跳绳需要元；
班级计划购买，两型跳绳共根，且购买型跳绳根，
购买型跳绳根．
根据题意得：，
解得：．
设购买跳绳所需费用为元，则，
即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，最小值．
答：购买跳绳所需最少费用是元． 

【解析】设购买根型跳绳需要元，根型跳绳需要元，根据“购买根型跳绳和根型跳绳共需元；购买根型跳绳和根型跳绳共需元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
由购买两种跳绳的数量及购买型跳绳的数量，可得出购买型跳绳根，由购买型跳绳个数不少于型跳绳个数的倍，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设购买跳绳所需费用为元，利用总价单价数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

24.【答案】解：如图，和为所作；

是等腰三角形．
证明如下：平分，
，
，

．
．
是等腰三角形． 

【解析】理由基本作图先作的平分线，然后作；
先利用平分得到，再根据平行线的性质得到，所以则，于是可判断是等腰三角形．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质、平行线的性质和等腰三角形的判定．
 

25.【答案】解：点在正比例函数上，轴，，
点的坐标为，
点的纵坐标是，代入，得，
，
点在反比例函数的图象上，
，
点在线段上，且．
设点，
，，
，解得：，
点，
，
，；

如图，

设点，
点为点上方轴上一点，
，，
，，
，，
与的面积相等，
，解得：，
． 

【解析】根据正比例函数的解析式求出点坐标，由在反比例函数上，可求出，再根据求出点的坐标，即可得线段的长；
设点，根据与的面积相等，得出关于的方程，解方程即可得点的坐标．
本题考查一次函数与反比例函数的图象及解析式，根据两点间的距离建立方程式求解点的坐标是解题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：点，，
轴，
点，，
故答案为：；
如图，，则与线段有交点，

此时，
的取值范围是；
如图，过点作，垂足为．

，，
，，
点落在轴上，
，
；
若存在两个使，即线段在旋转过程中与有两个交点，如图，

，，
的取值范围是．
证明轴，则可得出答案；
根据题意画出图形，由直角三角形的性质及“最小距离”的定义得出答案；
过点作于点，由直角三角形的性质可得出答案；
由题意可知线段在旋转过程中与有两个交点，画出图形即可得出答案．
本题是圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“最小距离”的概念，旋转的性质，直角三角形的性质及分类讨论思想的运用等知识点．
 

27.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象与轴交于点，点在点的左侧，且，
，
解得；
故答案为：；
抛物线交轴于点，
．
，
，直线的函数表达式是；
如图，过点作，垂足为，
，
，
∽，
，

是以为底边的等腰三角形，
．
，
设点，
则点，
，
舍去，，
；
由题意可知点，
，
如图，过点作轴，垂足为．

，
设点，
则，，
，
，
解得舍去，，
点的横坐标是．
将点的坐标代入解析式，解方程即可得出结论；
先求出点的坐标，可得出：：，和直线的表达式，设出点的坐标，可表达点的坐标，再根据建立方程，求解即可得出结论；
过点作轴，垂足为则，设点，则，，所以，由此列出关于的方程，解之即可得出结论．
本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象及性质，待定系数法，等腰三角形的性质，函数上点的坐标特征等相关知识，用表达各线段长是解题的关键．
 

28.【答案】解：，若是边的中点，
，

平分，
，
，
．
如图，

当与∽，
则，
，
，
平分，
，
，
如图，

当∽，
则．
．
平分，
．
，
综上所述，的值为或；
如图；过点作，垂足为．

则，．
的面积是面积的倍，
．
．
，，

，
∽，
．
，
．
．
． 

【解析】根据直角三角形的性质和角平分线的定义即可得到结论；
分两种情况：当∽时，可证得，再根据平分，可得，再由特殊角的三角函数值即可求得答案；当∽时，则，得出，再由平分，可得，推出，利用三角函数定义即可求得答案；
如图；过点作，垂足为则，求得得到根据相似三角形的性质得于是得到结论．
本题是相似综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线性质，三角形面积，三角函数等知识，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．