2023年河北省秦皇岛市海港区中考数学一模试卷（含解析）

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2023年河北省秦皇岛市海港区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的立方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  墨迹覆盖了等式“”中的运算符号，则覆盖的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  实数在数轴上的对应点的位置如图所示若实数满足，则的值可以是(    )
 

A.  B.  C.  D.

5.  如图，平面上直线，分别过线段两端点数据如图，则，相交所成的锐角是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若，则中的数是(    )

A.  B.  C.  D. 任意实数

7.  已知，，，若为整数且，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是(    )

A.   B.   C.   D.  

9.  如图，在▱中，，，平分交边于点，则线段、的长度分别为(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

10.  甲、乙、丙三个旅行团的游客人数都相等，且每团游客的平均年龄都是岁，这三个团游客年龄的方并有分别是，，，导游小王最喜欢带游客年龄相近的团队，若在这三个团中选择一个，则他应选(    )

A. 甲团 B. 乙团 C. 丙团 D. 甲或乙团

11.  如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

12.  一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为，水流速度为轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为，航行的路程为，则与的函数图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

13.  小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高，因此能比走路线一少用分钟到达．若设走路线一时的平均速度为千米小时，根据题意，得(    )

A.  B.
C.  D.

14.  三名快递员某天的工作情况如图所示，其中点，，的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员上午派送快递所用的时间和件数；点，，的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员下午派送快递所用的时间和件数．

有如下三个结论：
上午派送快递所用时间最短的是甲；
下午派送快递件数最多的是丙；
在这一天中派送快递总件数最多的是乙．
上述结论中，所有正确结论的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

15.  如图，正方形中点为边的中点，点为边的四等分点，分别连结、、则下列结论：∽；；；∽，其中正确的个数是(    )

A. 个
B. 个
C.
D.

16.  已知二次函数的图象如图所示，下列个结论：；；；为任意的实数；方程有实数根的条件是，其中正确的结论有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）

17.  若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．

18.  如图在平面直角坐标系中▱的顶点分别为，，．
点的坐标为______ ．
当正比例函数的图象平分▱面积时，的值为______ ．

19.  如图中，，，，顶点、分别在轴、轴的正半轴上滑动．
______ ；
若点是的中点则点在运动过程中经过的路径长为______ ；
点到原点的最大的距离是______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
定义新运算：对于任意实数，都有，等式右边是通常的加、减、除运算，比如．
求的值：
若不大于，求的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来．
 

21.  本小题分
某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“合格”，“不合格”．

本次抽查总人数为______，“合格”人数的百分比为______；
补全条形统计图；
扇形统计图中“不合格人数”的度数为______；
在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为______．

22.  本小题分
设示是一个两位数，其中是十位上的数字，例如，当时，表示的两位数是观察以下等式：
当时，；
当时，；
当时，；

根据以上规律，解决下列问题
写出第六个等式：______ ；
写出你猜想的第个等式用含的式子表示，并证明；
运用：若与的差为求的值．

23.  本小题分
【阅读材料】

【解答问题】
请根据材料中的信息证明四边形是菱形；
如果，，求菱形的面积；
只利用尺规，你还有其他方法做出菱形吗？写出一种，保留作图痕迹不写作法．

24.  本小题分
如图反比例函数的图象经过点、点是一次函数的图象与该反比例函数图象的一个公共点．
求反比例函数的解析式；
当点的纵坐标为时，
求的面积：
方程的解为______ ；当满足______ ：
对于一次函数当随的增大而增大时，则点横坐标的取值范围为______ ．

25.  本小题分
某商品的进价为每件元，售价为每件元，每个月可卖出件；如果每件商品的售价每上涨元，则每个月少卖件每件售价不能高于元设每件商品的售价上涨元为正整数，每个月的销售利润为元．
求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；
每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于元？

26.  本小题分
如图矩形中，，，为的中点半径为的与直线切于点在折线上运动不与、重合将矩形沿直线向方向翻折点的对称点为点的对称点为．

当在边上时求的长；
当、、在一条直线上时，判断直线与的位置关系，并证明；
若与边交于点，设，，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
在翻折过程中，当线段与有一个交点时，直接写出的取值范围和在翻折过程中的最小值

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的立方根是．
故选：．
根据立方根的定义求解即可．
本题考查了立方根，掌握如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
覆盖的是：．
故选：．
直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
本题主要考查了同底数幂的乘法运算，掌握相关运算法则是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：从正面看，底层是四个小正方形，上层左起第个位置是一个小正方形，
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：由数轴的定义得：，
，
，
又，
到原点的距离一定小于，
观察四个选项，只有选项B符合，
故选：．
先由在数轴上的位置可得，进而可得，再由可得的范围，再选出符合要求的选项．
本题考查了通过数轴比较实数的大小，解决本题的关键是熟练掌握通过数轴比较实数的大小．
 

5.【答案】 

【解析】解：由三角形的外角性质得，，相交所成的锐角的度数是．
故选：．
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；根据该性质，可列出算式，求解即可，
本题侧重考查三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，掌握三角形外角性质是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意可得：




，
故选：．
根据题意列出分式减法算式，然后利用分式减法的计算法则进行计算．
本题考查分式的加减运算，掌握运算法则是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故选：．
先写出所在的范围，再写的范围，即可得到的值．
本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了含度角的直角三角形性质的应用，构造直角三角形是解此题的关键所在，题目比较好，难度也不大．
过作于，求出，根据含度的直角三角形性质求出即可．
【解答】
解：过作于，

则，，
，
，
，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：平分交边于点，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
．
故选D．
先根据角平分线及平行四边形的性质得出，再由等角对等边得出，从而求出的长．
本题主要考查了角平分线、平行四边形的性质及等腰三角形的判定，根据已知得出是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：方差越大则数据的离中程度就越大，故方差越小离中程度就越小，数据越稳定．
故选：．
方差越大则数据的离中程度就越大，故方差越小离中程度就越小，数据越稳定．
本题考查方差，掌握方差的计算公式是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图：连接，

由题意得：
，
，
，
，
是直角三角形，
，
在中，，，
，
故选：．
连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：第一个阶段，顺水航行，那么用时较少；第二个阶段，休息，那么随着时间的增长，路程不再变化，函数图象将与轴平行；第三个阶段，逆水航行，所走的路程继续增加，相对于第一个阶段，用时较多．故选C．
由航行，休息，航行可得此函数图象将分三个阶段．
解决本题的关键是抓住相同路程用时不同得到相应函数图象．
 

13.【答案】 

【解析】解：设走路线一时的平均速度为千米小时，
．
故选：．
若设走路线一时的平均速度为千米小时，根据路线一的全程是千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高，因此能比走路线一少用分钟到达可列出方程．
本题考查理解题意的能力，关键是以时间做为等量关系列方程求解．
 

14.【答案】 

【解析】解：从图可知以下信息：
上午送时间最短的是甲，正确；
下午送件最多的是乙，不正确；
一天中甲送了件，乙送了件，正确；
故选：．
从图中根据的信息依次统计，即可求解；
本题考查坐标与点的位置，统计的知识；能够从图中获取信息，针对性的统计是求解的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设正方形的边长为，
点为边的中点，点为边的四等分点，
，，．
，，
，
，
∽，故正确；
∽，
，
，
，
，故正确；
，，
，故不正确；
，，

，
∽，故正确．
故选：．
设正方形的边长为，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判断和；根据相似三角形的性质可判断；根据勾股定理可判断．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由图象可知，抛物线对称轴为直线，
，
，
故正确；
当时，，
，
，
故错误；
由抛物线的对称性可知，当时，，
，
故正确；
当时，有最大值，此时，
当时，，
，
，即为任意的实数．
故正确；
由图象可知，时，函数图象上找不到与之对应的值，
方程有实数根的条件是，
故正确；
综上所述，正确的有，共个，
故选：．
由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
此题主要考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与一元二次方程的联系，二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和系数的关系．
 

17.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：，，
，
▱，
，

，
故答案为：；
设▱对角线交点为，则为对角线中点，

，，
，
正比例函数的图象平分▱面积，
正比例函数的图象过，
，
解得，
故答案为：．
根据平行线的性质求解即可；
根据平分▱面积必过对角线交点求解即可．
本题考查平行四边形的性质，求正比例函数解析式，解题的关键是根据平分平分▱面积必过对角线交点，再利用中点坐标公式求出．
 

19.【答案】   

【解析】解：中，，，，
，
故答案为：；
连接，

点是的中点．
，
顶点、分别在轴、轴的正半轴上滑动，
点的运动轨迹是以为圆心，半径为的在第一象限的圆弧，
点在运动过程中经过的路径长为，
故答案为：；
连接，

，
，，三点共线时，最大，
，
，
；
故答案为：．
直接利用勾股定理求解即可；
连接，根据直角三角形的性质可得，可得点的运动路径，利用弧长公式求解即可；
连接，可知当三点共线时，最大，由勾股定理求得，即可得到答案．
本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，弧长公式，解题的关键是熟练掌握知识点，理解点到的距离不变．
 

20.【答案】解：根据题意得：；
根据题意得：，
解得：，
在数轴上表示为：
． 

【解析】根据题中定义求出所求式子的值即可；
根据题中的新定义所求的不等式，解不等式即可．
此题考查了有理数的运算和解一元一次不等式．
 

21.【答案】解：，；
补全图形如下：

；
  

【解析】

【分析】
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
由优秀人数及其所占百分比可得总人数，根据百分比之和为可得合格人数所占百分比；
总人数乘以不合格人数所占百分比求出其人数，从而补全图形；
用乘以样本中“不合格人数”所占百分比即可得出答案；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】
解：本次抽查的总人数为人，
“合格”人数的百分比为，
故答案为：，；
人，
补全图形如下：

扇形统计图中“不合格人数”的度数为，
故答案为：；
列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中刚好抽中甲乙两人的有种结果，
所以刚好抽中甲乙两人的概率为．
故答案为：．  

22.【答案】 

【解析】解：当时，；
故答案为：；

，证明如下：
，
；

与的差为，

整理得：，
解得：，
，
．
观察题干中式子的变化，根据变化规律，即可得到答案；
根据题干中式子的变化规律，用代数式表达即可；
由与的差为，列方程求解即可．
本题考查了找规律数字类，完全平方式的应用，利用平方根的定义解方程，理解题意，找到规律是解题的关键．
 

23.【答案】解：由作图可知，
，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
过作于，

，，
在中，，
四边形是菱形，
，
；
如图所示，以为圆心．长为半径画弧，交于点，连接，过点作的垂线交于点，连接即可，
 

【解析】根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；
过作于，解直角三角形，求得，进一步求解即可；
以为圆心．长为半径画弧，交于点，连接，过点作的垂线交于点，连接即可．
本题考查了作图应用设计，菱形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
 

24.【答案】    

【解析】解：反比例函数的图象经过点，
，
．
反比例函数的解析式为；
当时，，，
，
过点作平行于轴，交轴于点，过点作平行于轴，交轴于点， 和交于点

，，
，，
．
点是反比例函数的图象与一次函数的图象的一个公共点，
方程的解为，
由图可知当时，，
故答案为：，，
当时，，
即一次函数一定经过，
设点的横坐标为，
一次函数过点，并且随的增大而增大时，
，点的纵坐标要小于，横坐标要小于，
当纵坐标小于时，
，
，
解得：，
则的范围为．
把代入即可得到，从而可确定反比例函数的解析式；
过点作平行于轴，交轴于点，过点作平行于轴，交轴于点， 和交于点，利用割补法即可得出面积；再根据图象可得出；
设点的横坐标为，由于一次函数过点，并且随的增大而增大时，则点的纵坐标要小于，横坐标要小于，当纵坐标小于时，由得到，于是得到的取值范围．
本题考查了反比例函数综合题：点在函数图象上，则点的横纵坐标满足图象的解析式；掌握一次函数的增减性．
 

25.【答案】解：由题意得：
且为整数；

由中的与的解析式配方得：．
，当时，有最大值．
，且为整数，
当时，，元，当时，，元
当售价定为每件或元，每个月的利润最大，最大的月利润是元．

当时，，解得：，．
当时，，当时，．
当售价定为每件或元，每个月的利润为元．
当售价不低于元且不高于元且为整数时，每个月的利润不低于元．
当售价不低于元且不高于元且为整数时，每个月的利润不低于元或当售价分别为，，，，，，，，，元时，每个月的利润不低于元． 

【解析】根据题意可知与的函数关系式．
根据题意可知，当时有最大值．
设，解得的值．然后分情况讨论解．
本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，是一道综合题．
 

26.【答案】解：当点在边上时，由折叠可知≌，
，
在中，由勾股定理可求，
；


连接，由翻折的性质得：，
，
又点是的中点，
，
又，，
≌，
，
又，
，
在和中，
，
所以≌，
，，
与相切；


若与边交于点由折叠的性质可得：，
，
又，
，
，
∽，即，
，即，
当时，、重合，此时，
当时，、重合，此时，
因为不与重合，所以；


与相切，连接、、、，如图，
由翻折的性质得：，，

，，
，，
，
，
又、分别与相切，
，
，
，
；

在上，如图，
由翻折的性质可得：，，
过点作于点，连接，

，，
，，
，，
，，
，即，
解得：，
，，
，即，
，
，

与重合，点与点重合，的值最小，

，，
，
，
由翻折的性质可得：，
又，
，
综上所述，当线段与有两个交点时，或，的最小值为． 

【解析】由折叠的性质可得≌，即，再利用勾股定理即可求出结果；
连接，由折叠的性质可得，证明≌，从而可得，证明≌即可得出结论；
证明∽，可得，即可得出结果；
由与相切，在上，与重合，三种情况进行讨论即可．
本题考查翻折的性质、全等三角形的判定与性质、切线的性质与判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握相关知识，正确构造辅助线是解题的关键．