江西省宜春市上高中学2022-2023学年高一下学期5月期中考试数学试题及答案

江西省宜春市上高中学2022-2023学年高一下学期5月期中考试

数学试题

一、单选题（每题5分，共40分）

1．若集合，或，则集合等于（    ）

A．或 B．

C． D．

2．已知复数z 满足，则（    ）

A．1 B． C． D．

3．已知，且，则的最小值是（   ）

A．2 B．3 C．4 D．5

4．已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

5．已知，则（    ）

A． B． C． D．

6．在中，，，，则等于（    ）

A． B． C． D．2

7．在中，满足，点满足，则（    ）

A． B．

C． D．

8．设函数（是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则函数是的最小正周期是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题（每题5分，共20分）

9．在中，若，则（    ）

A． B． C． D．

10．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

11．将函数向左平移个单位，得到函数，下列关于的说法正确的是（    ）

A．关于对称

B．当时，关于对称

C．当时，在上单调递增

D．若在上有三个零点，则的取值范围为

12．已知正数x，y满足，则方程有解的m的取值可以是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

三、填空题（共20分）

13．设是虚数单位，复数，则______.

14．已知非零向量，满足，且，则的最大值为____________．

15．已知，则_________．

16．已知函数在上有两个不同的零点，则满足条件的所有m的值组成的集合是_________．

四、解答题（共70分）

17．（10分）已知，.

(1)求的值；

(2)若，且，求的值.

18．（12分）已知复数.

(1)若复数为纯虚数，求实数的值；

(2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围.

19．（12分）已知中角的对边分别为，．

(1)求；

(2)若，且的面积为，求周长．

20．（12分）已知函数（其中）的最小正周期为，它的一个对称中心为.

(1)求函数的解析式；

(2)若方程在上的解为，求.

21．（12分）如图，某小区内有一块边长为20米的等边三角形草坪，记为，图中把草坪分成面积相等的两部分，在上，在上.

(1)设，，求关于的函数关系式；

(2)如果要沿铺设灌溉水管，则水管最短时的位置应在哪里？说明理由.

22．（12分）已知函数

(1)化简的表达式.

(2)若的最小正周期为，求的单调区间

(3)将（2）中的函数f（x）图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于对称.若对于任意的实数a，函数与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围.

1．C

，或，则.

故选：C.

2．D

，

所以   

故选：D．

3．D

由题意知，且，

则，当且仅当时，等号成立，

所以的最小值为.

故选：D.

4．B

在上的投影向量为，

，

所以，在上的投影向量为.

故选：B

5．C

.

故选：C

6．B

解：，，，

由余弦定理可得：

，

解得.

故选：B

7．B

因为满足，∴为的重心，

∴，

又∵，

∴

．

故选：B．

8．B

若在区间上具有单调性,则，

则的图象关于点对称,的图象关于直线对称,

①，

且，②

两式相减,可得,又因为，故.

当时,则结合和①式可得，.

所以.

故它的最小正周期为，

故选：B.

9．ACD

选项A：在中，若，则，则.判断正确；

选项B：令，则 .判断错误；

选项C：在中，若，则，

又余弦函数在单调递减，则.判断正确；

选项D：在中，若，则，

，又正切函数在单调递增，

则.判断正确.

故选：ACD

10．ABD

，故①，

由，则，故，A对；

将①联立，可得或（舍），

所以，故，，B、D对，C错.

故选：ABD

11．ABC

，当时，得，，故选项A正确；

当时，，是函数的最小值，所以关于对称，故选项B正确；

当时，，得，所以在上单调递增，故选项C正确；

由，得，由于在上有三个零点，所以，所以，故选项D错误.

故选：ABC．

12．BCD

由对数函数定义域知且，

令，

所以，

所以可转化为，

作出函数与函数，

两个函数图像的公共交点是，

所以，

所以，

所以，

当且仅当时等号成立，

所以的最小值为，

方程有解的m的范围是，

故选：BCD.

13．5

因为，所以，所以.

故答案为：.

14．

，则，

当且仅当，即时，取等号，

所以，

所以的最大值为.

故答案为：.

15．

因为，所以.

故答案为：.

16．

解：，

令，

则，

则

当时，显然无解；当时可化为.

利用对勾函数的性质与图象可知（如下图所示）：

①当时，即，此时或，符合题意；

②当时，即或，此时或，符合题意；

③当时，即，由可得，

易知当时，只有一个解满足，不符合题意；

④当时，即，

方程有两根，不妨记为，其中，只有一个根，

有两个根，故方程有3个解，也不符合题意.

∴满足条件的所有m的值组成的集合是：.

故答案为：

17．(1)

(2)

（1）因为，解得，

所以.

（2）因为，则，

则，可得，

所以，

则，

又因为，则，

所以.

18．(1)

(2)

（1），且复数为纯虚数，

，

解得；

（2）复数在复平面内对应的点在第四象限，

，

解得.

19．(1)

(2)

（1）由和正弦定理可得，

，

因为，所以，

所以，，，

，；

（2），，

又，

，

，

的周长为.

20．(1)

(2)

（1），，故，

一个对称中心为，故，即，

，故当时，满足条件，此时，故.

（2），故，，

且，即，

.

21．(1)；

(2)答案见解析.

（1）由已知得，即，

即，

在中由余弦定理得，

故；

（2）由（1）得，

当且仅当，即时，取等号，此时，

所以当米，米时，最短，为米.

22．(1)

(2)在上单调递增，在上单调递减

(3)

（1）依题意，

（2）由（1）知，，解得，则，

当时，，而正弦函数在上单调递增，在上单调递减，

由得：，由得：，

所以在上单调递增，上单调递减;

（3）由（2）及已知，，因图像关于对称，则，

解得:,又，即有，，于是.

由得：，，而函数的周期，

依题意，对于在上均有不少于6个且不多于10个根，,即，解得：，

所以正实数λ的取值范围是.