2022-2023学年湖北省孝感市孝南区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省孝感市孝南区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  代数式有意义时，应满足的条件为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列式子中，属于最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列长度的线段，，首尾相连构成三角形，其中不能构成直角三角形的是(    )

A.  B. ，，
C. ：：：： D. ，，

5.  如图，一竖直的木杆在离地面米处折断，木杆顶端落地面离木杆底端米处，木杆折断之前的高度为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

6.  下列命题中，真命题有个(    )
平行四边形是轴对称图形；若菱形的边长与其中一条对角线相等，那么此菱形有一个内角等于；对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；正方形的面积等于对角线长的平方的一半(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，把菱形沿折叠，落在边上的点处．若，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  计算：______．

10.  已知，，则代数式的值为______．

11.  在平面直角坐标系中，点到原点的距离是______．

12.  如图，延长矩形的边至点，使，连接，如果
，则等于______度．

13.  如图，圆柱的高为，底面周长为，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点爬到点的最短路程是______．

14.  运用因式分解的方法可以求方程的解，如，则方程的解为或，用这种思想解高次方程，它的解是______．

15.  如图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图，一个边长为的正方形，经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，且三个正方形所围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后变成了；如此继续“生长”下去，则第次“生长”后，这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积和为______ ．

16.  如图，矩形中，、交于点，平分交于，，连接下列结论：
是等边三角形；
；
；
其中正确的有______ 填序号．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17.  先化简，再求值：其中．

四、解答题（本大题共7小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：
；
．

19.  本小题分
如图，四边形中，若，，，，．
判断是否是直角，并说明理由；
求的度数．

20.  本小题分
在的网格中，小正方形的顶点称为格点，如图，，是格点，画等腰，使点是格点，且分别满足下列条件：

画在图中；
画在图中；
以为底且画在图中．

21.  本小题分
阅读材料，解答下列问题：
材料：已知，求的值．
李聪同学是这样解答的：


．
．
这种方法称为“构造对偶式”．
问题：已知．
求的值；
求的值．

22.  本小题分
如图，矩形的对角线相交于点，，，连接．
求证：四边形是菱形；
若，，求的长．

23.  本小题分
新定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
如图，已知四边形是垂美四边形．
若，则它的面积为______ ；
若，，，，探究、、、的数量关系．
如图，已知、分别是中边、的中点，，，，请运用中的结论，直接写出的长为______ ．

24.  本小题分
感知：如图，在正方形中，是一点，是延长线上一点，且，求证：；
拓展：在图中，若在上，且，则成立吗？为什么？
运用：如图在四边形中，，，，是上一点，且，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关知识点是解题关键．
直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】
解：代数式有意义时，，
解得：．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：，，，
只有为最简二次根式．
故选：．
根据最简二次根式满足的条件对各选项进行判断．
本题考查了最简二次根式：把满足下述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，原计算错误，故不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能计算，故不符合题意；
C、，原计算正确，故符合题意；
D、，原计算错误，故不符合题意．
故选：．
根据二次根式的加减乘除运算可进行求解．
本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、由可知：，故该选项不符合题意；
B、由，，可知：，故该选项不符合题意；
C、由：：：：可设，，，则有，故该选项不符合题意；
D、由，，可知：，所以不能构成直角三角形，故该选项符合题意；
故选：．
根据勾股定理逆定理可进行求解．
本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：一竖直的木杆在离地面米处折断，木杆顶端落地面离木杆底端米处，
折断的部分长为米，
折断前高度为米．
故选：．
由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
 

6.【答案】 

【解析】解：平行四边形是不轴对称图形，故错误；
若菱形的边长与其中一条对角线相等，那么此菱形有一个内角等于，
如图，菱形中，，则是等边三角形，同理是等边三角形，
，
，

故正确；
对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故错误；
正方形是菱形，且对角线相等，则正方形的面积等于对角线长的平方的一半，故正确
故正确的有，共个，
故选：．
根据平行四边形的性质，菱形的性质，正方形的性质与判定逐项分析判断即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，菱形的性质，正方形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：菱形沿折叠，落在边上的点处，
，
，
，
在菱形中，，，
，
，
，，
，
，
．
故选：．
根据翻折变换的性质可得，然后根据等腰三角形两底角相等求出，根据菱形的四条边都相等可得，菱形的对角相等求出，再求出，然后根据等腰三角形两底角相等求出，然后根据计算即可得解．
本题考查了翻折变换的性质，菱形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，翻折前后对应边相等，菱形的四条边都相等，对角相等．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，如图所示：
，，，
，
，，
四边形是矩形，
．
是的中点，
，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即时，最短，同样也最短，
当时，，
最短时，，
当最短时，．
故选A．
先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用相似三角形对应边成比例即可求得最短时的长，然后即可求出最短时的长．
此题主要考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线性质；由直角三角形的面积求出是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了算术平方根的性质，即根据算术平方根的性质进行化简，即．
【解答】
解：．  

10.【答案】 

【解析】解：，，
，
则，
故答案为：．
根据二次根式的加法法则求出，计算即可．
本题考查的是二次根式的计算，掌握二次根式的加法法则是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系中，点，
点到原点的距离是：．
故答案为：．
点到原点的距离为点横坐标与纵坐标的平方和的平方根．
本题主要考查了勾股定理和点到原点的距离求法：一个点横坐标与纵坐标平方和的算术平方根即为此点到原点的距离．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，且，
，
又，
，
，
，
，即．
故答案为：．
由矩形性质可得、，知，而，可得度数．
本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图所示：沿过点和过点的母线剪开，展成平面，连接，
则的长是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程，
，，，
由勾股定理得：．
故答案为：．
过点和过点的母线剪开，展成平面，连接，则的长是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程，求出和的长，根据勾股定理求出斜边即可．
本题考查了平面展开最短路线问题和勾股定理的应用，关键是知道求出的长就是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程．
 

14.【答案】或或． 

【解析】解：原方程化为：，
．
原方程的解为：或或．
故答案为：或或．
先因式分解，再解方程．
本题考查解高次方程，将方程因式分解是求解本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，
第一个正方形的边长为，
第一个正方形的面积为，
由勾股定理得，，
，即经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形的面积和为，
“生长”第次后所有正方形的面积和为，
同理，“生长”第次后所有正方形的面积和为，

则“生长”第次后所有正方形的面积和为，
故答案为：．
根据正方形的面积公式求出第一个正方形的面积，根据勾股定理求出经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形的面积和，总结规律，根据规律解答．
本题考查的是勾股定理、图形的变化，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：在矩形中，，平分，
，，
，
，
又，
是等边三角形，
，
又，
是等边三角形，故正确；
在矩形中，，，
又，
是等腰直角三角形，
，
，故正确；
是等边三角形，
，
又，
，
，
，故错误；
和的底边，点到的距离相等，
，故正确；
综上所述，正确的结论是，
故答案为：．
根据矩形的性质，可知，，，根据平分线的定义可得，继而得到，所以是等边三角形，可知，可得是等边三角形，故正确；证明是等腰直角三角形，可得，所以，故正确；由是等边三角形得，又因为，所以，根据直角三角形中直角边小于斜边可知，可得，故错误；和是等底等高的三角形，所以，故正确，即可得出答案．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

，
当时，
原式． 

【解析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的，最后代入求值．
本题考查分式的化简求值，二次根式的分母有理化计算，理解二次根式的性质，掌握分式混合运算的运算顺序先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的和计算法则是解题关键．
 

18.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】根据立方根、算术平方根、零指数幂和乘方的性质化简即可；
根据完全平方公式、二次根式的除法法则计算即可．
本题考查实数的混合运算和二次根式的运算，熟练掌握立方根、算术平方根、零指数幂和乘方的性质是解题关键．
 

19.【答案】解：是直角，理由见解答：
连接．
，，，
由勾股定理，得．
又，，
，
，
；
． 

【解析】连接首先根据勾股定理求得的长，再根据勾股定理的逆定理求得；
根据四边形内角和为求出．
此题主要考查了勾股定理的应用以及四边形内角和定理，综合运用勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．
 

20.【答案】解：如图中，即为所求；


解：如图中，即为所求；


解：如图中，即为所求．
 

【解析】根据要求画出图形即可；
作等腰直角三角形即可；
构造腰长为的等腰三角形即可．
本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的判定，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：由题意得：


；
，
；
由知，
，
得：，
解得：． 

【解析】根据题意可得，然后问题可求解；
由及题意可列方程进行求解．
本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法运算及题中所给运算是解题的关键．
 

22.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
四边形是菱形；
解：，，
在菱形中，，
、均为等边三角形，
，
如图，作交延长线于点，

，
，
，，
，
． 

【解析】根据菱形的判定证明即可；
作交延长线于点，根据菱形的性质和勾股定理解答即可．
此题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
 

23.【答案】  

【解析】解：四边形是垂美四边形，
，
，
，
故答案为：；

四边形是垂美四边形，
，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
，，
，
即：；

如图，连接，

、分别是中边、的中点，，，
，，，
，
四边形是垂美四边形，
，
，
或舍去，
故答案为：．
由面积和差关系可求解；由勾股定理列出方程组，可求解；
由三角形的中位线定理可得，，，由的结论，列出方程可求解．
本题是四边形综合题，考查了勾股定理，三角形中位线定理等知识，理解垂美四边形的定义并运用是解题的关键．
 

24.【答案】证明：如图中，

在正方形中，
，，，
≌，
；
解：如图中，结论：，
理由：≌，
，
，
即，又，
，
在和中，
，
≌，
，
；
解：如图中，过作于，

在直角梯形中，
，，，，
四边形为正方形，
，
，由可得，
设，则，

在中，，
，
即． 

【解析】本题是一道几何综合题，内容涉及三角形的全等、图形的旋转以及勾股定理的应用，重点考查学生的数学学习能力，是一道好题．
利用已知条件，可证出≌，即．
借助的全等得出，，即，又因为，，≌，，．
过作，交延长线于，先证四边形是正方形有一组邻边相等的矩形是正方形．
再设，利用、的结论，在中利用勾股定理可求出．