2023年四川省攀枝花市仁和区中考数学二模试卷（含解析）

2023年四川省攀枝花市仁和区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列四个实数中，是正数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知一种细胞的直径约为，请问这个数原来的数是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  一组数据的方差计算公式为：，下列关于这组数据的说法错误的是(    )

A. 平均数是 B. 中位数是 C. 众数是 D. 方差是

5.  如图，直线，截线，相交成角，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知，是一元二次方程的两个根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  几个相同的正方体叠合在一起，该组合体的主视图和俯视图如图所示，那么组合体中正方体的个数至少有几个？至多有几个？(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

8.  二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    )
 

A.
B.
C.
D.

9.  如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为，圆柱高为，圆锥高为的蒙古包，则需要毛毡的面积是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，▱中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于(    )

A.  B.  C.  D.

11.  若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，在中，，，，点，同时从点出发，分别沿、运动，速度都是，直到两点都到达点即停止运动．设点，运动的时间为，的面积为，则与的函数图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  分解因式：______．

14.  要想了解九年级名学生的心理健康评估报告，从中抽取了名学生的心理健康评估报告进行统计分析，以下说法：每名学生的心理健康评估报告是个体；名学生是总体；被抽取的名学生是总体的一个样本；是样本容量其中正确的是______ ．

15.  如图，小明在距离地面米的处测得处的俯角为，处的俯角为若斜面坡度为：，则斜坡的长是          米．
 

16.  如图，在轴上，在轴上，，，点在边上，，的圆心在线段上，且与边，都相切．若反比例函数的图象经过圆心，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线如图，是的中位线求证：，．

19.  本小题分
某校为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级名学生每天的自主学习情况，该校领导随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图图，图，请根据统计图中的信息回答下列问题：
本次调查的学生人数是        人；
扇形统计图中“自主学习时间为小时”的扇形的圆心角的度数是        ；
请估算，该校九年级自主学习时间不少于小时的学生有多少人？
老师想从学习效果较好的位同学分别记为、、，其中为小华随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小华的概率．
 

20.  本小题分
掷实心球是攀枝花市高中阶段学校招生体育考试的必考项目如图是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处求关于的函数表达式；根据攀枝花市高中阶段学校招生体育考试评分标准女生，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分分该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
 

21.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，与轴交于点过点作轴于点，，，连接，已知的面积等于．
求一次函数和反比例函数的解析式；
若点是点关于轴的对称点，求的面积；
直接写出不等式的解集．

22.  本小题分
如图，的弦，交于点，连接，，延长到点，连结，与相切，且．
求证：点是的中点；
若，，求的长．

23.  本小题分
【问题探究】
如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，连接，．
请探究与之间的位置关系：______；
若，，则线段的长为______；
【拓展延伸】
如图，和均为直角三角形，，，，，将绕点在平面内顺时针旋转，设旋转角为，作直线，连接，当点，，在同一直线上时，画出图形，并求线段的长．
 

24.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，与轴交于点，连接、，点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点．
求抛物线的函数表达式；
当的值最大时，求点的坐标和的最大值；
把抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，是新抛物线上一点，是新抛物线对称轴上一点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，，
故选：．
先把各数化简，再根据正负数的特点进行判断．
本题考查了实数，掌握相反数和绝对值的意义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．据此解答即可．
本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为的形式，其中，为整数是关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意
故选：．
结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式及合并同类项运算，然后选择正确选项．
本题考查了幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式及合并同类项知识，掌握运算法则是解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由方差的计算公式知，这组数据为、、、，
所以这组数据的平均数为，故选项A不符合题意；
中位数是，故选项B不符合题意；
众数是，故选项C不符合题意；
方差是，故选项D符合题意．
故选：．
由方差的计算公式知，这组数据为、、、，再根据方差、众数、中位数及平均数的定义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差、众数、中位数及平均数的定义．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，

，
，
，
，
，，
．
故选：．
由邻补角的定义可求得，再由平行线的性质可得，利用三角形的外角性质即可求．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：、是一元二次方程的两个根，
，
是的一个根，
，
，
．
故选：．
由于、是一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系可得，而是方程的一个根，可得，即，那么，再把、的值整体代入计算即可．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程两根、之间的关系：，．
 

7.【答案】 

【解析】解：由所给视图可得此几何体有列，行，层，分别找到第二层的最多个数和最少个数，加上第一层的正方体的个数即为所求答案．
第一层有个正方体，第二层最少有个正方体，所以这个几何体最少有个正方体组成；
第一层有个正方体，第二层最多有个正方体，所以这个几何体最多有个正方体组成．
故选：．
由所给视图可得此几何体有列，行，层，分别找到第二层的最多个数，加上第一层的正方体的个数即为所求答案
本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与轴的交点坐标等确定出、、的情况是解题的关键．
根据二次函数图象开口向下得到，再根据对称轴确定出，根据与轴的交点确定出，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【解答】
解：二次函数图象开口方向向下，
，
对称轴为直线，
，
与轴的负半轴相交，
，
的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数图象在第二、四象限，
只有选项图象符合．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：设圆柱的底面圆的半径为，
根据题意得，
解得，
所以圆锥的母线长为，
所以需要毛毡的面积．
故选：．
设圆柱的底面圆的半径为，利用圆的面积公式得到，解得，则利用勾股定理计算出圆锥的母线长为，由于圆柱的侧面展开图为矩形，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据矩形的面积公式和扇形的面积公式可计算出需要毛毡的面积．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

10.【答案】 

【解析】解：作的延长线于，作的延长线于，

▱，
，
，
，
，
，
，
，
当、、三点共线时，最小，即最小为，
，
，
的最小值等于．
故选：．
作的延长线于，作的延长线于，则，从而，只要、、三点共线时，最小，即最小为，求出的长度即可．
本题主要考查了平行四边形的性质、线段和最小等问题，将转化为是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由不等式组，
得：，
解集是，
，
由关于的分式方程得，
，
有非负整数解，
，
，
舍去，此时分式方程为增根，，，，或时，不是整数，
它们的和为．
故选：．
先解关于的一元一次不等式组，再根据其解集是，得小于，再解分式方程，根据其有非负整数解，同时考虑增根的情况，得出的值，再求和即可．
本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解，掌握分式方程有意义的条件，不等式组的解集是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：在中，，故，则，
当时，；
当时，此时，点与点重合，点在上，

过点作于点，则，
则；
当时，此时，点与点重合，点在上，
同理可得：，
故选：．
分、、三种情况，分别求出函数表达式，即可求解．
本题考查了动点问题的函数图象以及三角形的面积公式，分类求解得到函数表达式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式，
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】解：每名学生的心理健康评估报告是个体，故符合题意；
名学生的心理健康评估报告是总体，故符合题意；
被抽取的名学生的心理健康评估报告是总体的一个样本，故符合题意；
是样本容量，故符合题意；
故答案为：．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确得出是解题的关键．
过点作于点，根据三角函数的定义得到，根据已知条件得到，，求得，推出，，解直角三角形即可得到结论．
【解答】
解：如图所示：过点作于点，

斜面坡度为：，
，
，
在处进行观测，测得山坡上处的俯角为，山脚处的俯角为，
，，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
，，
，
，
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】解：作于，于，作于，如图，设的半径为，
与边，都相切，
，，
在中，，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
为等腰直角三角形，
，
，
，
∽，
，即，解得，
，
，
，
∽，
，即，解得，
，
，
．
故答案为．
作于，于，作于，如图，设的半径为，根据切线的性质和切线长定理得到，，再利用勾股定理计算出，则可判断为等腰直角三角形，从而得到为等腰直角三角形，则，，通过证明∽，利用相似比计算出，接着利用勾股定理计算出，所以，然后证明∽，利用相似比得到即，解得，从而易得点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出的值．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线不确定切点，则过圆心作切线的垂线，则垂线段等于圆的半径．也考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质和反比例函数图象上点的坐标特征．
 

17.【答案】解：原式
；
原式

，
当时，原式． 

【解析】先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂的意义、特殊角的三角函数值和乘方的意义计算，然后合并即可；
先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着约分得到原式，然后把的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值：把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．也考查了实数的运算．
 

18.【答案】证明：在中，延长到点，使得，连接．
在和中，
，
≌，
，，
，
又，
，
四边形是平行四边形，
，． 

【解析】在中，延长到点，使得，连接证明四边形是平行四边形，可得结论．
此题考查平行四边形的判定和性质，关键是证明四边形是平行四边形解答．
 

19.【答案】解：；
；
该校九年级自主学习时间不少于小时的学生有人，
答：九年级自主学习时间不少于小时的学生有人；
列表如下：

由列表可得，共有种等可能的结果，选中小华的有种，
． 

【解析】

【分析】
由小时人数及其所占百分比可得总人数；
减去其他三个时间段的百分比即为自主学习时间为小时的百分比，再乘以即可；
总人数乘以样本中小时、小时所占百分比之和可得答案；
列表得出所有等可能结果和选中小华的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，用到的知识点是用样本估计总体、频数、频率、总数之间的关系等，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
【解答】
解：本次调查的学生人数是人，
故答案为：；
小时人数所占百分比为，
“自主学习时间为小时”的扇形的圆心角的度数是，
故答案为：；
见答案；
见答案．  

20.【答案】解：设关于的函数表达式为，
把代入上式得，
，
解得，
．
该女生在此项考试中没有得满分．
理由：令，即，
解得，舍去，
实心球从起点到落地点的水平距离为米，小于米，
该女生在此项考试中没有得满分． 

【解析】根据题意：设关于的函数表达式为，把代入，求出即可．
根据该同学投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可．
本题主要考查了二次函数的应用和一元二次方程的解法，解题关键是理解题意把函数问题转化为方程问题．
 

21.【答案】解：轴于点，
轴，
设，
，
，
，
，
连接，

轴，
，
，
，
将代入，得，
反比例函数解析式为；
，
在中，，
，
将点，点代入，可得
，
，
一次函数解析式为；
点是点关于轴的对称点，
，
，
解方程组，
得 或，
，
；
由图可知：当或时，． 

【解析】依据，可得，将代入，得，即可得到反比例函数解析式为；将点，点代入，可得一次函数解析式为；
依据，可得，解方程组，即可得到，进而得出的面积．
根据图象直接回答即可．
本题考查的是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，轴对称的性质以及待定系数法的运用，灵活运用数形结合思想求出有关点的坐标和图象的解析式是解题的关键．
 

22.【答案】证明：连接，，交于点，如图，
与相切，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即点是的中点；
解：，
，
，
∽，
：：，
，，
：：，
解得，
即的长为． 

【解析】连接，，交于点，如图，根据切线的性质得到，再证明，则根据垂径定理得到；
根据圆周角定理，由得到，则可证明∽，然后利用相似三角形的性质得到：：，从而根据比例的性质可计算出的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和相似三角形的判定与性质．
 

23.【答案】   
若点在右侧，
如图，过点作于点，

，，，，．
，
∽
，
，

，
∽，

即
，


若点在左侧，

，，，，．
，
∽
，

，

，
∽，

即
，


综上可得，线段的长度为或。 

【解析】解：【问题探究】
和均为等腰直角三角形，
，，
，
，且，
≌



故答案为：
如图，过点作于点，

，，



故答案为：
【拓展延伸】
见答案
【问题探究】
由“”可证≌，可得，可得；
过点作于点，由勾股定理可求，，的长，即可求的长；
【拓展延伸】
分点在左侧和右侧两种情况讨论，根据勾股定理和相似三角形的性质可求解．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，关键是添加恰当辅助线．
 

24.【答案】解：将、代入，
得，
，
；
过点作轴的垂线交直线于点，
，
当时，，
，
设直线的解析为，
，
，
，
设，则，
，
，
，
当时，有最大值，
此时；
、，
，
抛物线沿射线方向平移个单位，
抛物线沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位，
，
抛物线的对称轴为直线，
设，，
当、为平行四边形的对角线时，
，
解得，
；
当、为平行四边形的对角线时，
，
解得，
；
当、为平行四边形的对角线时，
，
解得，
；
综上所述，点的坐标为或或 

【解析】将、代入，即可求解；
过点作轴的垂线交直线于点，设，则，由，则，即可求解；
求出平移后的抛物线解析式，设，，分三种情况讨论：当、为平行四边形的对角线时；当、为平行四边形的对角线时；当、为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，分别利用中点坐标公式求出点坐标即可．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线分线段成比例的性质，平行四边形的性质是解题的关键．