2023年广东省深圳市南山区中考数学三模试卷（含解析）

2023年广东省深圳市南山区中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  万梅西卡塔尔世界杯夺冠后的个人动态点赞数打破吉尼斯纪录，成历史第一万用科学记数法表示(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  年月日，杨倩以环的成绩获得年东京奥运会射击女子米气步枪项目金牌，为中国队收获东京奥运会的首枚金牌她的其中个成绩单位：环分别是：、、、、；关于这组数据，以下结论错误的是(    )

A. 众数为 B. 中位数为 C. 平均数为 D. 方差为

6.  将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  下列说法正确的是(    )

A. 两点之间，直线最短
B. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 圆周角的度数等于圆心角度数的一半

9.  南山文体中心打算购买李宁、安踏两种不同品牌的篮球，已知李宁篮球的单价是安踏篮球的单价的倍，且用元购买的李宁篮球的数量比用元购买安踏篮球的数量少个，设安踏篮球的单价为元，则下列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，四边形中，，以为直径的经过点，连接、交于点连接交于点，连接，若，，则以下结论：
；
为的切线；
；
．
则正确的结论个数为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  分解因式：______．

12.  从这个自然数中任取一个，是的倍数的概率是______．

13.  如图，已知直线，的顶点在直线上，，，则的度数是______ ．

14.  如图，点在反比例函数的图象上，点在轴上，轴，点为轴上一动点，过点作，交轴于点，若，则的值为______ ．

15.  如图所示，，，以为底边向上构造等腰直角三角形，连接并延长至点，使，则的最大值为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
先化简，再求值：，从，，，，中取一个合适的数作为的值代入求值．

18.  本小题分
某校校园文化节中组织全校学生进行知识竞赛，参赛学生均获奖为了解本次竞赛获奖的分布情况，中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，获奖结果分为四个等级：级为特等奖，级为一等奖，级为二等奖，级为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题：
本次被抽取的部分人数是______ 名，并把条形统计图补充完整；
扇形统计图中表示级的扇形圆心角的度数是______ ．
根据抽样结果，请估计该校名学生获得特等奖的人数是______ 名；
调查数据中有名获特等奖的学生甲、乙、丙，要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求丙被选中的概率．

19.  本小题分
开学季，某文具店购进甲、乙两种笔记本共本，总成本为元，两种笔记本的成本和售价如下表：

文具批发店购进甲、乙两种笔记本各多少本？
该文具店觉得这两种笔记本很物销，准备再购进本，但是成本不能超过元，则文具店第二次进货的最大利润是多少？

20.  本小题分
如图，抛物线经过点，点，且．
求抛物线的表达式；
如图，点是抛物线的顶点，求的面积．

21.  本小题分
如图，在中，，，经过点，且圆的直径在线段上．
试说明是的切线；
若中边上的高为，试用含的代数式表示的直径；
设点是线段上任意一点不含端点，连接，当的最小值为时，求的直径的长．

22.  本小题分
某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究：
【观察与猜想】
如图，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，，则的值为______ ；
如图，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，，则的值为______ ；
【证明与理解】
如图，在矩形中，，，，求的值；
【知识点应用】
如图，在中，，，，将沿翻折后得到，点在边上，点在边上，，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：将万用科学记数法表示为，
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可．
本题主要考查了科学记数法：把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故此选项正确；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：．
分别利用幂的乘方运算法则、完全平方公式以及合并同类项法则、同底数幂的除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了幂的乘方运算、完全平方公式以及合并同类项、同底数幂的除法运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：此几何体的主视图从左往右分列，小正方形的个数分别是，．
故选：．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
 

5.【答案】 

【解析】解：五次中出现了三次，出现的次数最多，即众数为，故选项A不符合题意；
将五个数按从小到大的顺序排列得到第三个数为，即中位数为，故选项B不符合题意；
由平均数的公式得平均数，故选项C不符合题意；
方差，故选项D符合题意．
故选：．
分别计算平均数，中位数，众数，方差后判断．
此题考查了方差，平均数，中位数，众数，正确理解中位数、众数及方差的概念，是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由得，
所以不等式组的解集为，
在数轴上的表示为：

故选：．
先求出不等式组的解集并在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
，
故选：．
运用一元二次方程根与系数的关系进行化简、代入求值．
此题考查了一元二次方程根与系数关系的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解．
 

8.【答案】 

【解析】解：、两点之间，线段最短，故选项A不符合题意；
B、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，故选项B符合题意；
C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项C不符合题意；
D、一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半，故选项D不符合题意；
故选：．
由线段的性质、线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定以及圆周角定理分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了圆周角定理、线段的性质、线段垂直平分线的性质以及平行四边形的判定等知识，熟练掌握以上定理和性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设安踏篮球的单价为元，则李宁篮球的单价是元，
由题意得：，
故选：．
设安踏篮球的单价为元，则李宁篮球的单价是元，由题意：用元购买的李宁篮球的数量比用元购买安踏篮球的数量少个，列出分式方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，

在和中，
，
≌，
，
又，
，
为的直径，
，
即，
，
故正确，符合题意；
，，
，
，且，
，，
在中，，
在中，，，
，
，
，
是的半径，
为的切线，
故正确，符合题意；
连接，

，，
是等腰直角三角形，
为的直径，
，
，
，
，
，，，四点共圆，
，
故正确，符合题意；
，，
∽，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，
，，，
，
，
，
故正确，符合题意；
故选：．
连接，证≌得，由知，再由为直径知，从而得；
根据勾股定理求出，证为中位线知，，进一步求得，再在中利用勾股定理逆定理证，根据切线的判定定理即可得解；
根据题意推出是等腰直角三角形，根据圆周角定理推出，则，由，推出，，，四点共圆，根据圆周角定理即可得解；
根据相似三角形的判定与性质及勾股定理求解即可．
此题是圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质、切线的判定，等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理，全等三角形的判定与性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键，属于基础题．
原式提取，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】
解：原式
，
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：这九个自然数中，是的倍数的数有：、、，共个，
从这九个自然数中任取一个，是的倍数的概率是：．
故答案为．
先从这九个自然数中找出是的倍数的有、、共个，然后根据概率公式求解即可．
此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

13.【答案】 

【解析】解：过点作，
，
．
，
．
直线，
，
．
故答案为：．
过点作，由平行线的性质求出的度数，再由余角的定义求出的度数，进而可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设，
则，，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，
，
故答案为：．
设，根据证明出∽，得到，即，根据，得到，所以．
本题考查了反比例函数的几何意义，相似三角形的判定和性质，根据三角形相似得到是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，以为斜边作等腰直角三角形，延长至点使，连接，．

和都是等腰直角三角形，
，，
，即，
∽，
，
，
，
，，
是的中位线，
，
是等腰直角三角形，，
垂直平分，
，
，
，
当，，三点共线时，的值最大，
的最大值为，
故答案为：．
如图，以为斜边作等腰直角三角形，延长至点使，连接，，根据等腰直角三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，根据三角形的中位线定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，当，，三点共线时，的值最大，于是得到结论．
本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式
． 

【解析】根据零指数幂，化简绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，进行计算即可求解．
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零指数幂，化简绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

17.【答案】解：


，
，，
当时，原式，
当时，原式． 

【解析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的除法运算法则计算，把已知数据得出答案．
此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
 

18.【答案】     

【解析】解：本次被抽取的部分人数人数为：名，
故答案为：；
扇形统计图中表示级的扇形圆心角的度数是，
级的人数为：名，
故答案为：，
把条形统计图补充完整如图：

估计该校获得特等奖的人数为：名；
把甲、乙、丙分别记为、、、，
画树状图如图：

共有种等可能的结果，丙被选中的结果有种，
丙被选中的概率为：．
由级的人数和所占百分比即可求解；
由乘以级所占的比例即可；
全校学生名乘以获得特等奖的人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，小双被选中的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
 

19.【答案】解：设购进甲本，购进乙本，根据题意可得：
，
解得：，
答：文具批发店购进甲、乙两种笔记本各本，本；

设购进甲种笔记本本，则购进乙种笔记本本，根据题意可得：
，
解得：，
设文具店二次进货的利润为，则，
，
当时，最大为：元． 

【解析】根据每天两种笔记本的销售量共本，设购进甲本，购进乙本，根据表格列出成本的等式即可；
根据表格中数据表示出利润，进而得出答案．
此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数应用，正确得出等量关系是解题关键．
 

20.【答案】解：抛物线经过点，点，且，
，
，
设抛物线的解析式为，将代入得，
，
，
抛物线的解析式为；

，
．
如图，过点作于点，交于点．
设直线的解析式为，将代入得，，
，
直线的解析式为，
当时，，
，
，
 

【解析】设抛物线的解析式为，将代入求解；
求出的长，可得结论．
本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握待定系数法，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：连接，如图，

，，
，，
，
是的切线；

过点作于，连接，如图，

由题可得．
在中，，
，
，
；

作平分，交于，连接、、，如图，

则．
，
、是等边三角形，
，
四边形是菱形，
根据对称性可得．
过点作于，
，，
，
．
根据垂线段最短可得：
当、、三点共线时，即最小，
此时，
则，．
当的最小值为时，的直径的长为． 

【解析】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、垂线段最短等知识，把转化为是解决第小题的关键．
连接，如图，要证是的切线，只需证到即可；
过点作于，连接，如图，在中运用三角函数即可解决问题；
作平分，交于，连接、、，如图，易证四边形是菱形，根据对称性可得过点作于，易得，从而有根据垂线段最短可得：当、、三点共线时，即最小，然后在中运用三角函数即可解决问题．
 

22.【答案】  

【解析】解：如图，设与交于点，

四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
；
故答案为：；
如图，设与交于点，

四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
，
∽，
，
故答案为：；

过点作于点．

四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是矩形，
，
，，
；

如图，过点作于点，连接交于点，与相交于点，

，，
，
，，
∽，
，
在中，，，
，
在中，，
，
设，则，
，
，
负值舍去，
，，
，
，
，
，
．
如图，设与交于点，由正方形的性质得出，，可证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
如图，设与交于点，根据矩形性质得出，由直角三角形的性质证出，由相似三角形的判定定理证出∽即可；
过点作于点证明∽，推出，可得结论；
过点作于点，连接交于点，与相交于点，证明∽，得出比例线段，证出，设，则，由勾股定理得出，解方程可求出、的长，由三角形的面积求出的长，则可求出答案．
此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判断和性质，三角形的面积，解本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．