2023年广东省汕尾市陆河外国语学校中考数学模拟试卷（含解析）

2023年广东省汕尾市陆河外国语学校中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  党的十八大以来，以习近平同志为核心的党中央重视技能人才的培育与发展．据报道，截至年底，我国高技能人才超过人，将数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图是一个正方体的展开图，则与“学”字相对的是(    )

A. 核
B. 心
C. 数
D. 养

4.  下列运算中，计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  点，是双曲线上的两点，那么，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

6.  为庆祝中国共产主义青年团建团周年，某校团委组织以“扬爱国精神，展青春风采”为主题的合唱活动，下表是九年级一班的得分情况：

数据，，，，的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知实数、在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知二次函数的图象的一部分如图所示，其中对称轴为：，下列结论：；；；；上述结论中正确结论的个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  已知式子有意义，则的取值范围是______ ．

12.  如图，已知传送带与水平面所成斜坡的坡度：，如果它把物体送到离地面米高的地方，那么物体所经过的路程为______ 米

13.  如图所示，第四套人民币中菊花角硬币，则该硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为        ．

14.  已知，则代数式的值是______．

15.  如图，在扇形中，，，点在上，连接，将沿着对折，点恰好与上的点重合，连接，则图中阴影部分的面积是______

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
已知．
化简；
若、是方程的两个根，求的值．

18.  本小题分
教育部在大中小学劳动教育指导纲要试行中明确要求：初中生每周课外生活和家庭生活中，劳动时间不少于小时．某走读制初级中学为了解学生劳动时间的情况，对学生进行了随机抽样调查，并将调查结果制成不完整的统计图表，如图：

平均每周劳动时间的频数统计表

请根据图表信息，回答下列问题．
参加此次调查的总人数是______人，频数统计表中______；
在扇形统计图中，组所在扇形的圆心角度数是______；
该校准备开展以“劳动美”为主题的教育活动，要从报名的男女中随机挑选人在活动中分享劳动心得，请用树状图或列表法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．

19.  本小题分
为庆祝建党周年，某银行发行了、两种纪念币，已知枚型纪念币和枚型纪念币面值共需元，枚型纪念币和枚型纪念币共需元．
求每枚、两种型号的纪念币面值各多少元？
若小明准备用至少元的金额购买两种纪念币共枚，求型纪念币最多能采购多少枚？
在的条件下，若小明至少要购买型纪念币枚，则共有几种购买方案，请罗列出来哪种方案最划算？

20.  本小题分
如图，中，，于．
尺规作图：作的角平分线，交于点，交于点保留作图痕迹，不写作法；
若，求的度数．

21.  本小题分
如图在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和．
______ ， ______ ， ______ ；
直接写出不等式的解集；
点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标．

22.  本小题分
如图，点为正方形的边上一动点，直线与相交于点，与的延长线相交于点，以为直径作．
求证：≌；
求证：是的切线；
若正方形的边长为，，求的值．

23.  本小题分
如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
在抛物线的对称轴上是否存在点使最小？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；
点为上方抛物线上的动点，过点作，垂足为点，连接，当与相似时，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是，
故选：．
利用绝对值的定义求解即可．
本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：在该正方体中，与“学”字相对的面所写的汉字是：心．
故选：．
根据正方体的平面展开图找相对面的的方法，同层隔一面判断即可．
本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握正方体的平面展开图的特征是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故本选项不合题意；
B.，故本选项不合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，故本选项符合题意．
故选：．
分别根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则逐一判断即可．
本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
双曲线在第二、四象限，
在第四象限，随的增大而增大，
点，是双曲线上的两点，且，
．
故选：．
根据反比例函数的性质即可得到答案．
此题主要考查了反比例函数的增减性，掌握反比例函数的性质是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：将数据从小到大排序：，，，，，
中位数为，
故选：．
根据中位数的定义即可得出答案．
本题考查了中位数，掌握将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由图可知，，，且，
A、，故本选项错误，不合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、，故本选项错误，不合题意．
故选：．
根据数轴判断出、的正负情况以及绝对值的大小，再根据有理数的运算法则对各选项进行判断即可．
本题考查了数轴，熟练掌握数轴的特点并判断出、的正负情况以及绝对值的大小是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：线段两个端点的坐标分别为，，
以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，
端点的坐标为：．
故选：．
直接利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以得出即可．
此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形为圆的内接四边形，
，，
，
为的直径，
，
在中，，，
点为的中点，
，

，，
点坐标为．
故选：．
先利用圆内接四边形的性质得到，再根据为的直径，点为的中点，接着利用含度角的直角三角形三边的关系得到，，所以，，然后利用线段的中点坐标公式得到点坐标．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线的开口向下，
，
对称轴为：，
，
抛物线与轴交于轴的正半轴，
，
，
故不正确；
，当时，，
当时，，
，
，
，
故正确；
，
，
故正确，
当时，，，
函数的最大值为：，
，
，
故正确，
正确，
故选：．
由抛物线的开口方向可判定的符号；结合抛物线的对称轴的符号可判断；通过和的对称性判断；将不等式的两边加上，进而判断出；将，可推出．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解决问题的关键是熟练掌握二次函数及其图象的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
根据分式有意义的条件，即可求解．
本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不等于是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，

由题意得：斜坡的坡度：：，米，，
，
米，
在中，米，
故答案为：．
首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．
此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义．
 

13.【答案】 

【解析】解：正九边形的一个外角的度数为，
故答案为：．
利用外角和除以外角的个数即可得到答案．
此题考查了求正多边形每一个外角的度数，正确理解多边形外角和为，及正多边形的外角个数与边的条数相同，所有外角均相等是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
则代数式，
故答案为：．
直接将已知代数式变形进而代入原式求出答案．
此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接交于点，

扇形的面积，
点与点关于对称，
，，
在中，
，
，
，
阴影部分的面积扇形面积四边形的面积，


，
故答案为：．
连接交于点，由翻折的性质可知：，在中，根据特殊锐角三角函数值可知，然后在中，可求得，最后根据阴影部分的面积扇形面积四边形的面积，求解即可．
本题主要考查的是翻折的性质，扇形面积的计算以及特殊锐角三角函数值的应用，根据翻折的性质求得的长，然后再求得的度数是解题的关键．
 

16.【答案】解：

． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】解：


；
、是方程的两个根，
，
则． 

【解析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果；
利用根与系数的关系求出的值，代入计算即可求出值．
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
 

18.【答案】     

【解析】解：参加此次调查的总人数是：人，频数统计表中，
故答案为：，；
组所在扇形的圆心角度数是：，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有种，
恰好抽到一名男生和一名女生的概率为．
由组所占的百分比和频数，即可得出参加此次调查的总人数，由总人数和组所占的百分比即可得出；
由乘以组的人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】解：设每枚种型号的纪念币面值为元，每枚种型号的纪念币面值为元，
由题意得：，
解得：，
答：每枚种型号的纪念币面值为元，每枚种型号的纪念币面值为元；
设型纪念币能采购枚，则型纪念币能采购枚，
由题意得：，
解得：，
答：型纪念币最多能采购枚；
由题意得：，
，
为正整数，
为或或，
共有种购买方案：
型纪念币能采购枚，型纪念币能采购枚，费用为：元；
型纪念币能采购枚，型纪念币能采购枚，费用为：元；
型纪念币能采购枚，型纪念币能采购枚，费用为：元；
，
最划算的购买方案为：型纪念币能采购枚，型纪念币能采购枚． 

【解析】设每枚种型号的纪念币面值为元，每枚种型号的纪念币面值为元，由题意：枚型纪念币和枚型纪念币面值共需元，枚型纪念币和枚型纪念币共需元．列出方程组，解方程组即可；
设型纪念币能采购枚，则型纪念币能采购枚，由题意：小明准备用至少元的金额购买两种纪念币共枚，列出不等式，解之即可；
由题意得，解得，进而求解即可．
本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键时：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找出数量关系，正确列出一元一次不等式；找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．
 

20.【答案】解：如图，即为所求；

，，
，
平分，
，
，
，
，
，
即的度数为． 

【解析】根据要求作出图形即可；
求出，，可得结论．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直角三角形的性质．
 

21.【答案】     

【解析】解：把点代入直线，得
，
解得，
点的坐标为：．
把点代入直线，得
，
解得，
点的坐标为：．
反比例函数的图象过点，
，
即反比例函数的解析式为，
观察函数图象，发现：
当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
不等式的解集为：或．
把代入得，
，
解得，
即点的坐标为：，
，
，
，即，
，
当点的纵坐标为时，则，
解得，
当点的纵坐标为时，则，
解得，
点的坐标为或．
把点代入直线得到关于的一元一次方程，解之，得到点的坐标，把点代入直线得到关于的一元一次方程，解之，得到点的坐标，把点的坐标代入反比例函数，即可求得的值，即可得到答案；
找出一次函数图象在反比例函数图象的下方的的取值范围，即可得到答案；
把代入一次函数解析式，解之得到点的坐标，求出的面积，进一步求得的面积，根据三角形面积公式即可求得的纵坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点的坐标．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
≌；
证明：如图所示，连接，

四边形是正方形，
，，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，即，
是的半径，
是的切线；
解：如图所示，过点作于点，

，，
，
，
，
在中，，
设，则，
，
在中，，，
，
，
，
，
解得，
；
，，
∽，
，
． 

【解析】由正方形的性质得到，，由此即可利用证明≌；
如图所示，连接，由正方形的性质得到，，则，，由全等三角形的性质得到，再由，得到，即可证明，即可推出，即可证明是的切线；
如图所示，过点作于点，先证明，得到，解，得到，设，则，，解求出，由，求出；证明∽，则．
本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，切线的判定，等边对等角等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
 

23.【答案】解：抛物线与轴交于点，，
，
解得，
抛物线的解析式为；
存在，如图：因为，关于对称轴对称，与对称轴的交点即为所求：

由可知，对称轴为：，，
，，
所在直线解析式为：，
令，，
；
点，，
，，
在抛物线中，当时，，
，
，
．
，
，
当与相似时，则∽或∽，
若∽，则，

，
，
点的纵坐标为，
点为上方抛物线上的动点，
，
解得：不合题意，舍去，，
此时点的坐标为；
若∽，则，，
，
过点作的垂线，交的延长线于点，过点作轴于点，如图：

，，
，
∽，
，
，
，轴，
，
，，
，
，
∽，
，
即，
，，
，
，
设直线的解析式为，
令，
解得：不合题意，舍去，，
把代入得：，
此时点的坐标为，
综上所述，符合条件的点的坐标为或 

【解析】由待定系数法求解即可；
作点关于对称轴对称的点，连接交对称轴于一点即为；
当与相似时，则∽或∽，故分分类讨论即可：若∽，则，可推出点的纵坐标与点的纵坐标相同，由点为上方抛物线上的动点，得关于的一元二次方程，求解并作出取舍则可得答案；若∽，则，，过点作的垂线，交的延长线于点，过点作轴于点，判定∽，∽，由相似三角形的性质得比例式，解得点的坐标，从而可得直线的解析式，求得直线与抛物线的交点横坐标，再代入直线的解析式求得其纵坐标，即为此时点的坐标．
本题考查二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数的解析式、“一线三直角“模型及相似三角形的判定与性质等知识点是解题的关键．